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接下来我们讨论远期利率

远期利率就是

远期的无风险借贷的利率

我们用fij表示

从时间i到时间j

之间的远期利率

远期利率是如何确定的呢

假如一位投资人准备

进行为期两年的无风险投资

他可以有多种的投资方式

我们先看这样两种

第一

是直接购买两年期的国库券

第二

是先购买一年期的国库券

同时按照市场的远期价格

购买从第二年起的

一年期的国库券

简单起见

我们假设所有的国库券

都不带息票

采用第一种投资策略

现在每一元钱的投资

两年后的市场价值是

一加r2的二次方

采用第二种投资策略

现在每一元的投资价

在第二年后的市场价格

应该是

一加r1乘以一加f1到2

如果市场上一年以后的

一年期国库券远期价格是F

国库券面值是p

远期利率是1f2

就应该等于p减F除以F

也就是说远期利率

是已知的

r1和r2也都是已知的

而这两种投资策略

是无风险的

产生完全一样的现金流

由无套利均衡价格可知

两种的结果应该是相同的

也就是有以下这个公式

那么我们推广以后

我们就得到

N期的价格应该等于

一加rn的n次方

然后是一加r1和一加所有

这些远期利率的一个阶乘

这张图总结了

零息利率 折现因子

和远期利率之间的关系

同学们应该自己回去

推一推公式

我们会留一些作业

验证大家

是否搞清楚了他们之间的关系

现在我们来介绍

金融工程里一类

重要的衍生工具

叫做互换

所谓互换

广义来说就是

买卖双方互相交换不同资产

产生的收益

比如我们把

上证指数的年收益交付给你

你把道琼斯指数收益付给我

当然是基于同样的本金

之所以会有这样的交易出现

是由于市场分割 监管

资本管制等导致

某一类投资人不方便

持有某种资产

但又希望

获取这种资产的经济收益

关于互换的更多种类

及其经济学原理

我们将在以后的章节介绍

在这里我们主要还是强调

如何运用

无风险套利的定价方法

来定价

我们今天只着重分析一种

最常见的互换品种

叫做利率互换

这是指

买卖上方对同一货币的

不同期限利率之间的互换

比如说长期固定利率

和短期浮动利率

之间的互换

图中这是一个典型的

利率互换的现金流

按照合约规定

对于利率互换协议

买方收取浮动利息

支付固定利息

而卖方收取固定利息

支付浮动利息

在我们的现金流图中

箭头朝上表示现金的流入

箭头朝下是现金的流出

我们用等长度的实线箭头

表示固定利率支付

而用不同程度的箭头表示

浮动利率的利息的支付

浮动利率的确定是

采用某种利率

指数挂钩的办法

采用什么浮动利率的指数呢

这取决于买卖双方

的利率风险暴露

在利率互换的市场上

主要参与者是银行

而银行的短期拆借利率是

由银行间同业

拆放利率决定的

比如美元利率互换

常用的是伦敦银行间

同业拆放利率

也叫LIBOR

而人民币的银行

同业拆放利率是

以SHIBOR为基础的

所以大部分利率互换合约

都是以此为浮动利率

由于利率互换市场

是柜台交易市场

合约的确定由买卖双方

协商决定

因此采用其他的浮动利率

也是非常常见的

比如短期国库券利率

商业票据利率 等等

但由于这些浮动利率

之间的高度相关性

以及市场的流动性

同业拆借利率是最常见的

浮动利率指数

下面我们讨论

利率互换的定价

我们采用

平价债券的定价方法

我们先来看一下

带息票的债券定价

带息票的债券

是固定利率债券

定期凭息票领取

固定数额的利息

到期以后偿还本金

他的现金流如图所示

其中i记为息票利率

本金记为Par

Par乘以i 就是

每期支付的利息

如果对于这种债券市场

根据他的风险状况

所要求的预期回报率是r

则净现值表示为

NPV等于当期的现金流出

也就是p0

今天的债券价格

再加上未来现金流的折现

以r为折现率

他们的净现值应该等于零

前面我们已经说过

如果息票利率i和

资金成本r相等

那么价格就应该等于

它的面值

p0等于Par

这呢就是我们要定义的

平价债券

现在我们用浮动利率

筹措一笔资金

数额等于平价债券的面值

筹措的资金就是用来

投资于这项平价债券

假如筹措的资金和

投资的债券的付息日

是严格匹配的

这两个策略的现金流

如图所示

现在我们如果把这两个

现金流合在一起

本金就会相互抵消

所得到的就是利率的

流入和流出了

这也就是我们得到的

右侧的现金流

而我们发现这正好

就是利率互换协议

卖方的现金流

所以一个利率互换的空头

也就是卖方头存

是等于用浮动利率筹措资金

并投资于平价债券的策略

而得到

那互换的定价就变成了

定出平价债券的息票利率

前面我们讨论过

利率互换的价格

也就是利率互换的

固定利息

就是平价债券的息票率

那么平价债券的息票率

又是如何决定的呢

平价债券的定价方式

可以由零息债券的价格

用此来做折现得到

也就是他的未来现金流

折现得到的当期价格

等于其面值

可以解出息票率

这样我们得出

以下这个公式

来决定利率互换的定价

这就是

平价债券的息票率

也就是利率互换的定价

现在我对本章

做一个简单的小结

首先我们讨论了

资金的时间价值

比如利率作为时间价值的度量

第二我们讨论了

基准利率以及利率期限结构

利率期限结构的形状

理论解释以及

所包含的市场信息

第三我们讨论了远期价格

以及远期利率

第四我们通过

远期合约的深入分析

更加深了

对复制组合这套方法的理解