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风险中性定价
我们上一讲中
已经介绍过风险中性定价
如果再分析一下上面的
Black-Scholes推导过程
我们就会发现
可以采用风险中性假设
来定价
Black-Scholes推导过程中
我们通过动态对冲
也就是delta对冲的方法
使风险完全对冲而消除掉
最后得出的方程中
也不再包含预期收益率mu
这一点非常重要
标的资产的预期收益率
含有风险溢价
所以与投资者的风险偏好有关
不含mu
说明这个问题与投资者的
风险偏好没有关系
这样
风险中性假设就可以适用
所以我们可以把
期权定价问题
先放到一个
风险中性的世界里去研究
在这个假想的世界里
所有的市场参与者
都是风险中性的
他们对于有风险资产的收益
都不需要风险溢价
所以在这个假想的世界里
所有的资产预计收益率
都相等
也就是等于无风险收益率
一般来说
我们假设现在时间是t
那么我们就有如下关系式
【公式展示】
这里的E*代表
在风险中性概率下求的期望
下面我们将讨论
在风险中性框架下
如何推导BS的公式
当我们把真实世界的问题
转移到风险中性的世界中
我们并没有改变
标的资产价格的运动
和变化方式
所以在假想的风险中性世界
股票价格应该服从
对数正态分布
而且从直观上想
波动率也应该保持不变
不同的是mu是有所区别
我们在风险中性世界中
把mu记为
我们有如下的公式
也就是对未来价格的预期
【公式展示】
从另一方面来说
在风险中性世界里
【公式展示】
综合以上两个式子
我们就推出来
【公式展示】
在二叉树模型中
我们已经得出结论
在一个风险中性的世界里
未来的现金流的预期
用无风险利率折现后
得到的现值
就应该是均衡定价
把风险中性定价
搬到BS模型中
我们可以直接推导期权价格
以认购期权为例
到期日的现金流是已知的
也就是
其中S（T）是到期日时的
标的资产价格
在真实世界里
应该服从概率分布P
在风险中性世界里
服从风险中性概率
这时候我们用f星号来代表
风险中性概率的密度函数
它的自变量是S(T)
这样
在风险中性世界里
认购期权定价
就可以直接写出来
未来的现金流的预期
以及无风险利率折现因子
【公式展示】
我们把风险中性概率的
密度函数f*代入求预期
经过变形
我们得出
期权价格的积分表达式如下
现在我们来看f*的具体表达式
我们知道
在风险中性世界里
标的资产的价格
也是服从对数正态分布的
并且均值是
【公式展示】
方差是
【公式展示】
我们把这个
正态分布标准化
我们作如下的变量替换
这个变量替换的效果
就是把log（S（T））
化作标准正态分布
【公式展示】
做了以上变量替换后
我们可以把以上的
积分直接算出来
推导过程请同学们课后自己完成
大家注意到
我们得出来的期权的定价公式
我前面我们由解方程得出来的
期权定价公式是完全一致的
我们注意到函数N(X)
实际上是标准正太分布函数的
累积公布函数
最后
我们看看得出来的期权定价公式
我们定义d1和d2
分别有如下的表达
我们得到认购期权价格公式
由两部分组成
对于想做期权交易的同学们
我建议要把这个公式背下来
还应该记下的
是期权的delta值
【公式展示】
对认沽期权delta值是
【公式展示】
期权公式中
N（d1）是认购期权的对冲比例
N（d2）是期权被执行的概率
至此
我们完全推导出
无分红标的资产的
BS期权定价模型公式
下面
我们把公式推广到
其他的标的资产
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