当前课程知识点：数字信号处理 > 第6章 无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器设计方法 > 6.3 全通滤波器 > 6.3 全通滤波器
同学们好
今天我们一起来学习全通系统
若对于所有的ω
都满足其幅频特性
为1
则我们称该系统为一个全通系统
也可以叫其
全通滤波器
我们对其幅频特性的下标
标了一个ap
代表的意思就是all pass
接下来我们看
一阶全通系统
一阶全通系统Hap(z)
其表达式等于
1-az的-1次方分之
z的-1次方-a
其中a为实数
a的绝对值大于0小于1
我们求该全通系统的零极点
其极点
为z=a
零点为z=1/a
如图所示
其极点位于单位圆内
零点位于单位圆外
而零极点是关于单位圆成镜像对称
接下来我们来看到a为复数的情况
Hap(z)等于
1-az的-1次方分之
z的-1次方-a的共轭
其中a的模
是大于0小于1
我们计算出其极点
z=a
零点为z=1/a的共轭
画在图中可以看出
极点位于单位圆内
零点位于单位圆外
零极点关于单位圆成镜像对称
通过刚才的一阶全通系统
我们可以看出
极点位于单位圆内
是为了确保系统的稳定性
接下来我们来看
实系数二阶全通系统
其系统函数的表达式如1所示
其极点
z=a
z=a的共轭
零点
z=1/a的共轭
和z=1/a
我们把这两个极点和这两个零点
分别在图中画出
可以看到
两个零点是共轭对称
而两个极点也是共轭对称
零点和极点
是以单位圆为镜像对称
对于N阶的数字全通滤波器
其系统函数如式1所示
我们把1式
的连乘进行展开
将
系统函数的分子 分母都写成多项式的形式
我们得到2式
将分子提一个z的-N次方出来
分子得到z的-1次方的幂级数
分母得到关于z的幂级数
我们就可以得到3式
通过3式
我们来求出
该数字滤波器的零 极点
最终求出极点
zp
是等于re的正负jω次方
其中r是小于1的
求出所有的零点
zo等于1/r
e的正负jω次方
r也是小于1
观察零极点可以看出
对一个N阶的全通数字滤波器
其
极点均位于单位圆内
零点均位于单位圆外
且零极点
关于单位圆镜像对称
接下来我们来看
全通系统的应用
第1条
任意的一个因果稳定的系统
都可以把它表示成
全通系统和最小相位系统的级联
也就是H(z)=Hmin(z)Hap(z)
因为最小相位系统的
系统函数的特征
我们是在下一节学习
所以关于这一条应用
我们在下一节再进行详细讨论
全通滤波器的第2个应用
我们级联一个全通系统
就可以使得一个
非稳定的滤波器
变成一个稳定的滤波器
当
滤波器的极点
出现在单位圆外的时候
这个滤波器
就是非稳定的滤波器
我们将其级联一个
全通系统之后
如1式
我们就可以把
非稳定系统的单位圆外的极点
映射到单位圆内
是非稳定的滤波器
就变成了一个稳定的滤波器
全通系统的第3条应用
可以作为相位均衡器
用来校正系统的非线性相位
而不改变系统的幅度特性
非线性相位的数字滤波器
其系统函数我们描述为
Hd(z)
全通系统的系统函数
写为Hap(z)
它们相乘
得到一个
线性相位的系统函数H(z)
我们来看一下这个过程
我们令
z=e的jω次方
把系统函数转换成频率响应
得到1式
我们再将1式的频率响应
写成模和相位的形式
得到2式
在2式中
Hap(e的jω次方)的模
因为它是一个全通滤波器
所以
其模为1
因此
我们得到的滤波器的
幅频特性
就等于
Hd(e的jω次方)的模
也就是
级联到全通滤波器之后
我们是不改变系统的幅度特性的
但是相位
却是一个相加的关系
也就是
级联之后的数字滤波器的相位
是等于φd(ω)
加上一个φap(ω)
我们对相位
求一阶导
得到τ(ω)
就是我们前面所讲到的群延迟
它就等于
τd(ω)加上一个τap(ω)
我们应该想办法使
它们相加的结果
等于常数τ0
这样
我们就可以使得
在级联了一个全通系统之后
一个非线性相位的滤波器
就变成了一个线性相位的数字滤波器
4式中
e的平方
是我们的均方误差
我们可以利用
均方误差最小的准则
来求均衡器Hap(z)的有关参数
同学们
关于全通系统的内容
我们就介绍到这儿
谢谢大家
-绪论
-1.1 序列及其运算
-1.2 常用典型序列及序列的周期性
-1.3 线性移不变系统
-1.4 常系数线性差分方程
-1.5 连续时间信号的理想抽样
-1.6 连续时间信号的实际抽样
-第1章作业
-2.1 序列z变换的定义及收敛域
-2.2 四种序列的z变换及收敛域举例
-2.3 留数法及部分分式法求z反变换
-2.4 幂级数展开法求z反变换
-2.5 z变换的线性及移位性质
-2.6 z变换的初值和终值定理
-2.7 z变换的卷积定理
-2.8 序列的傅里叶变换及其性质
-2.9 序列的z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系
--2.9 序列的z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系
-2.10 离散线性移不变系统的频域表征
-第2章作业
-3.1 傅里叶变换的四种可能形式
- 3.2 周期序列的傅里叶级数（DFS）的定义
-3.3 周期序列的傅里叶级数（DFS）的性质
-3.4 离散傅里叶变换（DFT）的定义
-3.5 DFT的线性和圆周移位性质
-3.6 DFT的圆周共轭对称性质
-3.7 圆周卷积和与圆周卷积和定理
-3.8 线性卷积与圆周卷积的关系
-3.9 频域抽样理论
-第3章作业
-4.1 直接计算DFT的运算量及减少运算量的途径
- 4.2 按时间抽选的基-2FFT算法的算法原理
-4.3 按时间抽选的基-2FFT算法的运算量和算法特点
-4.4 按频率抽选的基-2FFT算法的算法原理
-4.5 按频率抽选的基-2FFT算法的运算量和算法特点
-第4章作业
-5.1 数字滤波器结构的表示方法
-5.2 IIR滤波器的直接型结构
- 5.3 IIR滤波器的级联型结构
- 5.4 IIR滤波器的并联型结构
-5.5 FIR滤波器的基本结构
- 5.6 FIR滤波器的频率抽样型结构
-5.7 线性相位FIR滤波器的结构
-第5章作业
-6.1 数字滤波器的基本概念
-6.2 数字滤波器的技术指标
-6.3 全通滤波器
- 6.4 最小相位滞后滤波器
-6.5 模拟原型巴特沃思低通滤波器设计
-6.6 模拟原型切贝雪夫低通滤波器设计
-6.7 间接法的IIR数字滤波器设计方案
-6.8 冲激响应不变法
-6.9 双线性变换法
-第6章作业
-7.1 FIR数字滤波器的特点
-7.2 FIR数字滤波器的线性相位条件
- 7.3 线性相位FIR数字滤波器频率响应的特点
-7.4 线性相位FIR数字滤波器幅度函数的特点
-7.5 线性相位FIR数字滤波器的零点位置
-7.6 窗函数设计法的设计思路
-7.7 窗函数设计法的性能分析
-7.8 各种窗函数
-7.9 窗函数法的设计步骤
-第7章作业
