当前课程知识点：数字信号处理 > 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换（DTFT） > 2.5 z变换的线性及移位性质 > 2.5 z变换的线性及移位性质
同学们好
今天我们一起来学习
z变换的性质与定理
首先我们来看线性性
若已知序列x(n)
求z变换的结果为X(z)
其收敛域为
z的模大于Rx-
小于Rx+
序列y(n)
求z变换的结果为Y(z)
其收敛域为
z的模大于Ry-
小于Ry+
则
序列a倍的x(n)
加b倍的y(n)
求z变换的结果
应该为
x(n)和y(n)分别求完z变换之后
再乘以系数进行组合
就是
a倍的X(z)
加b倍的Y(z)
其中a和b为任意的一个常数
其收敛域
z的模应该是
大于R-
小于R+
R-
为
Rx-
和Ry-中的较大值
而R+为
Rx+和Ry+中的较小值
我们来看第2条性质
叫序列的移位
若已知序列x(n)求z变换的结果为X(z)
其收敛域为z的模
大于Rx-
小于Rx+
则
序列x(n-m)求z变换的结果为
z的-m次方
乘以X(z)
m为任意的一个整数
其收敛域
依然为
z的模大于Rx-
小于Rx+
下面我们来看一道例题
序列x(n)
等于u(n)-u(n-3)
我们要求其z变换X(z)
x(n)
求z变换
其有两部分组成
所以我们可以
对其两部分
分别求z变换之后
再来进行组合
u(n)和u(n-3)
求完z变换之后
结果为1式
对1式进行合并
我们可以求出2式
2式中
分子和分母有一个公共项
为
z-1
消去之后
结果为3式
在这个计算过程中
我们可以发现
1式中
两项求z变换
之后的结果
其收敛域均为
z的模大于1
而在2式中
因为分子分母
存在相同的部分
消去之后
z=1的极点被消去
所以
最终我们得到的收敛域为
z的模大于0
也就是说
在进行线性组合的过程中
因为出现了极零相消
所以我们的收敛域
反而扩大了
我们来看第3条性质
叫乘以指数序列
若序列x(n)
求z变换的结果为X(z)
其收敛域为z的模
大于Rx-
小于Rx+
则
a的n次方
乘以x(n)
其求z变换的结果就为
X(z/a)
a为任意的一个常数
此时
z的模
大于a的模
乘以Rx-
小于a的模
乘以Rx+
我们对这条性质进行一下证明
a的n次方
乘以x(n)求z变换
代入到公式中
我们将a的n次方
和z的-n次方进行组合
得到
∑求和
n从负无穷大
到正无穷大
x(n)乘以一个
z/a的-n次方
也就是X(z/a)
因为z/a的模
是大于Rx-
小于Rx+
我们就可以推出
最终其收敛域为
z的模
大于a的模乘以一个Rx-
小于a的模乘以个Rx+
第4条性质
序列的线性加权
也称为z域求导数
若已知序列x(n)求z变换的结果为X(z)
收敛域为
z的模大于Rx-小于Rx+
则
n乘以x(n)
再来求z变换
其结果为
-z倍的
X(z)对z求一阶导
收敛域
仍然为
z的模大于Rx-
小于Rx+
同样的道理
我们可以求出
n的平方乘以x(n)求z变换的结果
我们只需要把它拆成
n乘以
n倍的x(n)
也就是说
我们把n乘以x(n)看成原序列
然后它再乘上一个n
就是序列的线性加权
利用这个性质
我们就可以求出
n的平方x(n)
求z变换的结果
为最下边这个式子
我们来看刚才这条性质的证明
将序列代入到z变换的公式
然后我们现在对等式两边
同时对z求导
其实
就是对
z的-n次方这一项求导
其结果就为
-n乘一个z的-(n-1)次方
我们把
-z的-1次方
提到求和式外面去
就可以看出
后面
就是一个
序列n倍的x(n)求z变换的公式
所以我们就可以得到最终的结果为
n倍的x(n)求z变换
就等于
-z倍的X(z)对z求一阶导
第5条性质
共轭序列
若已知序列x(n)
求z变换的结果为X(z)
其收敛域为
z的模大于Rx-
小于Rx+
则
序列x(n)的共轭
求z变换
其结果应该为
把z换成z的共轭
然后x(z)的共轭
再取一次共轭
而其收敛域为
z的模
大于Rx-
小于Rx+
其证明过程
我们依然将
X(z)的共轭代入到z变换的公式中
然后我们把这个公式
进行一次变形
把它写成
∑求和
n从负无穷大到正无穷大
x(n)乘一个z的共轭
然后其-n次方
最后再取一个共轭
所以它就可以得到
上面所给出来的结果
第6条性质
翻褶序列
若已知序列x(n)求z变换的结果为X(z)
收敛域为z的模
大于Rx-小于Rx+
则
序列x(-n)
也就是把x(n)翻褶之后
再来求z变换
其结果为X(1/z)
其收敛域
z的模
大于1/Rx+
小于1/Rx-
我们在证明这条性质的时候
把x(-n)
代入到z变换的公式中
然后用n来替换-n
最终可以得到
X(1/z)这个表达式
因为在计算的过程中
是1/z的模
大于Rx-
小于Rx+
所以我们就可以推出
其收敛域为
z的模
大于1/Rx+
而小于1/Rx-
同学们
关于z变换的基本性质和定理
我们就先介绍到这儿
谢谢大家
-绪论
-1.1 序列及其运算
-1.2 常用典型序列及序列的周期性
-1.3 线性移不变系统
-1.4 常系数线性差分方程
-1.5 连续时间信号的理想抽样
-1.6 连续时间信号的实际抽样
-第1章作业
-2.1 序列z变换的定义及收敛域
-2.2 四种序列的z变换及收敛域举例
-2.3 留数法及部分分式法求z反变换
-2.4 幂级数展开法求z反变换
-2.5 z变换的线性及移位性质
-2.6 z变换的初值和终值定理
-2.7 z变换的卷积定理
-2.8 序列的傅里叶变换及其性质
-2.9 序列的z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系
--2.9 序列的z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系
-2.10 离散线性移不变系统的频域表征
-第2章作业
-3.1 傅里叶变换的四种可能形式
- 3.2 周期序列的傅里叶级数（DFS）的定义
-3.3 周期序列的傅里叶级数（DFS）的性质
-3.4 离散傅里叶变换（DFT）的定义
-3.5 DFT的线性和圆周移位性质
-3.6 DFT的圆周共轭对称性质
-3.7 圆周卷积和与圆周卷积和定理
-3.8 线性卷积与圆周卷积的关系
-3.9 频域抽样理论
-第3章作业
-4.1 直接计算DFT的运算量及减少运算量的途径
- 4.2 按时间抽选的基-2FFT算法的算法原理
-4.3 按时间抽选的基-2FFT算法的运算量和算法特点
-4.4 按频率抽选的基-2FFT算法的算法原理
-4.5 按频率抽选的基-2FFT算法的运算量和算法特点
-第4章作业
-5.1 数字滤波器结构的表示方法
-5.2 IIR滤波器的直接型结构
- 5.3 IIR滤波器的级联型结构
- 5.4 IIR滤波器的并联型结构
-5.5 FIR滤波器的基本结构
- 5.6 FIR滤波器的频率抽样型结构
-5.7 线性相位FIR滤波器的结构
-第5章作业
-6.1 数字滤波器的基本概念
-6.2 数字滤波器的技术指标
-6.3 全通滤波器
- 6.4 最小相位滞后滤波器
-6.5 模拟原型巴特沃思低通滤波器设计
-6.6 模拟原型切贝雪夫低通滤波器设计
-6.7 间接法的IIR数字滤波器设计方案
-6.8 冲激响应不变法
-6.9 双线性变换法
-第6章作业
-7.1 FIR数字滤波器的特点
-7.2 FIR数字滤波器的线性相位条件
- 7.3 线性相位FIR数字滤波器频率响应的特点
-7.4 线性相位FIR数字滤波器幅度函数的特点
-7.5 线性相位FIR数字滤波器的零点位置
-7.6 窗函数设计法的设计思路
-7.7 窗函数设计法的性能分析
-7.8 各种窗函数
-7.9 窗函数法的设计步骤
-第7章作业
