当前课程知识点：金融工程导论 > 第六章 期权定价与无套利均衡分析 > 期权定价的基本无套利关系 > Video
期权价格必须遵守
以下几个基本的无套利关系
第一个关系或说的是
认购期权的价值
永远不会高于
标的资产本身的价值
认沽期权的价值
永远不会高于执行价
第二
欧式认沽期权的价值
不高于执行价
用无风险利率折现的现值
第三
期权的价格绝不为负
美式期权的价值
绝不低于欧式期权的价值
第四个关系说的是
对于到期日时间长的
美式期权的价值
不会低于到期日时间短的
同样的美式期权的价值
第五个关系式是说
美式期权的价值
不低于其内涵价值
下面我们就通过
静态无套利分析方法
来验证以上
期权无套利关系
从这个过程中我们既学习
无套利分析的方法
同时也熟悉期权定价的关系
我们假定标的资产
是一个不分红利的股票
其价格记为S（t）
t是当前价格当前时间
执行价格是X
无风险利率rf
我们希望验证的是
以下这个关系式是否成立
这个关系式说的是
欧式认购期权
不仅大于其内涵价值
还大于其内涵价值
加上行权价
从交易日到到期日的利息
这对到期日较长
或利率较高的市场
估计期权价格是很有用的
比如说无风险利率是10%
期权到期日为1年
这个关系式
把期权下限
提高了执行价格的10%
如何证明呢这个关系式呢
我们用反证法
我们假如这个关系不成立
也就是
c(t)是小于S减去X用无风险利率折现
我们做如下套利交易
首先
我们卖空一股股票
当期现金流就是当前股票价格St
到期的现金流是多少呢
因为你需要买回股票
所以是负的
到期市场价格S(T)
第二
我们购买欧式认购期权
当期现金流就是
期权的价格c
到期现金流就是行权价
也就是
S(T)-X与0相比最大的值
第三
我们购买无风险证券
当期的现金流
就是购买证券的面值
用无风险利率折现
到期日的现金流
就是获得无风险证券的面值
那么我们来看
这3个交易最终的净现金流
在当期和到期日分别是多少
当期的现金流
如图所示
而这个价格
根据我们的假设
是大于零的
那么到期现金流是多少呢
我们整理一下
得到以下这个公式
这个也是大于零的
所以这就产生了套利
就是说
在当期
你获得正的现金流
到期日
你又获得正的现金流
或至少没有任何的负债
所有理性的投资人
都会竞相来做这个交易
使得股票的价格下跌
而期权的价格上升
直到使得我们的不等式成立
继续刚才的讨论
我们有如下
认购期权价格的无套利关系
假如我们把到期日
T趋近于无穷 也就是这个折现率e的-rf(T-t)是趋于0的 这个时候我们得到的关系式是c(t)=S(t)
也就是说当到期日很长时
欧式认购期权的价格
是接近于标的资产的价格的
我们还有另一个重要推论
也就是这个公式
这个式子说的是什么呢
对于不分红的标的资产来说
美式认购期权的价格
绝不低于其内涵价格
也就是说
美式期权不会提前执行的
请同学们想一想
这意味着什么呢
这说明
美式认购期权的价格
就应该等于相应的
欧式认购期权的价格
这是因为
如果提前执行美式认购期权
投资人获得期权的内涵价值
用执行价购买了标的资产
相比于到期日执行
不光少了选择权
还少了执行价格
从行权日到到期日之间的利息
在什么情况下
投资人应该提前执行
美式认购期权呢
由以上分析
我们知道
提前执行美式认购期权
需满足这两个条件
第一
当认购期权处于深度实值状态
也就是选择权价值很小
而标的资产在到期日之前
是有分红
且分红的价值
超过执行价赚取的利息时
这时理性投资人
应该选择提前行权
持有标的资产
并拥有获得分红的权利
这是美式认购期权
和欧式认购期权的关系
那么对认沽期权
是否有相同的关系呢
现在我们讨论
美式认沽期权
与欧式认沽期权的关系
同样的方法我们可以证明
这个公式
我留给大家一个作业
基于以上这个公式
因为美式期权价格
不小于欧式期权价格
所以我们一定有
美式期权的价格的下限
也同样成立
那么美式认沽期权的价格
会不会小于它的内涵价值呢
这是有可能的
比如
当标的资产价格
远小于执行价格时
比如在极端情况下
我们假设标的公司破产了
股价变为0
那么对认沽期权持有者来说
提前执行和到期执行
得到相同的现金流
但提前执行可以使投资人
提前把收到的执行价
存在银行里赚取利息
所以美式认沽期权
是有可能提前执行的
这就意味着
美式认沽期权价格
一定大于欧式认沽期权的价格
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