当前课程知识点：数字信号处理 > 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换（DTFT） > 2.8 序列的傅里叶变换及其性质 > 2.8 序列的傅里叶变换及其性质
同学们好
今天我们一起来学习
序列的傅立叶变换及其性质
已知序列x(n)
求其傅里叶变换
其公式如1式
已知序列的傅里叶变换
X(e的jω次方)
要求其原序列x(n)
其公式有2式
我们可以看出
序列的傅里叶变换的
正反变换公式
从形式上看
也是比较相像的
反变换公式前面有一个2π分之1的系数
然后其复指数项
1式中为负
2式中为正
另外1式中为求和
而2式中为积分
若
序列x(n)绝对可和
即
∑求和
n从负无穷大到正无穷大
对x(n)乘以一个e的-jωn次方
的模来求和
其应该等于
∑求和
n从负无穷大到正无穷大
对x的模进行求和
应该是小于无穷大
则其傅里叶变换
X(e的jω次方)
存在且连续
是序列的z变换
在单位圆上的值
也就是
X(e的jω次方)
应该是等于X(z)
我们令z
等于e的jω次方
后面即是
其求傅里叶变换的公式
若序列的傅立叶变换
X(e的jω次方)
存在且连续
且是其z变换在单位圆上的值
则序列X(z)一定绝对可和
将X(e的jω次方)
展成傅立叶级数
其系数即为x(n)
根据前面所讲过的z反变换的公式
如1式
我们
令z等于e的jω次方
得到2式
我们将2式中的
e的jω次方求导
得到3式
将3式进行计算
我们最终得到4式
从上面的公式推导可以看出
作为单位圆上的z变换
序列的傅里叶变换
它也满足z变换的主要的性质和定理
所以
关于序列的傅立叶变换
与z变换类似的性质
我们在此就不做介绍
接下来我们来介绍
序列的傅里叶变换的对称性
我们首先来看两个定义
第1个叫
共轭对称序列
xe(n)=xe(-n)的共轭
还有一个为
共轭反对称序列
xo(n)=-xo(-n)的共轭
任意的一个序列
我们都可以把它表示成
xe(n)和xo(n)之和
也就是
x(n)=xe(n)+xo(n)
其中
xe(n)的表达式
如1式
xo(n)的表达式
如2式
同样
x(n)的傅里叶变换
X(e的jω次方)
也可以分解成
X(e的jω次方)
等于Xe(e的jω次方)
加上一个Xo(e的jω次方)
其中
Xe(e的jω次方)的表达式
如1式
Xo(e的e的jω次方)的表达式
如2式
有了上面的定义
接下来我们来看
序列的傅里叶变化的对称性
已知序列x(n)
其求傅里叶变换的结果为
X(e的jω次方)
现在对序列x(n)实部
来求傅里叶变换
其结果应该为Xe(e的jω次方)
我们对
序列x(n)的虚部前面乘上一个j
来求序列的傅里叶变换
其结果应该为Xo(e的jω次方)
而我们对xe(n)
来求序列的傅里叶变换
其结果为X(e的jω次方)
的实部
我们对xo(n)
来求
序列的傅里叶变换
其结果为
X(e的jω次方)
的虚部前面乘以一个j
这
就是序列的傅里叶变换的对称性
下面我们来看
实数序列的对称性
若序列为一个实数序列
则
序列x(n)的实部
求序列的傅立叶变换
其结果为Xe(e的jω次方)
又等于
X的e的jω次方
而x(n)的虚部前面乘上一个j
它就应该等于0
其求序列的傅里叶变换结果也为0
序列xe(n)
求
傅里叶变换
其结果依然为
X(e的jω次方)的实部
序列xo(n)
求傅里叶变换
其结果应该为
X(e的jω次方)的虚部乘以一个j
实数序列的傅里叶变换
满足共轭对称性
也就是
X(e的jω次方)
是等于Xe( e的jω次方)
又等于X(e的-jω次方)的共轭
也就是说
实数序列的傅里叶变换
其实部是ω的偶函数
虚部是ω的奇函数
幅度为ω的偶函数
幅角是ω的奇函数
同学们
序列的傅里叶变换及其性质
我们就介绍到这儿
谢谢大家
-绪论
-1.1 序列及其运算
-1.2 常用典型序列及序列的周期性
-1.3 线性移不变系统
-1.4 常系数线性差分方程
-1.5 连续时间信号的理想抽样
-1.6 连续时间信号的实际抽样
-第1章作业
-2.1 序列z变换的定义及收敛域
-2.2 四种序列的z变换及收敛域举例
-2.3 留数法及部分分式法求z反变换
-2.4 幂级数展开法求z反变换
-2.5 z变换的线性及移位性质
-2.6 z变换的初值和终值定理
-2.7 z变换的卷积定理
-2.8 序列的傅里叶变换及其性质
-2.9 序列的z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系
--2.9 序列的z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系
-2.10 离散线性移不变系统的频域表征
-第2章作业
-3.1 傅里叶变换的四种可能形式
- 3.2 周期序列的傅里叶级数（DFS）的定义
-3.3 周期序列的傅里叶级数（DFS）的性质
-3.4 离散傅里叶变换（DFT）的定义
-3.5 DFT的线性和圆周移位性质
-3.6 DFT的圆周共轭对称性质
-3.7 圆周卷积和与圆周卷积和定理
-3.8 线性卷积与圆周卷积的关系
-3.9 频域抽样理论
-第3章作业
-4.1 直接计算DFT的运算量及减少运算量的途径
- 4.2 按时间抽选的基-2FFT算法的算法原理
-4.3 按时间抽选的基-2FFT算法的运算量和算法特点
-4.4 按频率抽选的基-2FFT算法的算法原理
-4.5 按频率抽选的基-2FFT算法的运算量和算法特点
-第4章作业
-5.1 数字滤波器结构的表示方法
-5.2 IIR滤波器的直接型结构
- 5.3 IIR滤波器的级联型结构
- 5.4 IIR滤波器的并联型结构
-5.5 FIR滤波器的基本结构
- 5.6 FIR滤波器的频率抽样型结构
-5.7 线性相位FIR滤波器的结构
-第5章作业
-6.1 数字滤波器的基本概念
-6.2 数字滤波器的技术指标
-6.3 全通滤波器
- 6.4 最小相位滞后滤波器
-6.5 模拟原型巴特沃思低通滤波器设计
-6.6 模拟原型切贝雪夫低通滤波器设计
-6.7 间接法的IIR数字滤波器设计方案
-6.8 冲激响应不变法
-6.9 双线性变换法
-第6章作业
-7.1 FIR数字滤波器的特点
-7.2 FIR数字滤波器的线性相位条件
- 7.3 线性相位FIR数字滤波器频率响应的特点
-7.4 线性相位FIR数字滤波器幅度函数的特点
-7.5 线性相位FIR数字滤波器的零点位置
-7.6 窗函数设计法的设计思路
-7.7 窗函数设计法的性能分析
-7.8 各种窗函数
-7.9 窗函数法的设计步骤
-第7章作业
