3.4 离散傅里叶变换（DFT）的定义在线视频

同学们好

今天我们要学习的内容是

离散傅里叶变换

对一个长度为N的有限长序为x(n)

和一个

周期为N的周期序列的x(n)

它们之间有什么关系

我们把

周期序列x(n)

乘以一个矩形序列RN(n)

得到的结果

就是我们的

有限长序列x(n)

我们也称

序列x(n)

是周期序列x(n)的

主值序列

周期序列x(n)

可以看作是

有限长序列x(n)

以N为周期

进行周期延拓之后

得到的结果

也就是说

周期序列x(n)

是有限长序列x(n)的

周期延拓

这是在时域

同样的道理

在频域

X(k)

也是一个N点的有限长序列

我们把X(k)

以N为周期

进行周期延拓之后

得到

X(k)

周期序列

我们把周期序列X(k)

乘以

矩形序列RN(k)之后

得到的

也是我们的

有限长序列X(k)

也叫主值序列

我们今天要讲授的离散傅里叶变换

序列是有限长的

求出来的频谱也是有限长的

但是

有限长序列

里面是隐含着周期性的

也就是说

它是我们

从周期序列里面取出来的

主值序列

有限长序列的

离散傅里叶正变换

和反变换公式

如下所示

我们可以观察这两个式子

进行比较

发现这两个式子

也是非常相似

形式上

很接近

反变换公式

比正变化公式

前面多了一项1/N的系数

求和区间

也都是从0开始

到N-1

我们仔细观察这两个式子

就会发现

DFT的正反变换公式

和我们前面一节所学过的

DFS的正反变换公式

是非常相像的

区别就在于

DFS的变换公式中

x(n)和X(k)都是周期的

而在我们DFT变换公式中

x(n)和X(k)

都是有限长的

而

DFS和DFT的关系就是

DFT

是

DFS的

主值序列

而

DFS是DFT的周期延拓

所以我们可以把它写成

下边这种形式

有限长序列X(k)

等于

周期序列X(k)

乘以一个RN(k)

序列x(n)

也可以把它写成周期序列x(n)

乘以RN(n)

这就是我们讲过的

DFS和DFT之间的一个关系

接下来我们为大家介绍

有限长序列的DFT

与序列的DTFT

和Z变换

它们三者之间的关系

序列x(n)

求

DTFT变换

得到的结果为

X(e的jω次方)

序列求z变换的公式

得到的结果为X(z)

而序列x(n)求

DFT得到的结果

为X(k)

这三个式子的求和区间

都是一样的

序列x(n)

也是相同的

区别就在最后一项

最终我们得出来的结果

X(k)可以

等于X(z)

我们需要令

z等于e的j2π/N

乘以k次方

它还可以等于X(e的jω次方)

令ω等于2π/N乘以k

这个式子就揭示了这三种变换之间的关系

其中

序列 x(n)的

n点DFT

它是

序列x(n)的z变换

在

单位圆上的

N点等间隔抽样

序列x(n)的N点DFT

还是

x(n)它的DTFT

在区间0到2π上的

N点等间隔抽样

我们在后续做题的过程中

可以利用这三大变化的关系

来解决问题

我们来看一下这道例题

已知序列x(n)

等于R4(n)

我们要求序列x(n)的8点和

16点的DFT

我们做这道题的时候

首先来求序列x(n)的DTFT

序列的傅里叶变换

求出来的结果为X(e的jω次方)

代入公式

再利用求和公式

对分子分母分别进行处理

构造欧拉公式

得出最终结果

求出来的频谱

幅频特性

如图所示

现在我们要来求序列的8点DFT

根据DFT和DTFT之间的关系

我们可以直接把

DTFT的结果

进行

8等分抽样所得

也就是X(k)

等于X(e的jω次方）

令ω等于2π/8乘以k

代入

即可以得到结果

我们可以观察一下

这个频谱图

幅频特性

原本

DTFT的结果

是一个连续的频谱

现在被

8等分抽样之后

得到一个离散的频谱

接下来我们再来计算x(n)的16点的DFT

当N等于16的时候

我们只需要把

DTFT的结果

做

16点的抽样

也就是X(k)

等于X(e的jω次方)

令

ω等于2π/16

乘以k

代入到这个公式之后

最后得出结果

我们再来关注一下频谱图

第1个图

是直接计算DTFT得到的频谱

得到的是连续的

第2个图

是刚才求N等于8点时候的DFT的结果

是刚才的连续的频谱图

做了8点的等间隔抽样

所得到的结果

而最下边的这张图

则是在刚才连续频谱的基础上

做了N等于16点的等间隔抽样之后

得到的结果

同学们

今天这节课我们就讲述到这儿

谢谢大家