6.9 双线性变换法在线视频

同学们好

今天我们一起来学习

双线性变换法

首先我们来看一下

双线性变换法的变换原理

它就是要使

数字滤波器的频率响应

与模拟滤波器的频率响应相似

也就是说我们来从频域进行逼近

前面我们学的冲激响应不变法

它是从时域来模仿逼近

它缺点就是

产生频率响应的混叠失真

为了避免频率响应的混叠失真

我们现在

把s平面

给它想办法压缩到s1平面

这个s1平面

所有的频率都限定在正负π/T之间

这样的一个频带

然后我们再想办法把s1平面和z平面

进行关联

这样它们之间就是一个一一映射的关系

在转换的过程中

s平面的Ω范围为

负无穷大到正无穷大

压缩到s1平面之后

Ω1的范围为

-π/T~π/T之间

而这个压缩的公式

只需要用到

Ω=tg(Ω1T/2)

就可以实现

然后s1平面和s平面的映射关系

就写为z=e的s1T次方

它们之间就是一个一一映射的关系

下面我们来进行公式推导

因为我们刚刚写到了

从s平面到s1平面的压缩公式为

Ω=tg(Ω1T/2)

我们把tg公式写成sin/cos

再继续把sin和cos用欧拉公式来进行描述

描述完之后

我们令s=jΩ

再令s1=jΩ1

我们就可以把

s=jΩ

和s1=jΩ1

都代入求出s的表达式

最终

等于1+z的-1次方分之

1-z的-1次方

这是我们利用z来描述s

同样的道理

我们也可以用s来表示z

写成z=(1+s)/(1-s)

为了使模拟滤波器

它的某一个频率与数字滤波器的任意一个频率

都有对应关系

我们引入了一个系数c

Ω=c tg(Ω1T/2)

代入进行公式推导之后

得到s=c倍的

1+z的-1次方分之1-z的-1次方

同时z=(c+s)/(c-s)

对于刚才引入的常数c的选择

一般有如下两种情况

1

在低频处有较确切的对应关系

也就说Ω是约等于Ω1的时候

Ω1约等于Ω

又等于c tg(Ω1T/2)

它约等于c倍的Ω1T/2

我们可以推出

c是等于2/T

第2种情况

某一个特定的频率

严格的相对应

也就是

Ωc对应ωc的时候

那么

Ωc就等于c倍的tg

Ω1cT/2

又等于c倍的tgωc/2

由这个式子可以推出

c是等于Ωc

乘一个ctgωc/2

也就是说特定频率处

频率的响应严格相等

可以较准确的控制截止频率的位置

接下来我们来讨论

双线性变换法设计的过程中

滤波器的逼近情况

第一

s等于c倍的1+z的-1次方分之

1-z的-1次方

令z=e的jω次方

它就等于c倍的1+e的-jω次方

分之1-e的-jω次方

又等于

j倍的c乘以一个tgω/2

等于jΩ

查看结果就是

s=jΩ

也就意味着

σ=0的

其含义就是

s平面的虚轴

因为在推导的过程中

我们用到了z=e的jω次方

也就是z平面的单位圆

所以s平面的虚轴映射z平面的单位圆

第二

z=(c+s)/(c-s)z

我们把s

的复数形式写入

它就等于c-σ

减去一个jΩ分之c+σ+jΩ

求z的模就等于

根号下c-σ的平方加Ω的平方分之

根号下c+σ的平方再加Ω平方

接下来我们对这个式子来进行讨论

分以下三种情况

首先当σ<0的时候

我们可以推出

z的模小于1

这也就是

s平面的左半平面

映射z平面的单位圆内

当σ>0的时候

我们可以推出

z的模大于1

也就是

s平面的右半平面

对应z平面的单位圆外

当σ=0的时候

我们可以推出z的模是等于1的

也就是

s平面的虚轴

对应z平面的单位圆上的

下面我们来讨论双线性变换法的优缺点

首先看它优点

双线性变换法

它避免了频率响应的混叠现象

Ω是等于c倍的tgω/2

s平面与z平面为单值变换关系

如图所示

双线性变换法的缺点

它是除了在零频率附近

Ω和ω之间有严重的非线性

因此

线性相位的模拟滤波器

通过双线性变换法转换之后

就成为一个非线性相位的数字滤波器

第二

它要求模拟滤波器的幅频响应

为分段常数型

不然它就会产生畸变

分段常数型模拟滤波器

经变换之后

仍然为分段常数型数字滤波器

但是

它在临界频率点上会产生畸变

也就是

Ω1=ω1/T

而ω是等于两倍的

tgΩ1/c的负一次方

它不等于ω1

针对这种情况

我们需要对其进行预畸变

给定数字滤波器的截止频率要ω1

得

Ω1是等于c倍的tgω1/2

我们按照Ω1来设计模拟滤波器

经双线性变换后

即可以得到ω1为截止频率的数字滤波器

最后我们来看一下模拟滤波器的数字化方法

已知

模拟滤波器的系统函数Ha(s)

我们只需要令

s=c倍的1加z的-1次方分之

1-z的-1次方

就可以

求出数字滤波器的系统函数H(z)

若滤波器的阶次较高

我们也可以将它进行分解

常见的有两种分解方法

一种为

分解成级联的低阶子系统

也就是把Ha(s)

写成Ha1(s)乘以Ha1(s)一直到乘以Ham(s)

然后将每一个子系统

通过双线性变换法进行转换

相乘得到我们H(z)

另一种方法为

分解成并联的低阶子系统

Ha(s)=Ha1(s)

加上一个Ha2(s)再加一直加到Ham(s)

逐项的

进行双线性变换法

转换成H1(z)加H2(z)一直加的Hm(z)

最终得到数字滤波器的系统函数H(z)

同学们

双线性变换法设计数字滤波器的内容

我们就介绍到这儿

谢谢大家