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在完成对delta gamma

Vega theta等希腊字母的讨论

我们来讨论

如何管理期权的组合风险

期权组合中对于delta的风险管理

我们可以通过

调整标的资产的头寸来改变

但是如果要管理

gamma和vega的风险

我们必须要通过采用

买卖期权本身来管理

举个例子

某一交易组合是delta等于0

gamma等于负5000

vega等于负8000

假如某个交易所交易期权的

gamma是0.5

vega是2.0

Delta是0.6

购买4000单位的交易所交易期权

就会使得交易组合成为vega中性

这样做同时又会使delta

增加至2400

所以为了保证delta中性

必须卖出2400个单位的标的资产

交易组合的gamma也会从

负5000变成负3000

为了使期权组合的gamma为0

我们需要第二只期权

假设它的gamma值是0.8

Vega是 1.2

Delta是0.5

我们用w1和w2

来代表两个用来对冲的期权的头寸

我们要求

【公式展示】

以上分别是使得期权组合成为

Vega和gamma中性

所需要的条件

以上两个式子的解

就是w1等于400

w2等于6000

所以分别加入400个单位的期权1

和6000单位的期权2

就会使期权组合变成

gamma和vega中性

加入这两只期权组合的delta

变成了3240

所以必须卖出

3240单位的标的资产

才能够保持组合是delta中性的

当然

以上的对冲都是动态的

随着标的资产价格改变

以及时间的推移

组合中所有期权的delta

Vega和gamma等都会发生变化

所以需要不停地调整

对冲组合的头寸来管理风险

以上讨论了风险管理的一般方法

在实际中的对冲

又是如何进行的呢

在实践中

金融机构通常要求交易员

在每天交易日结束时

保持交易组合的delta中性

或者是接近中性

Gamma和vega会得到监控

但这些风险量

并不是在每天都要调整

因为这样做的交易成本

将会很高

通常

金融机构所面对的客户需求

是向客户卖出期权

它们倾向于成为期权的空方

所以他们的gamma和vega

通常是负的

这样

他们需要寻求适当机会

以适当的价格买入期权

来中和所面临的

高gamma和vega风险

对于金融机构来说

还存在一个很大的

规模经济的问题

比如说对于单个的股指期权而言

每天为维持delta中性的费用

会很高

但是对于以某个

标的资产的衍生品组合

来进行这样的对冲

费用会大大降低

这是因为不同期权之间

可能是有自然的对冲

而且对组合对冲

可以使平摊到每个期权的对冲费用

变得很小

所以

金融机构的风险管理费用的控制

是其作为期权做市商的

重要利润来源

在实际应用中

金融机构对衍生品组合的

风险控制手段中

除了对风险的监测之外

压力测试也是金融机构

经常采用的风险控制方法

压力测试是通过情景分析

计算在某一指定时间内

不同情景下

交易组合的盈亏

分析的时间长度选择

通常与产品的流动性有关

比如说

某银行有一个外汇期权的组合

这个组合的价值

取决于两个主要变量

汇率与汇率的波动率

假如当前汇率是1

波动率是每年10%

这个银行可以用类似表中的情景

来计算两周内

不同情景下期权组合的盈亏

在表中我们考虑

7种不同的汇率

和3种不同的波动率

汇率在每周内

变化的标准方差为0.021

汇率的变化

我们取对应1个

2个和3个标准差的变化

比如说

我们需要知道

在可能的极端情况下的最大损失

那么这个最大损失

就发生在表中的右下角

它对应的波动率是12%

汇率是1.06

最大的损失是负90

金融危机后

压力测试

成为重要的风险管理手段

因为有些黑天鹅事件

是无法用常规的概率

和风险测度来度量

比如说

用常规的统计方法

测算的整体市场波动率

是年化25%

也就是每天的波动率

不到2%

那么市场单日跌幅

大于20%的可能性

就是10的负十几次方的数量级

也就是数百亿年

也不能发生一次

但这在1987年的美国

黑色星期一就发生了

这种属于概率系统

风险之外的事件

只有通过极端的压力测试

才能得以有效的监控

现在我们讨论采用期货

进行动态对冲

当我们对期权组合

进行动态对冲时

需要对标的资产进行买卖

如果标的资产本身

交易成本非常高

我们可能就只能进行

非常低频次的对冲

或只有标的资产

价格变动很大时

才选择对冲

这样的对冲效果肯定不好

尤其在快到期的

且标的资产接近执行价时

这时gamma很大

对冲效果就会更糟

但是

如果标的资产

存在一个期货市场

因为期货市场交易成本

远低于现货市场

我们可以采用

期货与现货价格之间的关系

选择使用期货来对冲期权的风险

具体做法如下

假如大T是期货合约的到期日

我们记Ha是保证delta中性

所需要持有的标的资产的数量

Hf是为保证delta中性

所需要持有的期货的数量

那么我们就有如下的关系式

也就是持有期货的数量

与持有现货的数量之间

有一个因子差

这个因子是

【公式展示】

其中R是无风险利率

q是标的资产红利率

这个关系式请同学们课后

自己加以证明