6.5 模拟原型巴特沃思低通滤波器设计在线视频

同学们好

今天这节课我们一起来学习

模拟原型低通滤波器的设计

我们在设计数字滤波器的时候

先将

数字滤波器的技术指标

转换成模拟滤波器的技术指标

然后设计出模拟滤波器

再将模拟滤波器

转换成数字滤波器

遵照这个设计思路

我们需要先设计出

模拟原型滤波器

模拟原型滤波器常见的有

巴特沃思滤波器

切比雪夫滤波器

椭圆滤波器和贝塞尔滤波器

我们在该课程里

重点介绍前两种模拟原型滤波器

首先我们由

幅度平方函数

Ha(jΩ)的模的平方

来确定模拟滤波器的系统函数Ha(s)

其思路

和我们前面讲过的

数字滤波器的幅度平方函数

求其系统函数H(z)的思路是一样的

幅度平方函数

等于Ha(jΩ)

乘以Ha(jΩ)的共轭

又等于Ha(jΩ)Ha(-jΩ)

我们令s=jΩ

就可以得到幅度平方函数

等于Ha(s)

乘以Ha(-s)

我们把Ha(s)

和Ha(-s)混在一起

求出它们所有的零点和极点

然后对其进行分配

分配的时候

因为我们

希望设计出来的模拟滤波器

是一个稳定的系统

因此

我们把s平面

左半平面的极点

都归给Ha(s)

右半平面的极点

归于Ha(-s)

我们将以虚轴为对称轴的

对称零点的任意的一半

作为Ha(s)的零点

虚轴上的零点

一半归Ha(-s)

我们把刚才由幅度平方函数

求系统函数的方法

做一下归纳

第1步

由幅度平方函数

得到象限对称的s平面函数

第二

将Ha(s)

乘以Ha(-s)

因式分解

得到各零极点

第3步

我们对比Ha(jΩ)

和Ha(s)

来确定其增益常数

最后一步

由我们前面求出来的

零极点

和增益常数

写出Ha(s)的表达式

由幅度平方函数求系统函数

我们来看一道例题

已知幅度平方函数

Ha(jΩ)的模的平方

如式

我们现在要来求系统函数Ha(s)

我们令s=jΩ

各自取平方

得到Ω的平方等于-s的平方

代入幅度平方函数

得到Ha(s)

乘以Ha(-s)

就等于幅度平方函数

又等于

49减s的平方

乘以36减s的平方分之

16倍的25加上s的平方的平方

求出其极点和零点

极点为s=±7

s=±6

零点为s=±5j

均为二阶零点

现在我们来对

零 极点进行分配

我们把s平面左半平面的极点

分配给Ha(s)

也就是s=-7

s=-6

而零点s=±5j

因其为2阶零点

所以我们取一对

分配给Ha(s)

接下来我们来看增益常数

我们设增益常数为K0

Ha(s)等于

s+7乘以s+6分之

K0倍的s的平方加25

由Ha(s)等于Ha(jΩ)

在s和Ω均为0的时候

这个等式可以得出K0=4

所以我们最终得到

Ha(s)的表达式

等于

s+7乘以s+6分之

4倍的s的平方加25

我们在学习了通过幅度平方函数

求系统函数的方法之后

我们来具体的看

巴特沃斯低通滤波器的逼近方法

巴特沃斯低通滤波器

其幅度平方函数的表达式

如1式所示

其中N为滤波器的阶数

Ωc为通带的截止频率

当Ha(jΩc)的模的平方

等于1/2的时候

我们可以算出

通带的最大衰减δ1

是等于3dB的

因此我们就称

Ωc为巴特沃斯低通滤波器的

三分贝带宽

我们已知

巴特沃斯滤波器的

幅度平方函数

我们来看一下

巴特沃斯滤波器的幅度特性

和阶次N的关系

如图所示

当N等于2

4 8等不同的阶次的时候

其滤波器的幅频特性

都通过Ωc

1/根号2这个点

也就是

3dB带宽

在这个图中我们可以看出

当Ω=0的时候

其幅度平方函数是等于1

而当Ω=Ωc的时候

其幅度平方函数等于1/2

可计算出其通带的最大衰减

δ1=3dB

也就是

巴德沃斯滤波器的3dB不变性

我们再来看

Ω<Ωc的范围之内

这就是我们的巴特沃斯滤波器的通带

通带内

它有最大平坦的幅度特性

而且是单调减小的

在Ω>Ωc

也就是我们的过渡带和阻带范围内

其

幅频特性快速单调减小

而当Ω=Ωst的时候

也就是Ω等于阻带截止频率时

其衰减

δ2为阻带的最小衰减

我们将巴特沃斯滤波器的幅度平方函数

分解为

Ha(s)Ha(-s)

得到1式

我们分析1式就会发现

巴特沃斯滤波器是一个全极点的滤波器

求出其极点的表达是sk

如2式

其中k的范围是

从1开始一直到2N

也就是共有2N个极点

我们来观察这2N个极点

极点在s平面上是呈

象限对称

分布在巴特沃思圆上

一共个数为2N点

极点之间的角度间隔为

π/Nrad

而且极点是不落在虚轴上

当N为奇数的时候

实轴上有极点

而当N为偶数的时候

实轴上是无极点

接下来

我们就可以把2N个极点

进行分配

把符合要求的分配给Ha(s)

其余的分配给Ha(-s)

我们将巴特沃思滤波器的

幅度平方函数的极点

进行分配后

得到其滤波器的系统函数

如1式

其中极点sk的表达式

如2式

当Ωc等于Ωcr

都等于一弧度每秒的时候

我们就得到归一化系统的系统函数

Han(s)

我们去归一化

就可以得到Ha(s)

它是等于Han(s)的

我们需要令

s=Ωcr/Ωc s

就可以得到3式

同学们

关于模拟原型巴特沃斯低通滤波器的设计

我们就介绍到这儿

谢谢大家