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单因素模型也称单指数模型
这张表反应了公司股票收益率
国内生产总值GDP增长率
和通货膨胀率的统计情况
第一年GDP增长为
5.7个百分点
通胀率是1.1个百分点
公司的实际收益率与
无风险收益率之差
也就是风险溢价是14.3%
第二年GDP增长率是6.4%
通货膨胀率是4.4%
公司的风险收益是19.2%
这里我们一共展示了
六年的数据
我们首先只考虑一个
宏观经济指数
也就是GDP增长率
对公司股票价格的影响
用简单的一元线性回归
可以回归出两者的关系
如图所示
这是一个一元线性回归方程
左边的ri–rf是公司i
股票风险溢价
右边的G是系统风险的宏观变量
我们只考虑一个宏观变量
也就是说 我们认为G
是产生市场风险的单一因素
如果这个模型是正确的
那么ei一定只包含
反映企业风险
也就是非系统风险
由回归方程的性质我们有
E(ei)=0 ei的预期值是0
这是E代表的是数学期望
αβ是回归系数
α是当GDP的预期增长率为0时
股票预期的风险溢价
β是预期风险溢价
对GDP预期增长率的敏感度
由图中可知 α=4%
β是图中回归直线的斜率 β=2
如果预期的GDP增长率是5%
则预期风险溢价是14%
如果预期GDP增长率
提高一个百分点
则预期风险溢价
将提高两个百分点
在这个例子里
第六年的GDP增长率是2.9%
而实际风险溢价是13%
其中3.2%来自公司自身
非系统风险的贡献
现在我们来看公司i的
股票收益率的方差
因为ei与G不相关
所以我们可以导出以下的
关系式 σi2 =βi2σg2+σei2
右边的第一项βi2σg2
反映了系统风险
第二项σei2 就是非系统风险
如果GDP增长率的方差是
σG2=0.0003
非系统风险的方差是σ
ei2=0.00152
那么我们可以算出
股票收益率的方差就是0.00272
再来看 股票i和j的协方差
如果另外有一家公司j的股票
它的系统风险βj=4
股票i和j风险溢价的协方差
可以很容易按下面的
关系式算出
也就是Σij=βiβjxσg2
所以我们有σij=0.0024
请大家注意
我们这里解决了前面提出的
数据历史不一致的问题
解决的方法是我们通过
对数据中的系统风险加以限制
也就是假设所有的
资产之间的相关性
都是由一个宏观经济因素
G的变化而引起的
资产之间的相关性就可以通过
它们和宏观因子之间的
相关性而完全确定
当然在假定市场中的资产价格
具有某种因子结构的时候
我们是必须警惕的
这种因子模型只是一种假设
任何假设可能都是错的
而在实际应用中
寻找适当的因子模型
一直是组合投资分析的关键
什么是适当的因子模型呢
就是能够完全区分系统风险
和非系统风险的模型
另外 大家可能注意到
前面讨论CAPM模型
实际上就是一种特殊的
单因子模型
而这个因子就是市场指数
因此 我们把CAPM也称为
市场模型
下面我们把CAPM模型
与单因子模型做个比较
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