1.2 常用典型序列及序列的周期性在线视频

同学们好

今天我们继续给大家讲解

离散时间序列的运算

第9种运算

卷积和

我们知道

卷积积分

是求连续线性时不变系统

零状态输出响应的主要方法

同样

对于离散系统进行卷积和

也是求

离散线性时不变系统

零状态输出响应的

主要方法

今天

我们简要的

讨论

卷积和的定义

及其运算方法

设两个序列

x(n)和h(n)

则x(n)

和h(n)的卷积和

定义为

y(n)等于

m从负无穷大

到正无穷大区间变化时

对x(m)和h(n-m)

乘积的所有值求和

卷积和用*来表示

也可以简写为

x(n)

和h(n)的卷积

或者

顺序交换以后的表达式

也表示

x(n)

和h(n)的卷积和

用图解法

求卷积和

可以分为4个步骤

即反褶

移位

相乘

相加

下面我们来看一个例题

已知f1(n)

和f2(n)的波形如图所示

求

y(n)=f1(n)

和f2(n)的卷积和

求解的第1步

是将两个已知波形当中的

任意一个波形

比如

f1(n)进行反褶

并将变量n

变成亚变量m

得到f1(-m)

如图所示

第2步

是将波形f1(-m)

在m轴上

平移n个单位

变为

f1(-(m-n))

经过变化以后

就得到f1(-m)

第3步

就是n从负无穷大

到正无穷大发生变化时

对序列

f1(-m)

和f2(m)

对应序列点的值相乘

第4步

对各序列点相乘以后的值

相加

就得到卷积和的值

在这个例题当中

当n＜-2的时候

两个序列没有有效的重叠

所以

卷积和为0

我们看f1(n-m)

在n变化时候的动画

当n=-2时

两个序列的值

在m=0时候的乘积

为3

所以

卷积和为3

继续看动画

当n=-1时

两个序列的值

在m=0时的乘积

为1×3=3

在m=1时的乘积

为1×2=2

所以卷积和为3+2=5

再看连续的动画

当n=0

1

2的时候

两个序列的值

在m=0时的乘积

为1×3=3

m=1的乘积

为1×2=2

在m=2时候的乘积

为1×1=1

所以

卷积和为3+2+1=6

我们继续看动画

当n=-3时

两个序列的值

在m=1时的乘积

为1×2=2

在m=2时的乘积

为1×1=1

所以

卷积和为

2+1=3

继续看动画

通过这个动画

我们还可以看到

当n=4的时候

两个序列的值

在m=2时的乘积

为1×1=1

所以

卷积和为1

当n＞4的时候

两个序列没有有效的重叠

所以

卷积和为0

求卷积和还有其他方法

比如表格法

对位相乘求和法

还可以利用性质和公式求解

大家可查阅相关文献

在此不再赘述

第5点

给大家介绍几种常用离散时间序列

1

单位样值信号

单位样值信号也叫单位抽样序列

或者单位函数

单位冲激等等

用δ(n)来表示

其定义式为

δ(n)

在n=0的时候的值为0

当n为其它值得时候

δ(n)的值为0

波形表达如图所示

δ(n)或是连续时间信号中的

单位冲激函数δ(t)

但δ(t)

是用面积表示冲激强度

当t趋于零的时候

幅值为无穷大

而δ(n)

在n=0的时候

取有限值为1

而不是面积

单位抽样序列的时移性

可表示为

δ(n)

时移m个单位以后

变为

δ(n-m)

当n≠m时

δ(n-m)的值为0

当n=m时

δ(n-m)的值为1

如图所示

单位样值信号的比例性

和抽样性

可分别由这两个表达式描述

请大家注意理解

其物理意义

在离散信号中

经常用单位抽样序列表示任意序列

其数学表达式为

x(n)等于

m从负无穷大

到正无穷大区间变化时

对x(m)

和

δ(n-m)乘积的

所有值求和

例如图f(n)的波形

它可以表示为

f(n)=δ(n+1)+1.5δ(n)-3δ(n-2)

第2种常用序列

是单位阶跃序列u(n)

单位阶跃序列

类似于连续时间信号的

单位阶跃函数u(t)

其数学表达式为

u(n)

在n≥0时的序列值

为1

而当n＜0时

u(n)的序列值为0

其序列图形表示 如图所示

单位阶跃序列u(n)

可用单位抽样序列 δ(n)

及其移位的累加

来表示

比如这个表达式

单位抽样序列 δ(n)

和单位阶跃序列

u(n)之间的关系

表示为

δ(n)=u(n)-u(n-1)

也就是

u(n)的后项差分

δ(n)和u(n)之间

是差和关系

不是微商关系

第3种常用序列

是矩形序列

矩形系列的数学表达式为

RN(n)

其下标为N

当n≥0

≤N-1时

其值为1

而当n＜0

≥N时的值为0

其序列图形表示

如图所示

RN(n)与u(n)之间的关系为

RN(n)等于u(n)-u(n-N)

第4种常用序列

是单边指数序列

它的表达式为

x(n)

等于

a的n次方乘以u(n)

按照a的取值不同

有4种情形

如图所示

当绝对值a

大于1的时候

序列是发散的

当绝对值a

小于1的时候

序列是收敛的

第5种常用序列

是正弦序列

其表达式为

x(n)=sin(nω0)

或者x(n)=cos(nω0)

如图所示

第6种常用序列

为复指数序列

其表达式为

x(n)

等于e的Jω0N次方

也等于cos

ω0n

加上j倍的sinω0n

其中ω0

是复正弦的

等于e的jω0n次方

也可以用

极坐标表示为这样的表达式

这是指数衰减的

正弦序列图

这是指数增长的

正弦序列图

今天讲课的最后一点

就是关于序列的周期性

如果对于所有的n

存在一个

最小的正整数

大写的N

满足

x(n)=x(n+N)

则称序列x(n)

是周期性序列

周期

N

比如正弦序列

x(n)=Asin(nω0+φ)

经过简单的变化

可以得到这个表达式

当k为整数时

为N

也就是

Asin(nω0+φ)=Asin[(n+N)ω0+φ]

这时

正弦序列

就是周期性序列

其周期满足

N=2πk/ω0

这里N和k必须为整数

同学们

今天的内容就介绍到这里

谢谢大家

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