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下一节:3.9 频域抽样理论

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3.8 线性卷积与圆周卷积的关系课程教案、知识点、字幕

同学们好

今天我们来学习

有限长序列的线性卷积与圆周卷积

假设有两个有限长序列

x1(n)

其范围为

n大于等于0

小于等于N1-1

序列x2(n)

其范围

为n大于等于0

小于等于N2-1

我们令

N大于等于

N1和N2中的较大值

现在我们对这两个有限长序列

来求圆周卷积

x1(n)

和x2(n)

求N点的圆周卷积

结果为

yc(n)

代入到

圆周卷积的公式

接下来

我们对这两个有限长序列

来计算线性卷积

序列x1(n)

和序列x2(n)

求线性卷积的结果为

yl(n)

代入到

线性卷积的

公式中

可以得到下面这个式子

接下来我们讨论圆周卷积

和线性卷积之间的关系

对于序列x1(n)

和x2(n)补零

使其长度都

变为N点

然后我们对x2(n)进行周期延拓

再来计算圆周卷积

写出yc(n)的表达式

最终

推导出来的yc(n)的表达式

是等于

∑求和

r从负无穷大到正无穷大

yl(n+rN)

乘以RN(n)

这个公式

就是我们的圆周卷积和线性卷积之间的关系

上面这个式子所描述的

圆周卷积和线性卷积之间的关系

就是

N点的圆周卷积

yc(n)

是线性卷积yl(n)

以N为周期的

周期延拓序列

再来取主值序列所得

我们知道

对于两个有限长序列

分别为N1点和N2点

其计算线性卷积之后的结果长度为

N1+N2-1

所以

只有当

N大于等于

N1+N2-1的时候

线性卷积的结果

以N为周期进行周期延拓

才不会出现混叠的现象

圆周卷积的长度N

大于等于N1+N2-1的时候

我们

N点的圆周卷积

才能够代表线性卷积

我们来看下边这个图形

给出了两个有限长序列

其中

x1(n)为5点的序列

x2(n)是一个4点的序列

它们计算线性卷积之后

所得到的结果是一个8点的序列

现在我们要对它求一个6点的圆周卷积

刚刚说过

其结果应该是线性卷积

然后以

6为周期进行周期延拓之后

再来取主值序列

因为

这个序列的点数为8点

所以当我们以

N=6为周期对它进行周期延拓的时候

就会出现混叠的现象

对于

这个卷积过程

两个有限长序列

我们分别的计算

它各点的圆周卷积

最终可以发现

当点数

慢慢变大的时候

混叠的情况会减少

当最终

N满足大于等于N1+N2-1的时候

圆周卷积就能够

代表线性卷积

最后

我们对线性卷积的求解方法做一个小结

首先我们可以采用

公式法

在时域直接进行求解

第2个我们也可以利用

z变换的性质

时域要求卷积

把它们分别求完变换转化到z域之后

就应该是求乘法

把两个序列的z变换

求完乘法之后

再求逆z变换

得到的就是我们的卷积结果

最后一个就可以采用我们

今天讲过的DFT的方法

来求线性卷积

我们把序列x(n)和h(n)

分别给它补上

N-N1个0和N-N2个0

使它长度都变为N点

然后对它俩求

N点的DFT变换

把求完DFT变化的结果

做乘法

得到的结果

就应该是我们的

Y(k)

下一步再对Y(k)

求一个N点的IDFT变换

得到的结果就是我们的y(n)

y(n)也就是x(n)

和h(n)线性卷积的结果

同学们

今天这节课我们就讲到这儿

谢谢大家

数字信号处理课程列表:

绪论

-绪论

第1章 离散时间信号与系统

-1.1 序列及其运算

--1.1 序列及其运算

-1.2 常用典型序列及序列的周期性

--1.2 常用典型序列及序列的周期性

-1.3 线性移不变系统

--1.3 线性移不变系统

-1.4 常系数线性差分方程

--1.4 常系数线性差分方程

-1.5 连续时间信号的理想抽样

--1.5 连续时间信号的理想抽样

-1.6 连续时间信号的实际抽样

--1.6 连续时间信号的实际抽样

-第1章作业

第2章 z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)

-2.1 序列z变换的定义及收敛域

--2.1 序列z变换的定义及收敛域

-2.2 四种序列的z变换及收敛域举例

--2.2 四种序列的z变换及收敛域举例

-2.3 留数法及部分分式法求z反变换

--2.3 留数法及部分分式法求z反变换

-2.4 幂级数展开法求z反变换

--2.4 幂级数展开法求z反变换

-2.5 z变换的线性及移位性质

--2.5 z变换的线性及移位性质

-2.6 z变换的初值和终值定理

--2.6 z变换的初值和终值定理

-2.7 z变换的卷积定理

--2.7 z变换的卷积定理

-2.8 序列的傅里叶变换及其性质

--2.8 序列的傅里叶变换及其性质

-2.9 序列的z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系

--2.9 序列的z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系

-2.10 离散线性移不变系统的频域表征

--2.10 离散线性移不变系统的频域表征

-第2章作业

第3章 离散傅里叶变换(DFT)

-3.1 傅里叶变换的四种可能形式

--3.1 傅里叶变换的四种可能形式

- 3.2 周期序列的傅里叶级数(DFS)的定义

--3.2 周期序列的傅里叶级数(DFS)的定义

-3.3 周期序列的傅里叶级数(DFS)的性质

--3.3 周期序列的傅里叶级数(DFS)的性质

-3.4 离散傅里叶变换(DFT)的定义

-- 3.4 离散傅里叶变换(DFT)的定义

-3.5 DFT的线性和圆周移位性质

--3.5 DFT的线性和圆周移位性质

-3.6 DFT的圆周共轭对称性质

--3.6 DFT的圆周共轭对称性质

-3.7 圆周卷积和与圆周卷积和定理

--3.7 圆周卷积和与圆周卷积和定理

-3.8 线性卷积与圆周卷积的关系

--3.8 线性卷积与圆周卷积的关系

-3.9 频域抽样理论

--3.9 频域抽样理论

-第3章作业

第4章 快速傅里叶变换(FFT)

-4.1 直接计算DFT的运算量及减少运算量的途径

--4.1 直接计算DFT的运算量及减少运算量的途径

- 4.2 按时间抽选的基-2FFT算法的算法原理

--4.2 按时间抽选的基-2FFT算法的算法原理

-4.3 按时间抽选的基-2FFT算法的运算量和算法特点

--4.3 按时间抽选的基-2FFT算法的运算量和算法特点

-4.4 按频率抽选的基-2FFT算法的算法原理

-- 4.4 按频率抽选的基-2FFT算法的算法原理

-4.5 按频率抽选的基-2FFT算法的运算量和算法特点

--4.5 按频率抽选的基-2FFT算法的运算量和算法特点

-第4章作业

第5章 数字滤波器的基本结构

-5.1 数字滤波器结构的表示方法

--5.1 数字滤波器结构的表示方法

-5.2 IIR滤波器的直接型结构

-- 5.2 IIR滤波器的直接型结构

- 5.3 IIR滤波器的级联型结构

-- 5.3 IIR滤波器的级联型结构

- 5.4 IIR滤波器的并联型结构

--5.4 IIR滤波器的并联型结构

-5.5 FIR滤波器的基本结构

--5.5 FIR滤波器的基本结构

- 5.6 FIR滤波器的频率抽样型结构

--5.6 FIR滤波器的频率抽样型结构

-5.7 线性相位FIR滤波器的结构

-- 5.7 线性相位FIR滤波器的结构

-第5章作业

第6章 无限长单位冲激响应(IIR)数字滤波器设计方法

-6.1 数字滤波器的基本概念

--6.1 数字滤波器的基本概念

-6.2 数字滤波器的技术指标

--6.2 数字滤波器的技术指标

-6.3 全通滤波器

--6.3 全通滤波器

- 6.4 最小相位滞后滤波器

-- 6.4 最小相位滞后滤波器

-6.5 模拟原型巴特沃思低通滤波器设计

--6.5 模拟原型巴特沃思低通滤波器设计

-6.6 模拟原型切贝雪夫低通滤波器设计

--6.6 模拟原型切贝雪夫低通滤波器设计

-6.7 间接法的IIR数字滤波器设计方案

--6.7 间接法的IIR数字滤波器设计方案

-6.8 冲激响应不变法

--6.8 冲激响应不变法

-6.9 双线性变换法

--6.9 双线性变换法

-第6章作业

第7章 有限长单位冲激响应(FIR)数字滤波器设计方法

-7.1 FIR数字滤波器的特点

--7.1 FIR数字滤波器的特点

-7.2 FIR数字滤波器的线性相位条件

--7.2 FIR数字滤波器的线性相位条件

- 7.3 线性相位FIR数字滤波器频率响应的特点

-- 7.3 线性相位FIR数字滤波器频率响应的特点

-7.4 线性相位FIR数字滤波器幅度函数的特点

-- 7.4 线性相位FIR数字滤波器幅度函数的特点

-7.5 线性相位FIR数字滤波器的零点位置

--7.5 线性相位FIR数字滤波器的零点位置

-7.6 窗函数设计法的设计思路

--7.6 窗函数设计法的设计思路

-7.7 窗函数设计法的性能分析

--7.7 窗函数设计法的性能分析

-7.8 各种窗函数

--7.8 各种窗函数

-7.9 窗函数法的设计步骤

--7.9 窗函数法的设计步骤

-第7章作业

3.8 线性卷积与圆周卷积的关系笔记与讨论

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