6.8 冲激响应不变法在线视频

同学们好

今天我们来一起学习

冲激响应不变法

设计IIR数字滤波器

其变换原理是

数字滤波器的单位冲激响应 h(n)

要能模仿模拟滤波器的单位冲激响应

ha(t)

我们知道

数字滤波器的单位冲激响应h(n)

和数字滤波器的系统函数H(z)

它们之间是一个z变换和逆z变换之间的关系

而模拟滤波器的单位冲激响应ha(t)

和模拟滤波器的系统函数Ha(s)

它们之间是对拉普拉斯变换

与拉普拉斯逆变换的关系

因此

我们在采用

用h(n)来模仿ha(t)的过程中

就可以以此为桥梁

由Ha(s)求出H(z)

其关系式

为1式所示

在1式中

我们令

系统函数H(z)

其z=

e的sT次方

最终得到

它等于1/T

∑求和k从负无穷大到正无穷大

Ha

s-j2π/T k

这个就是

Ha(s)和H(z)之间的一个关系

因为冲激响应不变法

需要从模拟滤波器转换到数字滤波器

也就是s平面到z平面的一个映射

所以我们在此

先给出

这两个平面之间的映射关系

s平面

其

频率Ω介于正负π/T之间的

左半部分

也就是σ<0的部分

映射到

z平面的单位圆内

z平面

σ>0

Ω介于正负π/T之间的部分

映射到z平面的单位圆外

而s平面

Ω介于正负π/T之间

σ=0

也就是虚轴的这一部分

映射到z平面的单位圆上

这就是我们

两个平面的映射关系

同样

我们把s平面

向上或者向下

延伸2π/T的距离

这个频带又可以引设一个z平面

因此

s平面和z平面是一个非一映射的关系

其对应的是

多值映射

刚刚我们介绍的

s平面和z平面的一个映射关系

得到了

Ha(s)和H(z)之间的一个关系

同样的

我们可以把它转到频域

得到式1

我们可以看得出来

数字滤波器的频率响应

是模拟滤波器频率响应的一个周期延拓

其周期为

2π/T

只有当

幅频特性

Ha(jΩ)

在Ω的绝对值

大于等于π/T

的时候

频谱等于0

那么数字滤波器的频下

在折叠频率内

重现模拟滤波器的频响

而不会产生混叠湿疹

H(e的jω次方)

就等于1/THa(jω/T)

其中ω的绝对值小于π

也就是说在一个周期之内

模拟滤波器的频率响应

可以直接转换成数字滤波器的频率响应

以上是我们考虑的一种理想的状况

实际系统是不可能严格限带

都会存在混叠失真现象

在Ω的绝对值

>Ωs/2处衰减越快

它失真就越小

接下来我们提供一种

减小混叠失真的方法

就是

提高抽样频率

因为fs变大

所以周期T变小

那么π/T就变大

也就意味着我们的Ωs/2也会变大

范围扩大之后

混叠失真现象就会减小

当我们滤波器的设计指标

是以数字域的频率ωc给定的时候

我们就不能通过

提高抽样频率来改善混叠现象

这是因为

当抽样频率fs增加

周期T变小

π/T就变大

因此

-π/T~π/T之间的距离变大

同时因为T变小

Ωc是等于

数字ωc/T

它也会变大

也就意味着

-π/T

到π/T之间的距离

和ωc这两个值同时变大

因此

混叠现象并不能得到改善

讲述完了模拟滤波器

通过冲激响应不变法

转换到数字滤波器的方法之后

我们来看

其

数字化方法

首先

我们已知模拟滤波器的系统函数Ha(s)

我们对其求拉普拉斯逆变换得到ha(t)

ha(t)抽样

得到ha(nT)

令T=1

我们可以得到

数字滤波器的单位冲激响应h(n)

然后我们再对h(n)

求一次z变换

就得到我们所需要的数字滤波器的H(z)

这个就是我们

用冲激响应不变法来设计

IIR数字滤波器的思路

接下来我们来看具体的计算公式

在式1中

我们把Ha(s)

进行部分分式展开

得到

Ha(s)等于

∑求和k从1开始到N

让Ak比上一个s-sk

在2式中

我们把1式的Ha(s)

求一次拉普拉斯逆变换

得到2式

再把2式的结果

抽样得到3式

再对3式的结果

求一次z变换

就得到4式

最后我们来观察一下1式和4式之间的关系

我们就会发现

Ha(s)和H(z)

在形式上是非常相像的

其求和区间

均为k从1开始到N

分子均为Ak

ha(s)的分母为

s-sk

而H(z)的分母为

1-e的skT次方z的-1次方

转换的时候

s平面的极点

s=sk

转换到z平面的极点

z=e的skT次方

另外

转换的过程中

系数是相同的

均为Ak

第三

在转换过程中稳定性保持不变

s平面

在sk

其实部若小于0

也就意味着

原模拟滤波器是一个稳定的系统

转换到z平面之后

e的skT次方

其模一定是小于1的

也就是说

其极点位于单位圆内

说明该数字滤波器也是一个稳定系统

前面我们讲了

从模拟滤波器转换到数字滤波器

其关系是

H(e的jω次方)等于1/THa

jω/T

当T很小的时候

数字滤波器的增益就会很大

容易溢出

所以我们需要修正

修正的方法是

我们令h(n)等于

T倍的ha(nT)

也就是说

在把ha(t)抽样之后

离散化的过程中

把它的前面乘上一个T倍的系数

然后我们就会得到

数字滤波器的系统函数H(z)的表达式

也会相较于以前多乘了一个系数T

则最终我们可以得到

H(ejω次方)的公式

是约等于

Ha(jω/T)

其中ω的绝对值是小于π的

最后我们来看一道例题

设模拟滤波器的系统函数为

Ha(s)等于

s的平方+4s+2/3

试用冲激响应不变法设计IIR数字滤波器

我们根据刚刚讲过的

冲激响应不变法的设计思路

先把Ha(s)

进行部分分式展开

展开为1/(s+1)

-1/(s+3)

然后我们可以根据Ha(s)的形式

直接得到数字滤波器的系统函数

H(z)就等于

1-e的-T次方

乘以z的-1次方分之T

再减去一个

1-e的-3T次方

乘一个z的-1次方分之T

在设计的过程中

我们同时对其进行了修正

下面我们来看一下

该模拟滤波器的频率响应

也就是把它的系统函数转换成频率响应

我们来看其幅频特性

然后我们再把刚刚设计出来的

数字滤波器的系统函数H(z)

求出其频率响应

H(e的jω次方)

也画出其幅频特性

如图所示

我们可以看得出来

原来的模拟滤波器

是一个低通滤波器

转换成数字滤波器之后

我们前面说过

数字滤波器的频率响应是一个周期的

因此我们在

从0~π的范围之内

我们来观察其滤波的类型

最后发现

转化完之后依然为一个低通滤波器

下面我们将冲激响应不变法的优缺点

做一下归纳

首先其优点

h(n)能够完全的模仿

模拟滤波器的单位抽样响应ha(t)

所以其时域逼进良好

第二

它保持了一个线性关系

也就是

ω是等于ΩT的

也就是线性相位的模拟滤波器

可以转换成线性相位的数字滤波器

当然这种设计方法的缺点就在于

频率响应的混叠

所以它只适用于

限带的低通和带通滤波器的设计

同学们

冲激响应不变法

我们就介绍到这里

谢谢大家