当前课程知识点：数字信号处理 > 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换（DTFT） > 2.6 z变换的初值和终值定理 > 2.6 z变换的初值和终值定理
同学们好
今天这节课我们来接着学习
z变换的基本性质和定理
第7条性质
初值定理
对因果序列x(n)
有
X(z)
令z趋近于无穷大处
其极限为x(0)
我们对初值定理进行证明
因为x(n)为一个因果序列
所以
其求z变换的公式
求和区间
原本为n从负无穷大到正无穷大
现在就变为n从0开始到无穷大
我们把求和式展开
得到x(0)
加上一个x(1)
乘z的-1次方加x(2)乘z的-2次方
等等
我们令z趋近于无穷大
就会发现
这个等式的右边
就只剩下x(0)项
所以
x(0)就等于
X(z)
当z趋近于无穷大处的极限
第8条性质
终值定理
设x(n)为因果序列
且x(n)求z变换的极点
处于单位圆以内
在单位圆上
最多是在z=1处
可以有一个一阶极点
则
存在以下结论
就是
当
n趋于无穷大时的x(n)
应该等于
z趋近于1处的
(z-1)X(z)
也就是
x(无穷大)
应该是等于
z趋近于1时
(z-1)X(z)的极限
也就是
X(z)在z=1处的留数
下面我们来证明一下终值定理
我们利用序列的移位
可以得到
序列x(n+1)-x(n)求z变换
应该等于
(z-1)X(z)
代入到z变换的公式中
然后我们再来
把求和区间的上限无穷大
写成极限的形式
得到1式
我们对1式的左右两边
同时来求极限
令z趋近于1
结果就为2式
现在我们把2式
进行求和式展开
展开之后
我们就会发现
每相邻的两项
就会消去一项
所以最终我们可以得到
x(n+1)
当n趋近于无穷大的值
所以
x(无穷大)就等于
z趋近于1时
（z-1)X(z)的极限
也就是
X(z)在z=1处的留数
第9条性质
有限项的累加特性
我们设x(n)为因果序列
及
n小于0的时候
x(n)=0
x(n)求z变换的结果为X(z)
且其收敛域为
z的模大于Rx-
则
∑求和
m从0开始
到n x(m)求z变换
其结果应该为
z/(z-1)X(z)
其中
收敛域为
z的模
大于Rx-
和1中的较大值
下面我们来证明一下这条性质
因为x(n)为因果序列
所以
∑求和
m从0开始到n
x(m)来求z变换
我们将其代入到公式中
然后再改变两个
求和的顺序
就可以得到
∑求和
m从0开始到无穷大
乘以x(m)
然后再乘以个一
1-z的-1次方分之z的-m次方
其中
z的-1次方的模
是小于1的
由此我们可以推出
z的模大于1
这个式子我们进一步化简
得到
1-z的-1次方分之1
乘以
∑求和
m从0开始到无穷大
x(m)z的-m次方
它其实就是等于
z-1分之z
乘以一个X(z)
其中z的模
是大于Rx-
所以最终求出来的
收敛域就应该为
z的模
要大于Rx-
和1中的较大值
同学们
关于z变换的基本性质和定理
我们就先介绍到这儿
谢谢大家
-绪论
-1.1 序列及其运算
-1.2 常用典型序列及序列的周期性
-1.3 线性移不变系统
-1.4 常系数线性差分方程
-1.5 连续时间信号的理想抽样
-1.6 连续时间信号的实际抽样
-第1章作业
-2.1 序列z变换的定义及收敛域
-2.2 四种序列的z变换及收敛域举例
-2.3 留数法及部分分式法求z反变换
-2.4 幂级数展开法求z反变换
-2.5 z变换的线性及移位性质
-2.6 z变换的初值和终值定理
-2.7 z变换的卷积定理
-2.8 序列的傅里叶变换及其性质
-2.9 序列的z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系
--2.9 序列的z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系
-2.10 离散线性移不变系统的频域表征
-第2章作业
-3.1 傅里叶变换的四种可能形式
- 3.2 周期序列的傅里叶级数（DFS）的定义
-3.3 周期序列的傅里叶级数（DFS）的性质
-3.4 离散傅里叶变换（DFT）的定义
-3.5 DFT的线性和圆周移位性质
-3.6 DFT的圆周共轭对称性质
-3.7 圆周卷积和与圆周卷积和定理
-3.8 线性卷积与圆周卷积的关系
-3.9 频域抽样理论
-第3章作业
-4.1 直接计算DFT的运算量及减少运算量的途径
- 4.2 按时间抽选的基-2FFT算法的算法原理
-4.3 按时间抽选的基-2FFT算法的运算量和算法特点
-4.4 按频率抽选的基-2FFT算法的算法原理
-4.5 按频率抽选的基-2FFT算法的运算量和算法特点
-第4章作业
-5.1 数字滤波器结构的表示方法
-5.2 IIR滤波器的直接型结构
- 5.3 IIR滤波器的级联型结构
- 5.4 IIR滤波器的并联型结构
-5.5 FIR滤波器的基本结构
- 5.6 FIR滤波器的频率抽样型结构
-5.7 线性相位FIR滤波器的结构
-第5章作业
-6.1 数字滤波器的基本概念
-6.2 数字滤波器的技术指标
-6.3 全通滤波器
- 6.4 最小相位滞后滤波器
-6.5 模拟原型巴特沃思低通滤波器设计
-6.6 模拟原型切贝雪夫低通滤波器设计
-6.7 间接法的IIR数字滤波器设计方案
-6.8 冲激响应不变法
-6.9 双线性变换法
-第6章作业
-7.1 FIR数字滤波器的特点
-7.2 FIR数字滤波器的线性相位条件
- 7.3 线性相位FIR数字滤波器频率响应的特点
-7.4 线性相位FIR数字滤波器幅度函数的特点
-7.5 线性相位FIR数字滤波器的零点位置
-7.6 窗函数设计法的设计思路
-7.7 窗函数设计法的性能分析
-7.8 各种窗函数
-7.9 窗函数法的设计步骤
-第7章作业