当前课程知识点:数字信号处理 > 第3章 离散傅里叶变换(DFT) > 3.8 线性卷积与圆周卷积的关系 > 3.8 线性卷积与圆周卷积的关系
同学们好
今天我们来学习
有限长序列的线性卷积与圆周卷积
假设有两个有限长序列
x1(n)
其范围为
n大于等于0
小于等于N1-1
序列x2(n)
其范围
为n大于等于0
小于等于N2-1
我们令
N大于等于
N1和N2中的较大值
现在我们对这两个有限长序列
来求圆周卷积
x1(n)
和x2(n)
求N点的圆周卷积
结果为
yc(n)
代入到
圆周卷积的公式
接下来
我们对这两个有限长序列
来计算线性卷积
序列x1(n)
和序列x2(n)
求线性卷积的结果为
yl(n)
代入到
线性卷积的
公式中
可以得到下面这个式子
接下来我们讨论圆周卷积
和线性卷积之间的关系
对于序列x1(n)
和x2(n)补零
使其长度都
变为N点
然后我们对x2(n)进行周期延拓
再来计算圆周卷积
写出yc(n)的表达式
最终
推导出来的yc(n)的表达式
是等于
∑求和
r从负无穷大到正无穷大
yl(n+rN)
乘以RN(n)
这个公式
就是我们的圆周卷积和线性卷积之间的关系
上面这个式子所描述的
圆周卷积和线性卷积之间的关系
就是
N点的圆周卷积
yc(n)
是线性卷积yl(n)
以N为周期的
周期延拓序列
再来取主值序列所得
我们知道
对于两个有限长序列
分别为N1点和N2点
其计算线性卷积之后的结果长度为
N1+N2-1
所以
只有当
N大于等于
N1+N2-1的时候
线性卷积的结果
以N为周期进行周期延拓
才不会出现混叠的现象
即
圆周卷积的长度N
大于等于N1+N2-1的时候
我们
N点的圆周卷积
才能够代表线性卷积
我们来看下边这个图形
给出了两个有限长序列
其中
x1(n)为5点的序列
x2(n)是一个4点的序列
它们计算线性卷积之后
所得到的结果是一个8点的序列
现在我们要对它求一个6点的圆周卷积
刚刚说过
其结果应该是线性卷积
然后以
6为周期进行周期延拓之后
再来取主值序列
因为
这个序列的点数为8点
所以当我们以
N=6为周期对它进行周期延拓的时候
就会出现混叠的现象
对于
这个卷积过程
两个有限长序列
我们分别的计算
它各点的圆周卷积
最终可以发现
当点数
慢慢变大的时候
混叠的情况会减少
当最终
N满足大于等于N1+N2-1的时候
圆周卷积就能够
代表线性卷积
最后
我们对线性卷积的求解方法做一个小结
首先我们可以采用
公式法
在时域直接进行求解
第2个我们也可以利用
z变换的性质
时域要求卷积
把它们分别求完变换转化到z域之后
就应该是求乘法
把两个序列的z变换
求完乘法之后
再求逆z变换
得到的就是我们的卷积结果
最后一个就可以采用我们
今天讲过的DFT的方法
来求线性卷积
我们把序列x(n)和h(n)
分别给它补上
N-N1个0和N-N2个0
使它长度都变为N点
然后对它俩求
N点的DFT变换
把求完DFT变化的结果
做乘法
得到的结果
就应该是我们的
Y(k)
下一步再对Y(k)
求一个N点的IDFT变换
得到的结果就是我们的y(n)
y(n)也就是x(n)
和h(n)线性卷积的结果
同学们
今天这节课我们就讲到这儿
谢谢大家
-绪论
-1.1 序列及其运算
-1.2 常用典型序列及序列的周期性
-1.3 线性移不变系统
-1.4 常系数线性差分方程
-1.5 连续时间信号的理想抽样
-1.6 连续时间信号的实际抽样
-第1章作业
-2.1 序列z变换的定义及收敛域
-2.2 四种序列的z变换及收敛域举例
-2.3 留数法及部分分式法求z反变换
-2.4 幂级数展开法求z反变换
-2.5 z变换的线性及移位性质
-2.6 z变换的初值和终值定理
-2.7 z变换的卷积定理
-2.8 序列的傅里叶变换及其性质
-2.9 序列的z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系
--2.9 序列的z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系
-2.10 离散线性移不变系统的频域表征
-第2章作业
-3.1 傅里叶变换的四种可能形式
- 3.2 周期序列的傅里叶级数(DFS)的定义
-3.3 周期序列的傅里叶级数(DFS)的性质
-3.4 离散傅里叶变换(DFT)的定义
-3.5 DFT的线性和圆周移位性质
-3.6 DFT的圆周共轭对称性质
-3.7 圆周卷积和与圆周卷积和定理
-3.8 线性卷积与圆周卷积的关系
-3.9 频域抽样理论
-第3章作业
-4.1 直接计算DFT的运算量及减少运算量的途径
- 4.2 按时间抽选的基-2FFT算法的算法原理
-4.3 按时间抽选的基-2FFT算法的运算量和算法特点
-4.4 按频率抽选的基-2FFT算法的算法原理
-4.5 按频率抽选的基-2FFT算法的运算量和算法特点
-第4章作业
-5.1 数字滤波器结构的表示方法
-5.2 IIR滤波器的直接型结构
- 5.3 IIR滤波器的级联型结构
- 5.4 IIR滤波器的并联型结构
-5.5 FIR滤波器的基本结构
- 5.6 FIR滤波器的频率抽样型结构
-5.7 线性相位FIR滤波器的结构
-第5章作业
-6.1 数字滤波器的基本概念
-6.2 数字滤波器的技术指标
-6.3 全通滤波器
- 6.4 最小相位滞后滤波器
-6.5 模拟原型巴特沃思低通滤波器设计
-6.6 模拟原型切贝雪夫低通滤波器设计
-6.7 间接法的IIR数字滤波器设计方案
-6.8 冲激响应不变法
-6.9 双线性变换法
-第6章作业
-7.1 FIR数字滤波器的特点
-7.2 FIR数字滤波器的线性相位条件
- 7.3 线性相位FIR数字滤波器频率响应的特点
-7.4 线性相位FIR数字滤波器幅度函数的特点
-7.5 线性相位FIR数字滤波器的零点位置
-7.6 窗函数设计法的设计思路
-7.7 窗函数设计法的性能分析
-7.8 各种窗函数
-7.9 窗函数法的设计步骤
-第7章作业