当前课程知识点：数字信号处理 > 第3章 离散傅里叶变换（DFT） > 3.9 频域抽样理论 > 3.9 频域抽样理论
同学们好
今天我们来学习
抽样z变换
也叫频域抽样理论
我们在前面学习过一个时域抽样定理
是这样说
在满足奈奎斯特定理的条件下
时域抽样信号
可以不失真地还原
连续信号
那么在频域呢
频域抽样是什么样的结论
抽样又要满足什么样的条件
我们要想还原信号我们的内插公式又是什么呢
我们今天就来看一看这个问题
对于
任意一个绝对可和的非周期序列x(n)
其z变换的公式
如下
对于X(z)在单位圆上
作N点的等间隔抽样
我们就可以得到周期序列
X(k)
接下来我们来分析一下
周期序列X(k)
与我们的有限长序列x(n)
是个什么关系
我们令xN(n)
为X(k)的IDFS
代入公式
把X(k)
写成DFS的变换公式
改变求和顺序
接下来我们再利用
前面所讲过的
旋转因子的
正交性
我们可以最终得出
xN(n)是等于
∑求和
r从负无穷到正无穷
x(n+rN)
从这个表达式我们可以看得出来
xN(n)
其实等于
序列x(n)
做周期延拓之后
所得到的结果
我们由频域抽样序列X(k)
还原得到的周期序列
是
原来的非周期序列x(n)的一个周期延拓序列
而其延拓的周期
就是我们的频率抽样点数N
所以最终的结论就是这样
我们时域抽样
会造成频域的周期延拓
同样的道理
频率抽样就会造成时域的周期延拓
这个结论
在我们前面讨论
傅里叶变换的4种形式的时候
已经见到过
因为抽样
把一个连续的信号抽成离散的
而
连续的信号的频谱
是非周期的
而
离散信号的频谱是周期的
所以从一个非周期的信号到周期信号
它经过的运算就是一个周期延拓
当序列x(n)是一个无限长序列的时候
在发生
周期延拓的过程中
就会出现混叠失真
而当x(n)为有限长序列
设其长度为M
那么有两种情况
一种是频率抽样点数N
大于等于
序列的长度M的时候
它是不会混叠失真的
而当
频率的抽样点数N
要小于序列的长度M
那么在周期延拓的过程中
它就会出现混叠失真现象
针对我们刚才讲的关系
我们得到频域的采样定理
若序列的长度为M
则只有当频率的采样点数N
大于等于M的时候
才有xN(n)取主值序列
等于x(n)
即
可以由频域的X(K)
不失真的恢复原信号x(n)
否则就会产生时域的混叠现象
接下来我们来看
用频域的采样X(k)
表示X(z)的内插公式
有限长序列x(n)的点数为M点
其频域的抽样间隔为N点
而且N是大于等于M的
我们写出其z变换的公式
其中
序列x(n)
我们把它替换成
DTFT公式
也就是说用X(k)来描述我们的x(n)
再把求和式展开
得到最终的结果
这个就是我们最终的内插公式
根据我们刚刚推导出来的内插公式
我们令其中的
φK(z)
等于1/N(1-z的-N次方)
比上1-WN-k
乘z的负一次方为
内插函数
则可以把上面的内插公式
简写为
X(z)等于
∑求和k从0开始到N-1
X(K)乘以φK(z)
内插公式的
零点和极点
可以表示成图中所示的
我们也可以把频域的采样X(k)
表示成X(e的jω)的内插公式
X(e的jω)
和X(z)是有一个关系的
我们可以令
X(e的jω)等于X(z)
其中z=e的jω次方
代入到刚刚讲过的内插公式中
就可以得出
X(e的jω)的表达式
其中φK(e的jω)
也是根据前面的
内插函数φK(z)所得
由此我们可以得到我们的内插函数
φ(ω)
这个就是我们的
内插函数的幅度频谱和相位频谱图
根据前面的推导
我们得出我们最终的内插公式
其图形可以看得出来
它是等于各项最终进行叠加所得
今天我们给大家介绍了频域抽样
把信号在z域进行抽样之后
继而对它
通过内插的方式进行还原
以及要想无失真还原
需要满足的条件
好同学们今天这节课就上到这儿
谢谢大家
-绪论
-1.1 序列及其运算
-1.2 常用典型序列及序列的周期性
-1.3 线性移不变系统
-1.4 常系数线性差分方程
-1.5 连续时间信号的理想抽样
-1.6 连续时间信号的实际抽样
-第1章作业
-2.1 序列z变换的定义及收敛域
-2.2 四种序列的z变换及收敛域举例
-2.3 留数法及部分分式法求z反变换
-2.4 幂级数展开法求z反变换
-2.5 z变换的线性及移位性质
-2.6 z变换的初值和终值定理
-2.7 z变换的卷积定理
-2.8 序列的傅里叶变换及其性质
-2.9 序列的z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系
--2.9 序列的z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系
-2.10 离散线性移不变系统的频域表征
-第2章作业
-3.1 傅里叶变换的四种可能形式
- 3.2 周期序列的傅里叶级数（DFS）的定义
-3.3 周期序列的傅里叶级数（DFS）的性质
-3.4 离散傅里叶变换（DFT）的定义
-3.5 DFT的线性和圆周移位性质
-3.6 DFT的圆周共轭对称性质
-3.7 圆周卷积和与圆周卷积和定理
-3.8 线性卷积与圆周卷积的关系
-3.9 频域抽样理论
-第3章作业
-4.1 直接计算DFT的运算量及减少运算量的途径
- 4.2 按时间抽选的基-2FFT算法的算法原理
-4.3 按时间抽选的基-2FFT算法的运算量和算法特点
-4.4 按频率抽选的基-2FFT算法的算法原理
-4.5 按频率抽选的基-2FFT算法的运算量和算法特点
-第4章作业
-5.1 数字滤波器结构的表示方法
-5.2 IIR滤波器的直接型结构
- 5.3 IIR滤波器的级联型结构
- 5.4 IIR滤波器的并联型结构
-5.5 FIR滤波器的基本结构
- 5.6 FIR滤波器的频率抽样型结构
-5.7 线性相位FIR滤波器的结构
-第5章作业
-6.1 数字滤波器的基本概念
-6.2 数字滤波器的技术指标
-6.3 全通滤波器
- 6.4 最小相位滞后滤波器
-6.5 模拟原型巴特沃思低通滤波器设计
-6.6 模拟原型切贝雪夫低通滤波器设计
-6.7 间接法的IIR数字滤波器设计方案
-6.8 冲激响应不变法
-6.9 双线性变换法
-第6章作业
-7.1 FIR数字滤波器的特点
-7.2 FIR数字滤波器的线性相位条件
- 7.3 线性相位FIR数字滤波器频率响应的特点
-7.4 线性相位FIR数字滤波器幅度函数的特点
-7.5 线性相位FIR数字滤波器的零点位置
-7.6 窗函数设计法的设计思路
-7.7 窗函数设计法的性能分析
-7.8 各种窗函数
-7.9 窗函数法的设计步骤
-第7章作业
