当前课程知识点：数字信号处理 > 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换（DTFT） > 2.9 序列的z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系 > 2.9 序列的z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系
同学们好
今天我们一起来学习
序列的z变换
与连续时间信号的拉普拉斯变换
傅里叶变换的关系
序列的z变换
其表达式为
由x(n)求X(z)
连续时间信号的拉普拉斯变换为
xa(t)求Xa(s)
连续时间信号的
傅立叶变换为
由xa(t)求Xa(jΩ)
首先我们来看
序列的z变换
与理想抽样信号的拉普拉斯变换
前面我们讲过
理想的抽样信号
xa(t) hat的表达式
如1式
其拉普拉斯变换
Xa(s) hat
代入到拉普拉斯变换的公式中
得到2式
我们将
1式中的右半部分
来替换左半部分
代入到2式
就可以得到3式
在3式中
我们改变积分和求和的顺序
得到4式
4式中
利用冲激函数的筛选性质
我们就可以求出5式
已知抽样序列x(n)
它是等于xa(nT)
其z变换的表达式
如6式
我们比较理想抽样信号的拉普拉斯变换
也就是7式
6式和7式的比较之后我们可以得到
当
z=e的sT次方时
X(z)是等于
Xa(s) hat
当z等于e的sT次方时
抽样序列的z变换
是等于
理想抽样信号的拉普拉斯变换
也即
X(z)
令z等于e的sT次方
是等于
X
(e的sT次方)
也等于
Xa(s) hat
也就是8式
这个反应的其实就是复平面
s
到复平面z的一个
映射关系
我们把这两个复平面
分别用一种形式来进行描述
s平面
我们采用直角坐标的形式来描述
写为
s=σ+jΩ
z平面
我们用极坐标来进行描述
写为z等于
r倍的e的jω次方
把
s和z的表达式
代入到z等于e的s乘以次方中
就得到
e的σ+jΩ乘以T次方
把这两项拆开
得到
e的σ乘以T次方
乘以一个e的jω乘以T次方
它又等于
r倍的e的jω次方
因为这是一个复数
所以
模和模相等
相位和相位相等
我们就可以得出
下边这两个公式
一个为
r等于e的σ乘以T次方
另外一个为
ω=ΩT
我们先来讨论第1个公式
r等于e的σ乘以T次方
σ
为s的实部
画出来之后
在s平面上
就是它的实轴
r
为z平面的模
现在
当σ=0时
对应的s平面的就是虚轴
σ=0
可以推出r是等于1的
也就是z平面的单位圆
因此
我们可以看出
s平面的虚轴
是映射z平面的单位圆上
如图所示
当σ小于0时
也就是s平面的左半平面
因为σ小于0
我们可以推出r是小于1的
也就是z平面的单位圆内
所以
s平面的左半平面
是与z平面的单位圆内
相对应
最后我们来看
当σ大于0时
也就是s平面的右半平面
根据σ大于0可以推出r大于1
也就是z平面的单位圆外部
所以
s平面的右半平面
是映射z平面的单位圆外
如图所示
下面我们再来讨论第2个公式
ω=Ω
在s平面上
当ω等于0时
对应的就是我们的实轴
对应到z平面
ω等于0
就是我们的正实轴
在s平面上
当Ω等于Ω0
它就是一条平行的直线
对应到这z平面
就应该是
ω等于Ω0乘以一个T
是一条辐射线
z平面中的
参数ω的范围
应该为-π到+π
对应的s平面
ω的范围就应该是
-π/T到+π/T
z平面的ω
从-π到+π
就相当于是
整个z平面的范围
而
转换到s平面
就只有
-π/T到+π/T的范围
也就是说
整个z平面
会映射到s平面中
ω为正负π/T之间的频带
我们把
s平面的ω
取
-3π/T
到-π/T之间
或者取
+π/T到3π/T之间
又可以映射一个
z平面
所以我们可以看出
s平面到z平面的映射
就是一个多值映射关系
当
z等于e的s乘以T次方时
X(z)是等于Xa(s)hat
而我们前面在讲
时域的抽样时
得到的结论为1式
所以
我们就可以写出
X(z)在z等于e的sT次方时
它就应该等于
1/T
∑求和
K从负无穷到正无穷
Xa(s-jkΩs)
也就是2式
其函域为
序列的z变换
是连续时间信号的
拉普拉斯变换的周期延拓
其幅度为
1/T
下面我们来看
序列的z变换
与理想抽样信号的傅里叶变换
傅里叶变换是拉普拉斯变换在虚轴上的特例
即
s=jΩ
我们将其映射到z平面
就为单位圆
也就是z等于e的jωT次方
求出X(z)的表达式
令z等于e的jωT次方
就得到
X(e的jωT次方)
又等于Xa(jΩ)hat
还等于
Xa(s)hat
令s=jΩ
所以我们得出来的结论就是
抽样序列在单位圆上的z变换
是等于
其理想抽样信号的傅里叶变换
同学们
序列的z变换
与连续时间信号的拉普拉斯变换
以及傅里叶变换的关系
我们就介绍到这儿
谢谢大家
-绪论
-1.1 序列及其运算
-1.2 常用典型序列及序列的周期性
-1.3 线性移不变系统
-1.4 常系数线性差分方程
-1.5 连续时间信号的理想抽样
-1.6 连续时间信号的实际抽样
-第1章作业
-2.1 序列z变换的定义及收敛域
-2.2 四种序列的z变换及收敛域举例
-2.3 留数法及部分分式法求z反变换
-2.4 幂级数展开法求z反变换
-2.5 z变换的线性及移位性质
-2.6 z变换的初值和终值定理
-2.7 z变换的卷积定理
-2.8 序列的傅里叶变换及其性质
-2.9 序列的z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系
--2.9 序列的z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系
-2.10 离散线性移不变系统的频域表征
-第2章作业
-3.1 傅里叶变换的四种可能形式
- 3.2 周期序列的傅里叶级数（DFS）的定义
-3.3 周期序列的傅里叶级数（DFS）的性质
-3.4 离散傅里叶变换（DFT）的定义
-3.5 DFT的线性和圆周移位性质
-3.6 DFT的圆周共轭对称性质
-3.7 圆周卷积和与圆周卷积和定理
-3.8 线性卷积与圆周卷积的关系
-3.9 频域抽样理论
-第3章作业
-4.1 直接计算DFT的运算量及减少运算量的途径
- 4.2 按时间抽选的基-2FFT算法的算法原理
-4.3 按时间抽选的基-2FFT算法的运算量和算法特点
-4.4 按频率抽选的基-2FFT算法的算法原理
-4.5 按频率抽选的基-2FFT算法的运算量和算法特点
-第4章作业
-5.1 数字滤波器结构的表示方法
-5.2 IIR滤波器的直接型结构
- 5.3 IIR滤波器的级联型结构
- 5.4 IIR滤波器的并联型结构
-5.5 FIR滤波器的基本结构
- 5.6 FIR滤波器的频率抽样型结构
-5.7 线性相位FIR滤波器的结构
-第5章作业
-6.1 数字滤波器的基本概念
-6.2 数字滤波器的技术指标
-6.3 全通滤波器
- 6.4 最小相位滞后滤波器
-6.5 模拟原型巴特沃思低通滤波器设计
-6.6 模拟原型切贝雪夫低通滤波器设计
-6.7 间接法的IIR数字滤波器设计方案
-6.8 冲激响应不变法
-6.9 双线性变换法
-第6章作业
-7.1 FIR数字滤波器的特点
-7.2 FIR数字滤波器的线性相位条件
- 7.3 线性相位FIR数字滤波器频率响应的特点
-7.4 线性相位FIR数字滤波器幅度函数的特点
-7.5 线性相位FIR数字滤波器的零点位置
-7.6 窗函数设计法的设计思路
-7.7 窗函数设计法的性能分析
-7.8 各种窗函数
-7.9 窗函数法的设计步骤
-第7章作业
