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单因素的套利定价理论APT
套利定价理论是Stephen Ross
在1976年发表的
虽然套利定价理论
真正有用的是多因素的情况
但为了加深理解
我们首先考虑单因素的情况
我们把这个因素记为f
单因素的套利模型
首先有这样的关系
这里rif和ei都是随机变量
ri是金融工具的
实际实现的收益率
E(ri)是它的预期收益率
f是宏观经济因素的实际值
请大家注意
我们这里假设它的预期值是0
所以f是对预期值的偏离
比如说如果宏观因素f
是度量GDP增长的变量
GDP增长的预期是4%
而实际增长只有3%
那么 f就等于负的1%
ei是企业风险对收益
所造成的扰动
ei与宏观因素f不相关
而且对不同的i和j
相互间它们也是不相关的
如果它们彼此之间还有相关性
那这就说明这个单因素模型
不足以解释所有的系统风险
因此要寻找更好的宏观因素
或把单因素扩展到多因素
在APT定价模型之前
我们先引入一个重要的概念
充分分散化的组合
所谓充分分散化是指
非系统风险被分散掉的组合
现在我们来定义一个
充分分散化的组合 我们记为p
这个组合由N项资产构成
各项资产的权重wi
这里面i是从1到n wi相加是等于1
在这个单因子模型中
预期的收益率
其中ep是组合中各项资产的
非系统风险线性叠加
βp是组合中的β系数的
加权平均
组合的方差可以写成
σf平方是宏观因子的方差
它可以写成 wi2×σiσei2
然后相加起来
这是组合的非系统风险
其实我们看到
假如各组合中各资产的占比
如果是等权重的
也就是
wi=n分之1
以上这个公示是趋于0的
那这样我们就得到了一个
充分分散化的组合
我们组合P的回报率和方差
就可以写成
非系统风险已经被分散掉了
对于充分分散化的组合来说
只有系统风险
那么一个充分分散化的组合
应该如何定价呢
下面我们用无套利均衡的方法
来解决这个问题
假如有两个充分分散的组合
A和B
如果βa=βb
我们那么我们就应该有E(ra)=E(rb)
也就是它们的预期收益率
必须相等
这个是由无套利均衡决定的
我们可以证明如下
假如βa等于βb 都等于1
但是它们的预期收益不同
A的预期收益是10%
B的预期收益是8%
那么我们可以建立这样的头寸
我们卖空100万元的B
用买空所得现金买入A组合
未来预期的收益如下
B的头寸是-8%+1×f
再乘以整个组合的大小
100万 A的头寸是
(10%+1×f)×100万元
组合的收益
把上面两个头寸相加
得到2%×100万
也就是2万元
这就是一个套利机会
这里的关键是两个资产
都只有系统风险
而这个模型中
系统风险只有一个
因此它们的风险
是完全可以抵消的
不同的预期收益率
就产生了套利机会
如果两个充分分散化的组合
有相同的β
它们在市场中必定有相同的
预期收益率
既然对于有不同β值的
充分分散化的投资组合
预期收益率与β
有一对一的关系
那么这个关系
又是具有什么样的形式呢
回答这个问题之前
我们先回顾一下CAPM模型
CAPM的证券市场线说的是
资产的风险溢价必须正比于β
那么在APT中
这个关系是否还成立呢
下面我们将证明
如果这个关系不成立
就会发生无风险套利的机会
假设无风险收益率是4%
有两个充分分散化的组合
A和C
它们β值分别是1和0.5
分别具有预期收益率
是10%和6%
显然在β和收益率的图中
代表C的点
位于连接无风险资产
和组合A的直线的下方
现在 我们来看另一个组合D
这个组合一半由组合A
另一半由无风险资产组成
这样 D的β值就是0.5
预期收益率是7%
组合D和组合C的β相等
但是预期收益率不等
那由刚才的结论我们可以知道
这是不可能的 它会发生套利
因此 我们就得出结论
所有充分分散化投资组合的
预期收益率和β的关系
都应该落在从rf点出发的
直线上
各个组合的风险溢价大小
正比于β
如果我们把市场组合的收益
当成系统风险的度量
对于任何风险分散化的组合
我们有
这就是APT的证券市场线
这与CAPM的证券市场线
完全一样
但这里我们并没有用到
CAPM的关于市场摩擦方面的
各种假设
而只用到无套利的假设
这个是APT优于CAPM的地方
但是我们看到APT中的
证券市场线只适用于
充分分散化的组合
对单个资产不一定适用
那现在我们就讨论单个证券
与APT的关系
如果有两个充分分散的
投资组合P和Q
我们就有
但是 在市场中偏离证券
市场线的证券个数不能太多
因为如果有很多证券
偏离证券市场线
那么这些证券所组成的组合
也会偏离证券市场线
但另一方面这些证券组合
又是充分分散的
根据以上的讨论
充分分散的组合
它必须在证券市场线上
这就产生了矛盾
所以我们说如果是没有套利
那么几乎所有的证券
都必须在证券市场线上
这里几乎所有的
是在统计意义上的
就是在证券数目趋于无穷时
不在证券市场上的证券数目
它必须是有限的
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