当前课程知识点：数字信号处理 > 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换（DTFT） > 2.2 四种序列的z变换及收敛域举例 > 2.2 四种序列的z变换及收敛域举例
同学们好
今天我们一起来学习
序列的z变换
下面我们来看一道例题
求序列x(n)=RN(n)的z变换
及其收敛域
序列RN(n)为的矩形序列
其
取值为
当n从0到N-1时
取值为1
其它
n值时为0
也就是一个
有限长序列
我们将其
代入到z变换的公式
得到1式
然后再利用
求和公式
求和公式
如
右边这个公式
代入到求和公式之后
就得到2式
我们将2式
上下同乘一个z的N次方
就得到3式
我们对有限长序列
求完z变换之后
其零点
为
z等于e的j倍的2πr比上一个N次方
其中
r的范围为从1开始到N-1
也就是说
这些零点
是分布在
单位圆上的一些点
而且是
把
圆周2π N等分
而极点
是位于z=0处
阶次为N-1阶
对于这个有限长序列
求z变换的结果
其收敛域为
z的模
大于0
小于等于无穷大
我们来看第二道例题
求
序列x(n)=a的n次方u(n)的Z变换
及其收敛域
通过序列的形式
我们就可以看出
该序列为一个
右边序列
且为右边序列中的
因果序列
我们将其代入
z变换的公式
求和式
进行展开
最终得到
其结果为
1-a倍的z的-1次方分之1
其收敛域为
z的模
大于a的模
根据H(z)的表达式
我们可以求出其
零极点
零点为
z=0
而极点为
z=a
其收敛域
和零极点
的位置如图所示
我们来看第三道例题
求序列x(n)
等于-a的n次方
u（-n-1）的z变换
及其收敛域
从表达式我们可以看出
这是一个左边序列
我们将其代入z变换的
公式中
得到1式
然后将
u(-n-1)
写入到求和区间中
可以得到2式
再将该求和式展开
计算
得到3式
我们可以看出
这个左边序列求z变换的结果
和我们上一道例题
右边序列求z变换的结果
是一样的
不同之处在于其收敛域
该左边序列求z变换的收敛域为
z的模
小于a的模
因为X(z)的表达式
和上道例题的X(z)一样
所以
其零极点的位置
也是一样的
该左边序列的z变换收敛域
以及零极点的位置
如图所示
我们再来看一道例题
求序列x(n)
等于
a的
n的绝对值次方
其中a为实数
我们要来求其z变换和其收敛域
我们把n的绝对值
去掉可以得到
这是一个双边序列
我们将该双边序列
代入到求z变换的公式中
会得到两项
其中的一项
范围为
n从负无穷大到负1
另外一项的求和区间为
n从0开始到无穷大
我们做一次变量代换
令n=-n
我们就可以得到
第1项为
n从1开始到无穷大
我们把求和区间分成这两部分之后
分别对其求z变换
因为
∑求和
n从1开始到无穷大
a的n次方乘一个z的n次方
它是等于
1-a倍的z
分之az
其收敛域为
z的模
小于a的模分之1
而
∑求和
n从0开始到无穷大
a的n次方
乘一个z的负n次方
其求z变换的结果为
1-a倍的z的-1次方分之1
其收敛域为
z的模
大于a的模
所以
当a的模
大于等于1的时候
这两项
是没有公共的收敛域的
因此
z变换不存在
而当
a的模小于1时
X(z)就应该是等于
两项
分别求z变换之后再来计算
也就是1式
而且收敛域
应该是
两个z变换的收敛域的
公共部分
也就是
z的模
大于a的模
小于a的模分之1
我们还可以通过1式
来求出
该z变换的零点和极点
该双边序列
其收敛域
和零极点的分布
如图所示
综合我们前面讲了4种序列
及其z变换
和收敛域之后
我们得出如下结论
第一
给定z变换X(z)
不能唯一的确定一个序列
只有同时给出收敛域
才能唯一的确定
第二
X(z)在收敛域内解析
不能有极点
故
右边序列的z变换收敛域
一定在模最大的有限极点所在的圆之外
而
左边序列的z变换收敛域
一定是在模最小的有限极点所在圆之内
我们来看这4个图
在这4个图形中
我们一共是有三个极点
每个图上均有三个极点
这三个极点分别为
z等于a
z等于b
z等于c
且这三个极点的模
不一样
分别为
a的模小于b的模小于c的模
由这三个极点
我们就可以写出
4种收敛域
这4种收敛域分别为
z的模
大于c的模
z的模
小于a的模
z的模
大于a的模
小于b的模
z的模
大于b的模
小于c的模
同学们
关于序列的z变换
我们就介绍到这
谢谢大家
-绪论
-1.1 序列及其运算
-1.2 常用典型序列及序列的周期性
-1.3 线性移不变系统
-1.4 常系数线性差分方程
-1.5 连续时间信号的理想抽样
-1.6 连续时间信号的实际抽样
-第1章作业
-2.1 序列z变换的定义及收敛域
-2.2 四种序列的z变换及收敛域举例
-2.3 留数法及部分分式法求z反变换
-2.4 幂级数展开法求z反变换
-2.5 z变换的线性及移位性质
-2.6 z变换的初值和终值定理
-2.7 z变换的卷积定理
-2.8 序列的傅里叶变换及其性质
-2.9 序列的z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系
--2.9 序列的z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系
-2.10 离散线性移不变系统的频域表征
-第2章作业
-3.1 傅里叶变换的四种可能形式
- 3.2 周期序列的傅里叶级数（DFS）的定义
-3.3 周期序列的傅里叶级数（DFS）的性质
-3.4 离散傅里叶变换（DFT）的定义
-3.5 DFT的线性和圆周移位性质
-3.6 DFT的圆周共轭对称性质
-3.7 圆周卷积和与圆周卷积和定理
-3.8 线性卷积与圆周卷积的关系
-3.9 频域抽样理论
-第3章作业
-4.1 直接计算DFT的运算量及减少运算量的途径
- 4.2 按时间抽选的基-2FFT算法的算法原理
-4.3 按时间抽选的基-2FFT算法的运算量和算法特点
-4.4 按频率抽选的基-2FFT算法的算法原理
-4.5 按频率抽选的基-2FFT算法的运算量和算法特点
-第4章作业
-5.1 数字滤波器结构的表示方法
-5.2 IIR滤波器的直接型结构
- 5.3 IIR滤波器的级联型结构
- 5.4 IIR滤波器的并联型结构
-5.5 FIR滤波器的基本结构
- 5.6 FIR滤波器的频率抽样型结构
-5.7 线性相位FIR滤波器的结构
-第5章作业
-6.1 数字滤波器的基本概念
-6.2 数字滤波器的技术指标
-6.3 全通滤波器
- 6.4 最小相位滞后滤波器
-6.5 模拟原型巴特沃思低通滤波器设计
-6.6 模拟原型切贝雪夫低通滤波器设计
-6.7 间接法的IIR数字滤波器设计方案
-6.8 冲激响应不变法
-6.9 双线性变换法
-第6章作业
-7.1 FIR数字滤波器的特点
-7.2 FIR数字滤波器的线性相位条件
- 7.3 线性相位FIR数字滤波器频率响应的特点
-7.4 线性相位FIR数字滤波器幅度函数的特点
-7.5 线性相位FIR数字滤波器的零点位置
-7.6 窗函数设计法的设计思路
-7.7 窗函数设计法的性能分析
-7.8 各种窗函数
-7.9 窗函数法的设计步骤
-第7章作业
