当前课程知识点：数字信号处理 > 第3章 离散傅里叶变换（DFT） > 3.7 圆周卷积和与圆周卷积和定理 > 3.7 圆周卷积和与圆周卷积和定理
同学们好
今天我们要来学习的内容是
圆周卷积和
与圆周卷积和定理
设
x1(n)和x2(n)
都是点数为N的有限长序列
如果
点数不相等
分别为N1和N2点的话
那么我们就把它
补零
使其成为N点
其中
N是大于等于
N1和N2中的较大值
先已知x1(n)求DFT的结果
为X1(k)
x2(n)
求DFT的结果为X2(k)
若
已知Y(k)是等于X1(k)
乘以X2(k)
则
y(n)
就应该等于Y(k)求
IDFT运算
而这个式子展开
代入
我们的序列x1(n) x2(n) 之后
得到的就是我们的
圆周卷积和公式
后边显示的圆周卷积和公式有两种形式
这个是因为
圆周卷积和公式
满足交换律
我们现在来证明
圆周卷积和定理
由前面所学过的周期卷积和知道
若已知
X1(k)×X2(k)=Y(k)
则
Y(k)求IDFS变换
得到y(n)
其中Y(k)和y(n)都是周期的
根据我们前面所学过的
DFS和DFT之间的关系可知
y(n)
应该等于周期序列y(n)
乘以RN(n)
也就是取主值序列
所以得到我们
所要的结论
看完圆周卷积和的定义
接下来
我们来看一下
圆周卷积具体计算的时候的过程
一般可以分解成
如下的5步
第1步
当
两个序列的点数
不一致或者是
圆周卷积规定的点数
要大于这两个序列的长度时
我们要先进行补零
第2步
对序列进行周期延拓
第3步
选取其中的任意的一个序列
对它进行反褶
然后
取主值序列
第4步
对上面所取的主值序列
做圆周移位
第5步
相乘和相加
序列x1(n)
和序列x2(n)
求圆周卷积的时候
表示形式我们是
写成一个N外加一个圆圈
代表圆周卷积和
其中N
一般就是我们所取的
圆周卷积的点数
接下来我们看一道例题
已知序列x1(n)
等于5减n乘以一个R5(n)
而x2(n)是等于R4(n)
我们要来求这两个序列的6点圆周卷积和
这道题我们采用
前面介绍过的表格法来进行处理
表格的第1行
n或者m这是我们的自变量
因为待会涉及到一个
换变量的过程
第2行x1(n/m)
这个是我们的序列
x1(n)
换完变量之后
变为m
第3行是x2(n/m)
也就是序列x2(n)
换完变量之后变为x2(m)
它们的取值
一个是5位
一个是4位
然后我们因为要计算
6点的圆周卷积和
所以我们对它们都做了补零
接下来
我们对序列x2(m)
进行周期延拓
以6为周期
对它进行周期延拓
得到
x2((m))6
周期延拓之后
我们对x2((m))6进行
翻褶
翻褶之后
下一步
我们对它取主值序列
取完主值序列之后
得到的幅值为
100111
接下来
对该主值序列
做圆周移位
这个移位就用到我们前面讲过的圆周移位
也就是说
我们只需要把主值序列的值
按照我们刚刚讲的
左移呢就是让主值序列的几个值
向左移
移动几位
那么就是挪动几个值
右移的话就把主值序列的几个值
向右
从右边旋转往左边进
右边出左边进
圆周移位之后
最后一步
我们是要相乘相加
把移位之后的值
和x1(n)
也就是x1(m)
的各项对应相乘
最后相加
得到我们的结果
y(n)
y(n)也是一个
6点的
有限长序列
也就是说
两个
有限长序列
计算
N点的圆周卷积
其结果也是一个N点的有限长序列
同样
我们利用对称性
若已知x1(n)
乘以x2(n)等于y(n)
则
y(n)
求DFT就得到Y(k)
把这个式子展开
我们会得到
Y(k)是等于
X1(k)和X2(k)的一个卷积
满足我们前面所说过的
时域求卷积
到了频域就是做乘法
而时域相乘
频谱是求卷积
同学们
今天这节课我们就上到这儿
谢谢大家
-绪论
-1.1 序列及其运算
-1.2 常用典型序列及序列的周期性
-1.3 线性移不变系统
-1.4 常系数线性差分方程
-1.5 连续时间信号的理想抽样
-1.6 连续时间信号的实际抽样
-第1章作业
-2.1 序列z变换的定义及收敛域
-2.2 四种序列的z变换及收敛域举例
-2.3 留数法及部分分式法求z反变换
-2.4 幂级数展开法求z反变换
-2.5 z变换的线性及移位性质
-2.6 z变换的初值和终值定理
-2.7 z变换的卷积定理
-2.8 序列的傅里叶变换及其性质
-2.9 序列的z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系
--2.9 序列的z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系
-2.10 离散线性移不变系统的频域表征
-第2章作业
-3.1 傅里叶变换的四种可能形式
- 3.2 周期序列的傅里叶级数（DFS）的定义
-3.3 周期序列的傅里叶级数（DFS）的性质
-3.4 离散傅里叶变换（DFT）的定义
-3.5 DFT的线性和圆周移位性质
-3.6 DFT的圆周共轭对称性质
-3.7 圆周卷积和与圆周卷积和定理
-3.8 线性卷积与圆周卷积的关系
-3.9 频域抽样理论
-第3章作业
-4.1 直接计算DFT的运算量及减少运算量的途径
- 4.2 按时间抽选的基-2FFT算法的算法原理
-4.3 按时间抽选的基-2FFT算法的运算量和算法特点
-4.4 按频率抽选的基-2FFT算法的算法原理
-4.5 按频率抽选的基-2FFT算法的运算量和算法特点
-第4章作业
-5.1 数字滤波器结构的表示方法
-5.2 IIR滤波器的直接型结构
- 5.3 IIR滤波器的级联型结构
- 5.4 IIR滤波器的并联型结构
-5.5 FIR滤波器的基本结构
- 5.6 FIR滤波器的频率抽样型结构
-5.7 线性相位FIR滤波器的结构
-第5章作业
-6.1 数字滤波器的基本概念
-6.2 数字滤波器的技术指标
-6.3 全通滤波器
- 6.4 最小相位滞后滤波器
-6.5 模拟原型巴特沃思低通滤波器设计
-6.6 模拟原型切贝雪夫低通滤波器设计
-6.7 间接法的IIR数字滤波器设计方案
-6.8 冲激响应不变法
-6.9 双线性变换法
-第6章作业
-7.1 FIR数字滤波器的特点
-7.2 FIR数字滤波器的线性相位条件
- 7.3 线性相位FIR数字滤波器频率响应的特点
-7.4 线性相位FIR数字滤波器幅度函数的特点
-7.5 线性相位FIR数字滤波器的零点位置
-7.6 窗函数设计法的设计思路
-7.7 窗函数设计法的性能分析
-7.8 各种窗函数
-7.9 窗函数法的设计步骤
-第7章作业
