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单因素的套利定价理论APT

套利定价理论是Stephen Ross

在1976年发表的

虽然套利定价理论

真正有用的是多因素的情况

但为了加深理解

我们首先考虑单因素的情况

我们把这个因素记为f

单因素的套利模型

首先有这样的关系

这里rif和ei都是随机变量

ri是金融工具的

实际实现的收益率

E(ri)是它的预期收益率

f是宏观经济因素的实际值

请大家注意

我们这里假设它的预期值是0

所以f是对预期值的偏离

比如说如果宏观因素f

是度量GDP增长的变量

GDP增长的预期是4%

而实际增长只有3%

那么 f就等于负的1%

ei是企业风险对收益

所造成的扰动

ei与宏观因素f不相关

而且对不同的i和j

相互间它们也是不相关的

如果它们彼此之间还有相关性

那这就说明这个单因素模型

不足以解释所有的系统风险

因此要寻找更好的宏观因素

或把单因素扩展到多因素

在APT定价模型之前

我们先引入一个重要的概念

充分分散化的组合

所谓充分分散化是指

非系统风险被分散掉的组合

现在我们来定义一个

充分分散化的组合 我们记为p

这个组合由N项资产构成

各项资产的权重wi

这里面i是从1到n wi相加是等于1

在这个单因子模型中

预期的收益率

其中ep是组合中各项资产的

非系统风险线性叠加

βp是组合中的β系数的

加权平均

组合的方差可以写成

σf平方是宏观因子的方差

它可以写成 wi2×σiσei2

然后相加起来

这是组合的非系统风险

其实我们看到

假如各组合中各资产的占比

如果是等权重的

也就是

wi=n分之1

以上这个公示是趋于0的

那这样我们就得到了一个

充分分散化的组合

我们组合P的回报率和方差

就可以写成

非系统风险已经被分散掉了

对于充分分散化的组合来说

只有系统风险

那么一个充分分散化的组合

应该如何定价呢

下面我们用无套利均衡的方法

来解决这个问题

假如有两个充分分散的组合

A和B

如果βa=βb

我们那么我们就应该有E(ra)=E(rb)

也就是它们的预期收益率

必须相等

这个是由无套利均衡决定的

我们可以证明如下

假如βa等于βb 都等于1

但是它们的预期收益不同

A的预期收益是10%

B的预期收益是8%

那么我们可以建立这样的头寸

我们卖空100万元的B

用买空所得现金买入A组合

未来预期的收益如下

B的头寸是-8%+1×f

再乘以整个组合的大小

100万 A的头寸是

(10%+1×f)×100万元

组合的收益

把上面两个头寸相加

得到2%×100万

也就是2万元

这就是一个套利机会

这里的关键是两个资产

都只有系统风险

而这个模型中

系统风险只有一个

因此它们的风险

是完全可以抵消的

不同的预期收益率

就产生了套利机会

如果两个充分分散化的组合

有相同的β

它们在市场中必定有相同的

预期收益率

既然对于有不同β值的

充分分散化的投资组合

预期收益率与β

有一对一的关系

那么这个关系

又是具有什么样的形式呢

回答这个问题之前

我们先回顾一下CAPM模型

CAPM的证券市场线说的是

资产的风险溢价必须正比于β

那么在APT中

这个关系是否还成立呢

下面我们将证明

如果这个关系不成立

就会发生无风险套利的机会

假设无风险收益率是4%

有两个充分分散化的组合

A和C

它们β值分别是1和0.5

分别具有预期收益率

是10%和6%

显然在β和收益率的图中

代表C的点

位于连接无风险资产

和组合A的直线的下方

现在 我们来看另一个组合D

这个组合一半由组合A

另一半由无风险资产组成

这样 D的β值就是0.5

预期收益率是7%

组合D和组合C的β相等

但是预期收益率不等

那由刚才的结论我们可以知道

这是不可能的 它会发生套利

因此 我们就得出结论

所有充分分散化投资组合的

预期收益率和β的关系

都应该落在从rf点出发的

直线上

各个组合的风险溢价大小

正比于β

如果我们把市场组合的收益

当成系统风险的度量

对于任何风险分散化的组合

我们有

这就是APT的证券市场线

这与CAPM的证券市场线

完全一样

但这里我们并没有用到

CAPM的关于市场摩擦方面的

各种假设

而只用到无套利的假设

这个是APT优于CAPM的地方

但是我们看到APT中的

证券市场线只适用于

充分分散化的组合

对单个资产不一定适用

那现在我们就讨论单个证券

与APT的关系

如果有两个充分分散的

投资组合P和Q

我们就有

但是 在市场中偏离证券

市场线的证券个数不能太多

因为如果有很多证券

偏离证券市场线

那么这些证券所组成的组合

也会偏离证券市场线

但另一方面这些证券组合

又是充分分散的

根据以上的讨论

充分分散的组合

它必须在证券市场线上

这就产生了矛盾

所以我们说如果是没有套利

那么几乎所有的证券

都必须在证券市场线上

这里几乎所有的

是在统计意义上的

就是在证券数目趋于无穷时

不在证券市场上的证券数目

它必须是有限的