当前课程知识点：数字信号处理 > 第3章 离散傅里叶变换（DFT） > 3.6 DFT的圆周共轭对称性质 > 3.6 DFT的圆周共轭对称性质
同学们好
今天我们来学习
DFT的圆周共轭对称性质
我们在前面讲到
序列的傅里叶变换的对称性质中提到过
任意的一个序列
我们都可以把它表示成
x1(n)和xo(n)之和
x1(n)和xo(n)的表达式
如下
其中x1(n)为
共轭对称序列
xo(n)为
共轭反对称序列
而对于我们任意的一个周期序列x(n)
我们也可以把它写成
x1(n)+xo(n)的形式
其中
x1(n)称为
共轭对称分量
xo(n)称为
共轭反对称分量
接下来我们看两个定义
一个是
圆周共轭对称序列
圆周共轭对称序列
其实就是我们刚刚讲过的
圆周对称分量
取主值序列所得
也就得到xep(n)
第2个
是圆周共轭
反对称序列
它其实是我们前面讲到的
圆周
反对称序列
取主值序列所得
最终
都可以把它写成
xep(n)
加上一个xop(n)的形式
圆周共轭对称序列
满足
xep(n)等于
xep(n)
翻褶之后
再以N进行移位
再对它进行
周期延拓
取共轭
然后再来取主值序列
对这个式子
其中
它的实部圆周
偶对称
而虚部圆周奇对称
幅度
满足圆周偶对称
而幅角
满足圆周奇对称
关于幅度和幅角的对称性
我们可以看下面的图形
幅度函数
为圆周偶对称
幅角函数
为圆周奇对称
看过圆周共轭对称序列之后
我们现在来看一下
圆周共轭反对称序列
它满足下边这个式子
其中
实部是圆周奇对称
虚部圆周偶对称
和我们前面讲的圆周共轭
对称序列刚好是相反的
而幅度是满足圆周偶对称
幅角它没有对称性
同样的道理
我们也可以把
求DFT之后的结果
把它进行分解
X(k)分解成Xep(k)
加上一个Xop(k)
其中
Xep(k) 和Xop(k)
它的表达式如下
接下来我们看一下
共轭对称性
对于序列
x(n)而言
需求DFT的结果为X(k)
现在我们取
序列的实部
来对它进行求DFT运算
得到的结果为
Xep(k)
也就是
DFT的圆周共轭对称分量
我们取
序列x(n)的虚部
然后前面乘上一个j之后
再来求DFT运算
得到的结果为
Xop(k)
也就是
DFT的圆周共轭反对称分量
序列
xep(n)
求DFT变换的话
其结果为
X(k)的实部
而序列
xop(n)
来求DFT
其结果应该为
X(k)的虚部
前面乘一个j
这就是我们所学的
共轭对称性
针对前面所学的共轭对称性
如果序列为实数序列的话
那么
已知序列x(n)
求DFT结果为X(k)
x(n)的实部
求DFT
得到的是Xep(k)
又等于X(k)
x(n)的虚部
等于0
因为它是实数序列
所以
它求出来的频谱Xop(k)
也等于0
而
xep(n)
求DFT
依然为X(k)的实部
而xop(n)
求DFT的结果为
X(k)的虚部乘以j
当序列为
纯虚序列的时候
我们来看一下它的共轭对称性
对纯虚序列
实部是等于0的
所以
求出来的DFT
Xep(k)
就应该也等于0
虚部
x(n)的虚部
乘以j之后
再求DFT
就等于Xop(k)
又等于X(k)
其中
xep(n)求DFT
等于X(k)的实部
xop(n)
求DFT等于
X(k)的虚部乘以j
接下来我们看一道例题
设
x1(n)和x2(n)都是
点数为N的
实数序列
我们试用一次N点的DFT运算
来计算它们各自的DFT
已知x1(n)
求DFT的结果为X1(k)
x2(n)求DFT的结果为X2(k)
那么在计算的过程中
我们可以先
想办法把这两个序列
构造成一个
复序列
构造的结果
w(n)等于
x1(n)
加上一个j倍的x2(n)
也就是说x1(n)
和x2(n)
分别为我们构造的序列的
实部和虚部
我们对
构造的复序列w(n)
来求
DFT变换
得到的结果为
W(k)
计算W(k)
最终得到的结果为
x1(k)
加上一个j倍的
x2(k)
这是由
线性性质所得
接下来我们计算
x1(n)
它的DFT
因为
序列x1(n)
为
序列w(n)的实部
所以
序列x1(n)求DFT
就应该是
w(n)
的实部求DFT变化的结果
也就是Xep(k)
而序列x2(n)
为序列w(n)的虚部
所以
序列x2(n)的DFT
就应该等于
w(n)
的虚部
求DFT变化的结果
也就是的Xop(k)/j
由此
我们就可以利用一次DFT的变换
计算出x1(n)
和x2(n)的DFT变换
同学们
今天这节课我们就介绍到这儿
谢谢大家
-绪论
-1.1 序列及其运算
-1.2 常用典型序列及序列的周期性
-1.3 线性移不变系统
-1.4 常系数线性差分方程
-1.5 连续时间信号的理想抽样
-1.6 连续时间信号的实际抽样
-第1章作业
-2.1 序列z变换的定义及收敛域
-2.2 四种序列的z变换及收敛域举例
-2.3 留数法及部分分式法求z反变换
-2.4 幂级数展开法求z反变换
-2.5 z变换的线性及移位性质
-2.6 z变换的初值和终值定理
-2.7 z变换的卷积定理
-2.8 序列的傅里叶变换及其性质
-2.9 序列的z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系
--2.9 序列的z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系
-2.10 离散线性移不变系统的频域表征
-第2章作业
-3.1 傅里叶变换的四种可能形式
- 3.2 周期序列的傅里叶级数（DFS）的定义
-3.3 周期序列的傅里叶级数（DFS）的性质
-3.4 离散傅里叶变换（DFT）的定义
-3.5 DFT的线性和圆周移位性质
-3.6 DFT的圆周共轭对称性质
-3.7 圆周卷积和与圆周卷积和定理
-3.8 线性卷积与圆周卷积的关系
-3.9 频域抽样理论
-第3章作业
-4.1 直接计算DFT的运算量及减少运算量的途径
- 4.2 按时间抽选的基-2FFT算法的算法原理
-4.3 按时间抽选的基-2FFT算法的运算量和算法特点
-4.4 按频率抽选的基-2FFT算法的算法原理
-4.5 按频率抽选的基-2FFT算法的运算量和算法特点
-第4章作业
-5.1 数字滤波器结构的表示方法
-5.2 IIR滤波器的直接型结构
- 5.3 IIR滤波器的级联型结构
- 5.4 IIR滤波器的并联型结构
-5.5 FIR滤波器的基本结构
- 5.6 FIR滤波器的频率抽样型结构
-5.7 线性相位FIR滤波器的结构
-第5章作业
-6.1 数字滤波器的基本概念
-6.2 数字滤波器的技术指标
-6.3 全通滤波器
- 6.4 最小相位滞后滤波器
-6.5 模拟原型巴特沃思低通滤波器设计
-6.6 模拟原型切贝雪夫低通滤波器设计
-6.7 间接法的IIR数字滤波器设计方案
-6.8 冲激响应不变法
-6.9 双线性变换法
-第6章作业
-7.1 FIR数字滤波器的特点
-7.2 FIR数字滤波器的线性相位条件
- 7.3 线性相位FIR数字滤波器频率响应的特点
-7.4 线性相位FIR数字滤波器幅度函数的特点
-7.5 线性相位FIR数字滤波器的零点位置
-7.6 窗函数设计法的设计思路
-7.7 窗函数设计法的性能分析
-7.8 各种窗函数
-7.9 窗函数法的设计步骤
-第7章作业