当前课程知识点：数字信号处理 > 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换（DTFT） > 2.1 序列z变换的定义及收敛域 > 2.1 序列z变换的定义及收敛域
同学们好
今天我们一起来学习
序列的z变换
首先我们来看z变换的定义
序列x(n)的z变换
定义为
x(z)=ZT[x(n)]
∑求和
n从负无穷大
到正无穷大
x(n)×z的负n次方
其中z是一个复变量
所在的复平面就称为z平面
我们来看这个图形
这个序列
为一个5点长的有限长序列
我们将其代入z变换的定义式
可以求出X(z)表达式为
2Z+1+1.5的z的负一次方-z的-2次方
再加上一个0.5倍的z的-3次方
下面我们来看
z变换的收敛域与零极点
对于任意给定序列x(n)
使其z变换X(z)收敛的
所有z值的集合
就称为X(z)的收敛域
级数收敛的充要条件
是要满足绝对可和
绝对可和的表达式
如1式
我们令
X(z)=P(z)/Q(z)
则
X(z)的零点
就是使X(z)=0的点
也即
P(z)=0
和当Q(z)的阶次
高于P(z)时
Q(z)趋近于无穷大
X(z)的极点
是使X(z)趋于无穷大的点
以及
Q(z)=0
和当
P(z)的阶次高于Q(z)时
P(z)是趋近于无穷大
下面我们来看几种常见的序列
第1种
有限长序列
有限长序列的定义是
当n大于等于n1
小于等于n2时
取值为非零值
而在其它的n值
其取值为0
如图所示
即为一个有限长序列
其z变换的表达式X(z)
就应该等于
∑求和
n从n1开始到n2
x(n)乘以一个z的-n次方
很显然
这个z变换的收敛域
应该为
z的模大于0
小于无穷大
如图所示
关于有限长序列的收敛域
我们还可以细分为
如下三种情况
第1种
当0≥n1
≤n2
也就是说
n的取值
有正有负时
这种情况
我们求出来的
z变换的收敛域为
z的模
≥0
＜∞
第2种情况
当n1≥0
≤n2
也就是说
整个序列都位于
原点的右边
这时我们求出其z变换的收敛域为
z的模大于零
小于等于无穷大
第3种情况
当n2≥n1
≤0
也就是说
整个序列的取值
都位于原点的左边
这个时候我们求出来的z变换
其收敛域范围为
z的模
≥0
小于无穷大
下面我们来看
第2种序列
叫右边序列
右边序列的定义式为
当n大于等于n1时
其取值为x(n)
当n小于n1时
其取值为0
如图所示
即为一个右边序列
我们在求其z变换时
X(z)的表达式
我们将
求和区间
给它分成两部分
一部分为
n从n1开始到-1
另一部分为
n从0开始到无穷大
其中
前半部分
求和式的收敛域为
z的模
大于等于0
小于无穷大
而
后面这个式子
其求z变换的收敛域为
z的模
大于Rx-
小于等于无穷大
所以
当n1大于等于0时
右边序列
求z变换之后的收敛域为
z的模
大于Rx-
小于等于无穷大
而当
n1小于0时
右边序列求Z变换的收敛域为
z的模
大于RX-
小于无穷大
在右边序列中
有一种特殊的序列
叫因果序列
因果序列指的是
n1=0的右边序列
如图所示
即为一个因果序列
因果序列
求z变换之后
其收敛域为
z的模
大于RX-
小于等于无穷大
因果序列的z变换
必在无穷大处收敛
另外
在无穷大处收敛的z变换
其序列
必为因果序列
因果序列的
z变换收敛域
如图所示
下面我们来看第3种序列
也叫左边序列
左边序列的表达式
x(n)是等于
当n
小于等于2
取值为x(n)
当n大于n2时
取值为0
如图所示
即为一个左边序列
其z变换
X(z)
我们也可以
根据其求和区间
将其分成两部分
一部分
n的取值是从
负无穷到0
而另一部分
n的范围为
从1开始到n2
前面那个式子
求
z变换
其收敛域应该为
z的模
大于等于0
小于Rx+
而后面这一部分
求z变换
其收敛域应该为
z的模
大于零
小于等于无穷大
所以
当n2小于等于零时
左边序列求z变换
其收敛域为
z的模大于等于0
小于Rx+
而当n2大于零时
左边序列求z变换
其收敛域为
z的模大于0
小于Rx+
其收敛域
如图所示
最后
我们来介绍第4种序列
叫双边序列
双边序列是指
n为任意值时
皆有取值的序列
如图所示
即为一个双边序列
双边序列的z变换
我们也可以
将其求和区间
分成两部分
其中一部分为
n从负无穷大到负1
另一部分为
n从0开始到无穷大
前面这一部分
其收敛域为
z的模
大于等于0
小于Rx+
而后面的这一部分
其收敛域为
z的模
大于Rx-
小于等于无穷大
所以
当Rx-
大于等于Rx+时
我们的收敛域就为一个空集
而当Rx-
小于Rx+时
其收敛域为
z的模
大于Rx-
小于Rx+
如图所示
同学们
关于序列的z变换我们就介绍到这
谢谢大家
-绪论
-1.1 序列及其运算
-1.2 常用典型序列及序列的周期性
-1.3 线性移不变系统
-1.4 常系数线性差分方程
-1.5 连续时间信号的理想抽样
-1.6 连续时间信号的实际抽样
-第1章作业
-2.1 序列z变换的定义及收敛域
-2.2 四种序列的z变换及收敛域举例
-2.3 留数法及部分分式法求z反变换
-2.4 幂级数展开法求z反变换
-2.5 z变换的线性及移位性质
-2.6 z变换的初值和终值定理
-2.7 z变换的卷积定理
-2.8 序列的傅里叶变换及其性质
-2.9 序列的z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系
--2.9 序列的z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系
-2.10 离散线性移不变系统的频域表征
-第2章作业
-3.1 傅里叶变换的四种可能形式
- 3.2 周期序列的傅里叶级数（DFS）的定义
-3.3 周期序列的傅里叶级数（DFS）的性质
-3.4 离散傅里叶变换（DFT）的定义
-3.5 DFT的线性和圆周移位性质
-3.6 DFT的圆周共轭对称性质
-3.7 圆周卷积和与圆周卷积和定理
-3.8 线性卷积与圆周卷积的关系
-3.9 频域抽样理论
-第3章作业
-4.1 直接计算DFT的运算量及减少运算量的途径
- 4.2 按时间抽选的基-2FFT算法的算法原理
-4.3 按时间抽选的基-2FFT算法的运算量和算法特点
-4.4 按频率抽选的基-2FFT算法的算法原理
-4.5 按频率抽选的基-2FFT算法的运算量和算法特点
-第4章作业
-5.1 数字滤波器结构的表示方法
-5.2 IIR滤波器的直接型结构
- 5.3 IIR滤波器的级联型结构
- 5.4 IIR滤波器的并联型结构
-5.5 FIR滤波器的基本结构
- 5.6 FIR滤波器的频率抽样型结构
-5.7 线性相位FIR滤波器的结构
-第5章作业
-6.1 数字滤波器的基本概念
-6.2 数字滤波器的技术指标
-6.3 全通滤波器
- 6.4 最小相位滞后滤波器
-6.5 模拟原型巴特沃思低通滤波器设计
-6.6 模拟原型切贝雪夫低通滤波器设计
-6.7 间接法的IIR数字滤波器设计方案
-6.8 冲激响应不变法
-6.9 双线性变换法
-第6章作业
-7.1 FIR数字滤波器的特点
-7.2 FIR数字滤波器的线性相位条件
- 7.3 线性相位FIR数字滤波器频率响应的特点
-7.4 线性相位FIR数字滤波器幅度函数的特点
-7.5 线性相位FIR数字滤波器的零点位置
-7.6 窗函数设计法的设计思路
-7.7 窗函数设计法的性能分析
-7.8 各种窗函数
-7.9 窗函数法的设计步骤
-第7章作业
