2.3 留数法及部分分式法求z反变换在线视频

同学们好

今天我们一起来学习

Z反变换

Z反变换

和我们前面学过的

Z变换

是一对变换对

Z变换

是由序列x(n)

求其X(z)

而Z反变换

则是由

X(z)

来还原出原序列x(n)

其实质

是求X(z)的幂级数展开式

通常我们求Z反变换的方法

有

围线积分法

也叫留数法

部分分式法

还有长除法

下面

我们来分别进行介绍

我们先来看第1种方法

围线积分法

也叫留数法

根据复变函数的理论

若函数X(z)在环状区域内

也就是Z的模

大于x-

小于x+

之内是解析的

则

在此区域内

X(z)是可以展开成罗朗级数的

即

X(z)

等于

∑求和

n从负无穷大

到正无穷大

Cn乘一个z的负n次方

而其中Cn是等于

2πj分之1

X(z)乘一个z的n-1次方

求围线积分

其中围线C

是在X(z)的环状收敛域内

环绕原点的一条

反时针方向的闭合单围线

如图所示

由

X(z)求x(n)

其表达式为

x(n)=1/2πj

X(z)×Z的n-1次方求围线积分

我们

求解的时候

利用留数定理

来求围线积分

首先令

F(z)=X(z)乘以Z的n-1次方

若F(z)在围线c上连续

在c内又有k个极点

zk

则

x(n)就应该等于

F(z)在Z等于zk处

求留数

然后k个

留数求和

若F(z)在c外有m个极点zm

且分母多项式Z的阶次

比分子多项式高二阶或者二阶以上

则

x(n)是可以等于

负的F(z)

在Z等于zm处的留数

然后

m个留数求和

其中

刚刚用到的留数的计算公式为

我们来看

单阶极点的留数计算公式

F(z)

在z=zr处的留数

是等于

z-zr

乘以F(z)

然后再令

z等于zr所得

下面我们来看一道例题

X(z)的表达式

如式

其收敛域为z的模

大于1/4小于4

要求其z反变换

采用围线积分法来求解

x(n)的表达式

应该是等于

X(z)

乘一个Z的n-1次方求围线积分

我们令

F(z)等于

4-z

乘以一个z-1/4

分子z的平方

再乘一个z的n-1次方

它就等于

4-z乘一个z-1/4分之

z的n+1次方

我们对这个式子进行讨论

当n大于等于-1时

f(z)在围线c之内

只有一阶极点

z=1/4

如图所示

因为围线C

只能位于收敛域之内

所以

围线C

在1/4~4

之间

而

围线C之内

只有一个极点

就是z=1/4

因此

我们只需要求解

z=1/4处的

留数

即可得到 x(n)的表达式

代入留数公式

求出其结果为

15分之4的负n次方

当n小于-1时

F(z)在围线C之内

有一阶极点z等于1/4

和-(n+1阶)的极点

z=0

而在围线C之外

只有一阶极点

z=0

如图所示

且F(z)的分母多项式的阶次

要高于分子多项式是的阶次两次以上

因此我们就可以采用

围线C之外的极点来求留数

进而来求序列x(n)

得到

x(n)是等于负的

F(z)在Z=4处求留数

代入留数公式

求出其最后的结果为15分之

4的n+2次方

综合刚才的两种情况

最终

我们可以写出

序列x(n)的表达式为

4/15的负n次方

乘以一个u(n+1)

再加上一个4/15的n+2次方

乘以u(-n-2)

接下来我们来介绍第2种

求z反变换的方法

叫部分分式展开法

因为X(z)是z的有理分式

所以我们可以将其分解为部分分式

也就是

X(z)是等于B(z)比A(z)的

我们可以把它拆成

各个部分分式求和的形式

就等于X1(z)

加X2(z)一直加到XK(z)

而在求反变换的时候

我们可以对个部分

都求z反变换

所以

最终我们的x(n)就应该等于

各部分求z反变换之后

再求和所得

X(z)是等于B(z)比A(z)

其为一个

有理分式

表达式为1式

我们将1式进行部分分式展开

得到2式

在2式中

其系数

Ak我们用留数定理来进行求解

系数Ak

的求解公式

如3式

接下来我们看一道例题

X(z)的表达式如式

其收敛域为z的模大于2小于3

现在要求其z反变换

我们采用部分分式展开法来求解这道题

X(z)的表达式中

我们对其分子分母同时乘一个z的平方

就得到z的平方

加上一个z减5/6z

再对其分母进行因式分解

得到z-2乘以一个z+3分之5z

对于方程式的两边

同时提一个z出来

得到X(z)比z就等于

z-2乘上z+3分之5

对其进行部分分式展开

得到

z-2分之A1

再加上一个z+3分之A2

我们采用留数法

求出系数A1和A2

分别为1和-1

求出A1和A2之后

我们就可以得到

X(z)比z的结果为

z-2分之1

加上一个z+3分之-1

我们再对这个式子的左右两边同时乘一个z

就得到

X(z)是等于

z-2分之z

再加上一个z+3分之-z

对这两个式子

上下同除一个z之后

就可以得到

1-2倍的z的负1次方分之1

再加上一个

1+3倍的z的负1次方分之-1

因为我们的收敛域为

z的模

大于2

小于3

说明

对应的原序列应该是一个双边序列

所以

我们利用前面

学到的

a的n次方u(n)求z变换

和a的n次方u(-n-1)求z变换的公式

可以得到

1-2倍的z的负1次方分之1

其求

Z反变换的结果为

2的n次方u(n)

而

而1+3倍的Z的负1次方分之-1

其求

Z反变化的结果为

-3的n次方

u(-n-1)

所以

最后我们求出其结果x(n)

就等于

2的n次方x(n)

加上一个

-3的n次方

乘以一个u(-n-1)

同学们

关于z反变换的内容

我们就介绍到这儿

谢谢大家

谢谢大家