当前课程知识点：数字信号处理 > 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换（DTFT） > 2.4 幂级数展开法求z反变换 > 2.4 幂级数展开法求z反变换
同学们好
今天我们一起来学习
z反变换
下面我们来介绍
求z反变换的第3种方法
叫幂级数展开法
也叫长除法
求解的时候我们是把X(z)
展开成一个幂级数
也就是说
把X(z)的求和式
∑求和
n从负无穷大到正无穷大
X(z)可以对z的-n次方逐项的展开
展开之后我们就会发现
这个级数的系数
就是我们的序列x(n)
再用幂级数展开法来求z反变换的时候
我们首先要根据收敛域
来判断x(n)的性质
然后再把它展开成相应的z的幂级数
当收敛域为
z的模大于Rx-时
对应的原序列x(n)
就一定是一个因果序列
我们就可以将X(z)展开成z的负幂级数
X(z)的分子分母
就要按照z的降幂顺序来进行排列
做长除法
而当z的模小于Rx+时
序列x(n)
应该为一个左边序列
我们将X(z)展开成z的正幂级数
这时
用长除法来进行计算的时候
X(z)的分子分母
都要按照自己的升幂顺序来排列
下面我们来看一道例题
X(z)=1-a倍的z的-1次方分之1
其收敛域为
z的模大于a的模
我们要求z反变换
首先
我们由收敛域
可以判断出
x(n)是一个因果序列
所以我们用长除法展开的时候
就可以把它展开成一个z的负幂级数
因为其收敛域为
z的模大于a的模
所以我们在做长除法的时候
分子分母应该按照
z的降幂顺序来进行排列
也就是
分子为1
分母应该是
1-a倍的z的-1次方
求完长除法之后
我们得到的商
为上面的这一行
为1+a倍的z的-1次方
加
a的平方
乘以z的-2次方
再加上a的3次方
乘一个z的-3次方等等
也就是
X(z)现在又是等于
1加a倍的z的-1次方
再加a的平方乘一个
z的-2次方
再加a的3次方乘z的-3次方等等
把这个式子写出其通式
就为
∑求和
n从0开始
到无穷大
a的n次方
乘一个z的-n次方
对比z变换的公式
我们就可以写出
序列x(n)的表达式
等于
a的n次方
乘以u(n)
下面我们再来看一道例题
X(z)是等于
1减a倍的z的-1次方分之1
和前面的那道例题
表达式一样
但收敛域为
z的模小于a的模
我们要求z反变换
我们从其收敛域z的模小于a的模可以看出
该X(z)
对应的原序列x(n)
应该为一个左边序列
我们用长除法展开之后
就为z的正幂级数
采用长除法
来计算其z反变换时
分子分母应该按照
z的升幂顺序来进行排列
也就是
分子为1
而分母为
负的a倍的z的-1次方加1
长除法之后的结果
为上面的这一行
就是
负的a的-1次方乘一个z
减去一个
a的-2次方乘以个z的平方
再减去一个a的-3次方
乘一个z的3次方
等等
也就是说
我们的X(z)被展开为
负的
a的-1次方
乘以一个z
再加上一个
a的-2次方乘一个z的平方
等等
写出其通式
就为
负的∑求和
n从负无穷大到-1
a的n次方
乘以个z的-n次方
对比我们的z变换的公式
可以写出序列x(n)的表达式为
负的a的n次方
乘以一个u(-n-1)
同学们
关于z反变换的内容
我们就介绍到这儿
谢谢大家
-绪论
-1.1 序列及其运算
-1.2 常用典型序列及序列的周期性
-1.3 线性移不变系统
-1.4 常系数线性差分方程
-1.5 连续时间信号的理想抽样
-1.6 连续时间信号的实际抽样
-第1章作业
-2.1 序列z变换的定义及收敛域
-2.2 四种序列的z变换及收敛域举例
-2.3 留数法及部分分式法求z反变换
-2.4 幂级数展开法求z反变换
-2.5 z变换的线性及移位性质
-2.6 z变换的初值和终值定理
-2.7 z变换的卷积定理
-2.8 序列的傅里叶变换及其性质
-2.9 序列的z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系
--2.9 序列的z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系
-2.10 离散线性移不变系统的频域表征
-第2章作业
-3.1 傅里叶变换的四种可能形式
- 3.2 周期序列的傅里叶级数（DFS）的定义
-3.3 周期序列的傅里叶级数（DFS）的性质
-3.4 离散傅里叶变换（DFT）的定义
-3.5 DFT的线性和圆周移位性质
-3.6 DFT的圆周共轭对称性质
-3.7 圆周卷积和与圆周卷积和定理
-3.8 线性卷积与圆周卷积的关系
-3.9 频域抽样理论
-第3章作业
-4.1 直接计算DFT的运算量及减少运算量的途径
- 4.2 按时间抽选的基-2FFT算法的算法原理
-4.3 按时间抽选的基-2FFT算法的运算量和算法特点
-4.4 按频率抽选的基-2FFT算法的算法原理
-4.5 按频率抽选的基-2FFT算法的运算量和算法特点
-第4章作业
-5.1 数字滤波器结构的表示方法
-5.2 IIR滤波器的直接型结构
- 5.3 IIR滤波器的级联型结构
- 5.4 IIR滤波器的并联型结构
-5.5 FIR滤波器的基本结构
- 5.6 FIR滤波器的频率抽样型结构
-5.7 线性相位FIR滤波器的结构
-第5章作业
-6.1 数字滤波器的基本概念
-6.2 数字滤波器的技术指标
-6.3 全通滤波器
- 6.4 最小相位滞后滤波器
-6.5 模拟原型巴特沃思低通滤波器设计
-6.6 模拟原型切贝雪夫低通滤波器设计
-6.7 间接法的IIR数字滤波器设计方案
-6.8 冲激响应不变法
-6.9 双线性变换法
-第6章作业
-7.1 FIR数字滤波器的特点
-7.2 FIR数字滤波器的线性相位条件
- 7.3 线性相位FIR数字滤波器频率响应的特点
-7.4 线性相位FIR数字滤波器幅度函数的特点
-7.5 线性相位FIR数字滤波器的零点位置
-7.6 窗函数设计法的设计思路
-7.7 窗函数设计法的性能分析
-7.8 各种窗函数
-7.9 窗函数法的设计步骤
-第7章作业
