7.4 线性相位FIR数字滤波器幅度函数的特点在线视频

同学们好

今天这节课我们一起来学习

线性相位FIR滤波器的频率响应特点

分析完相位函数的特点

接下来我们再来讨论幅度函数的特点

幅度函数我们分以下4种情况来进行讨论

第1种

当h(n)满足偶对称

而N为奇数时

h(n) 的图形如图所示

其幅度函数的表达式

如1式

因为

cos(N-1)/2

-(N-1-n)ω

它是等于cos(n-N/2-1)ω

因为cos为偶函数

所以它又等于cos((N-1)/2-n)ω

由2式我们可以看出

cos((N-1)/2-n)ω

是对(N-1)/2

呈偶对称

因为b(n)为偶对称

所以我们可以将相同的项进行合并

同时因为N为奇数

所以合并后有一项

h((N-1)/2)

是单独的一项

我们得到幅度函数为3式

在3式中

我们令

(N-1)/2-n=m

我们可以得到4式

我们对4式中的函数

做一下处理

令

a(0)=h((N-1)/2)

a(n)等于

2h((N-1)/2-n)

可以得到

幅度函数的表达式为5式

根据刚才的思路

我们来看

在已知h(n) 的情况下

求出a(n)的表达式

图a为

h(n) 的表达式

其范围为

从0~10

根据a(0)和a(n)的表达式

我们可以求出

a(n)的图形 为b图所示

求解出a(n)的表达式之后

我们再来讨论幅度函数5式

其图形如图所示

因为cos(ωn)

对应ω=0

π和2π的时候

均呈偶对称

所以

H(ω)对应ω=0

π和2π的时候

也是呈偶对称

这种情况

我们可以作为低通 高通 带通

带阻中的任一种滤波器

第2种情况

当h(n)为偶对称

同时N为偶数的情况

h(n)的图形如图所示

此时幅度函数的表达式、

如1式

同样

我们将h(n)中

满足偶对称

相同的项进行合并之后

得到2式

在2式中

我们令

N/2-n=m

就可以得到3式

我们对3式中的两倍的

2h( N/2-m)

做一下处理

令其为b(n)

我们就得到

幅度函数的表达式为 4式

在4式中

我们已知h(n)

如何求b(n)

先看a图

a图为h(n)的图形

将h(n)的值

代入

b(n)=2h(N/2-n)中

得到b(n)的表达

是b(n)的图形

如图b所示

求出b(n)的表达式之后

我们就可以得到

H(ω)的表达式及其图形

如图所示

在图形中

当ω=π的时候

cosω(n-1/2)=0的

则H(π)=0

所以

z=-1 是零点

同时

H(ω)对ω=0

2π是呈偶对称

H(ω)对ω=π

式呈奇对称

因为

z=-1为零点

也就说ω=π的时候

幅度函数等于0

故

不能设计成高通

带阻滤波器

只能用来设计低通和带通滤波器

第3种情况

h(n)为奇对称

N为奇数

h(n)的图形如图所示

此时

幅度函数的表达式

如1式

因为sin(N/2-1)

-(N-1-n)ω

它是等于

sin( n-N/2-1)ω

又因为

sin函数是一个奇函数

所以它又等于一个

-sin(N/2-1-n)ω

也就是2式

由2式我们可以看出

sin(N/2-1-n)ω

对于

N/2-1 是呈奇对称

h(n)呈奇对称

且N为奇数时

h(N/2-1)这一项

必等于0

所以我们将

满足奇对称的项

进行合并之后

就得到3式

我们令3式中的

N/2-1-n=m

得到4式

我们令4式中的

2h(N/2-1-n)=c(n)

则幅度函数

其表达式变为5式

当我们已知h(n)的表达式

如a图所示时

将其代入到

c(n)=2h

(N/2-1-n)的表达式中

可以求出c(n)的表达式

如b图所示

求出c(n)的表达式之后

我们就可以得到

幅度函数

H(ω)的表达式

5式

其图形如图所示

因为sin(ωn)

对ω=0

π和2π

呈奇对称

故

H(ω)对ω=0

π 2π

也呈奇对称

当ω=0 π和2π时

sin(ωn)=0的

则H(ω)=0

所以z=正负1均为零点

像这种情况

我们只能用来设计

带通滤波器

不能用在高通 低通及带阻滤波器的设计中

由于有90度的相移

故

主要可用于设计

离散希尔伯特变换器及微分器

最后一种情况

h(n)为奇对称

同时N为偶数

这种情况h(n)的图形如图所示

其幅度函数表达式为1式

我们合并

h(n)中奇对称的项

得到2式

在2式中

我们令

N/2-n=m

就可以得到3式

我们令3式中的

2h(N/2-n)=d(n)

就可以得出

幅度函数的表达式

如4式

若

h(n)的图形

如a图所示

我们将其表达式代入

d(n)=2h

(N/2-n)的表达式中

得到d(n)的表达式

其图形如b图所示

在计算出d(n)的表达式之后

我们就可以得出

幅度函数的表达式

如4式

图形如图所示

在图形中

当ω=0 二π时

sinω(n-1/2)=0的

则H(ω=0

所以z=1是零点

H(ω)对ω=0和2π

呈奇对称

而H(ω)对ω=π

呈偶对称

所以这种情况

我们只能用来设计

高通或者是带通滤波器

由于有90度的相移

故

主要用来设计希尔伯特变换器及微分器

不能用来设计低通和带阻滤波器

同学们

关于线性相位FIR滤波器的频率响应特点

我们就介绍到这儿

谢谢大家