当前课程知识点：数字信号处理 > 第3章 离散傅里叶变换（DFT） > 3.3 周期序列的傅里叶级数（DFS）的性质 > 3.3 周期序列的傅里叶级数（DFS）的性质
同学们好
今天我们来学习
离散傅里叶级数的性质
第1条性质
线性性
若已知
周期序列x1(n)
求DFS的结果为X1(k)
周期序列x2(n)
求DFS的结果为
X2(k)
则
序列
a倍的x1(n)
加b倍的x2(n)
它来求DFS
结果就为
这两个序列
分别求DFS之后
再进行组合
也就是
a倍的X1(k)
加b倍的X2(k)
其中
a和b为任意的常数
接下来我们看第2条性质
叫序列的移位性
我们把周期序列x(n)
向左移位m
得到
x(n+m)
我们对它来进行计算DFS
会得到
WN
-mk乘以X(k)
也可以把它写成复指数形式
这条性质的证明过程
很简单
我们把
x(n+m)
代入到DFS的公式里面去
然后令
n+m
等于i
进行变量代换
可以得出最终的结果
第3条性质
调制特性
周期序列x(n)
乘以旋转因子WNnl之后
再来计算DFS
它得到的结果为
X(k+l)
也就是
序列x(n)
求完的DFS的结果
再进行移位
这条性质的证明
我们也是
把它代入到
DFS的公式里边去
把
所乘的旋转因子
和DFS公式里边的旋转因子
进行组合
最终
可以得到我们所需要的结论
第4条性质
周期卷积和
若已知X1(k)
和X2(k)
相乘之后
等于Y(k)
那么
y(n)就应该等于
Y(k)求
DFS的反变换
又等于
x1(n)
和x2(n)
求
周期卷积
公式写出来之后
有
如下两种形式
这两种形式
是因为
周期卷积和
满足交换律
我们对刚才的周期卷积和性质
可以做一下简单的证明
证明的时候
我们把X1(k)
用DFS的公式代入
到推导的过程中
改变求和顺序
再利用一个
IDFS的公式
可以得出最终的结论
接下来我们来看一道例题
已知序列x1(n)
等于R4(n)
x2(n)
等于
n+1倍的R5(n)
现在我们分别将序列
以周期为6
进行周期延拓成
周期序列x1(n)和x2(n)
然后
再来计算
这两个周期序列的周期卷积和
刚刚我们看过
周期序列的卷积公式
在这个公式里边
我们归纳一下步骤
需要用到5步
第1步
换变量
把x1(n)
换成x1(m)
x2(n)
换成x2(m)
第2步
翻褶
把x1(m)
或者x2(m)
进行翻褶
选取其中的一个翻褶即可
第3步
把刚才翻褶之后的序列
再进行移位
变成
x1(n-m)
或者x2(n-m)
第4步
两个序列相乘
x1(m)
和x2(n-m)相乘
最后一步
是求和
m从0开始一直到N-1
对它们相乘的结果求和
我们一起来看一下这个题的图形
序列x1(n)
是一个4点的序列
我们现在对它进行
以6为周期进行周期延拓
需要补两个0之后
再进行周期延拓
序列x2(n)
为一个5点的序列
我们需要对它补一个0之后
进行周期延拓
延拓之后
我们
按照我们刚刚讲的五步
来进行计算
第1步
换变量
我们把x1(n)
和x2(n)
都换成x1(m)和x2(m)
第2步
把序列x2(m)
进行翻褶
得到x2(-m)
第3步
对x2(-m)进行移位
得到
x2(n-m)
第4步
把序列x1(m)
和序列x2(n-m)
相乘
相乘的时候
用序列相乘的方式
来进行
做乘法
最后一步
求和
求和的时候
是在一个周期之内求和
也就是
m从0开始到5
计算出来最后的结果
如
最后这张图所示
得出来的结果
两个周期
为6的序列
计算周期卷积和之后
所得到的结果依然是一个周期为6的
周期序列
刚才我们采用图解法
来
讲解了这道题
现在
我们换一种方式来解决这个题
采用刚才一样的
解决问题的思路
我们来
用表格法来解这道题
表格的第1行
自变量为n或者m
都可以
表格的第2行
x1(n)
或者换完变量之后变成x1(m)
这是它的各项的幅值
而
第3行x2
自变量为n
或者是m
表格里面列出来的都是它的幅值
在列出来的幅值中我们要注意看
列出来的幅值都是我们周期延拓之后的结果
所以就是
在它们点数都不够6的情况下
补了0之后
再以6为周期进行周期延拓
第2步
我们对序列x2(m)
进行翻褶
这个表格里面列出来的是翻褶之后的各项幅值
接下来
我们就开始对
x2(-m)进行移位
分别移
1位
2位
3位
4位
5位
然后
把x2(n-m)的各项值
和x1(m)
对应相乘
乘了之后
再相加
所得的结果
就在我们表格的
最右边那一列
得到y(n)的值
分别是对应的
n=0
n=1
n=2
n=3
n=4和n=5
继续移位的话
我们就会发现
这个结果
会再次重复
也就是
它的周期性的体现
所得结果
y(n)也是一个周期为6的周期序列
同样的道理
我们利用对称性
若已知序列x1(n)和x2(n)
相乘
得到序列y(n)
则
序列y(n)
求DFS
会得到X(k)
时域
两个序列是相乘的关系
到了频域
代入之后
会得出它们是一个
卷积的关系
也就是
时域相乘
频域卷积
同学们
今天这节课我们就介绍到这儿
谢谢大家
-绪论
-1.1 序列及其运算
-1.2 常用典型序列及序列的周期性
-1.3 线性移不变系统
-1.4 常系数线性差分方程
-1.5 连续时间信号的理想抽样
-1.6 连续时间信号的实际抽样
-第1章作业
-2.1 序列z变换的定义及收敛域
-2.2 四种序列的z变换及收敛域举例
-2.3 留数法及部分分式法求z反变换
-2.4 幂级数展开法求z反变换
-2.5 z变换的线性及移位性质
-2.6 z变换的初值和终值定理
-2.7 z变换的卷积定理
-2.8 序列的傅里叶变换及其性质
-2.9 序列的z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系
--2.9 序列的z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系
-2.10 离散线性移不变系统的频域表征
-第2章作业
-3.1 傅里叶变换的四种可能形式
- 3.2 周期序列的傅里叶级数（DFS）的定义
-3.3 周期序列的傅里叶级数（DFS）的性质
-3.4 离散傅里叶变换（DFT）的定义
-3.5 DFT的线性和圆周移位性质
-3.6 DFT的圆周共轭对称性质
-3.7 圆周卷积和与圆周卷积和定理
-3.8 线性卷积与圆周卷积的关系
-3.9 频域抽样理论
-第3章作业
-4.1 直接计算DFT的运算量及减少运算量的途径
- 4.2 按时间抽选的基-2FFT算法的算法原理
-4.3 按时间抽选的基-2FFT算法的运算量和算法特点
-4.4 按频率抽选的基-2FFT算法的算法原理
-4.5 按频率抽选的基-2FFT算法的运算量和算法特点
-第4章作业
-5.1 数字滤波器结构的表示方法
-5.2 IIR滤波器的直接型结构
- 5.3 IIR滤波器的级联型结构
- 5.4 IIR滤波器的并联型结构
-5.5 FIR滤波器的基本结构
- 5.6 FIR滤波器的频率抽样型结构
-5.7 线性相位FIR滤波器的结构
-第5章作业
-6.1 数字滤波器的基本概念
-6.2 数字滤波器的技术指标
-6.3 全通滤波器
- 6.4 最小相位滞后滤波器
-6.5 模拟原型巴特沃思低通滤波器设计
-6.6 模拟原型切贝雪夫低通滤波器设计
-6.7 间接法的IIR数字滤波器设计方案
-6.8 冲激响应不变法
-6.9 双线性变换法
-第6章作业
-7.1 FIR数字滤波器的特点
-7.2 FIR数字滤波器的线性相位条件
- 7.3 线性相位FIR数字滤波器频率响应的特点
-7.4 线性相位FIR数字滤波器幅度函数的特点
-7.5 线性相位FIR数字滤波器的零点位置
-7.6 窗函数设计法的设计思路
-7.7 窗函数设计法的性能分析
-7.8 各种窗函数
-7.9 窗函数法的设计步骤
-第7章作业
