3.3.7矢量方程图解法分析示例（上）在线视频

这一节，我们通过两个综合性的示例

来看我们前面提到的两种运动合成

在平面机构的运动分析中 如何组合应用

我们先看第一个示例 这是一个多杆机构

其中1构件为原动件 我们已知1构件的角速度

ω1角加速度α1等于0

这个条件意味着什么

也就是1构件是绕着A点做匀速的回转运动

它符合我们机器中间的大多数应用场景

也就是原动件

我们通过马达带动

让它做匀速的回转运动 它的角加速度等于0

当然这个条件

在后面的速度和加速度的计算中

会简化原动件上不同点的运动分析

我们来看一下 要求解的从动件

要求从动件5的角速度

ω5以及五构件的角加速度α5

5构件也是绕着一个固定点做回转运动

那么我们要求的从动件5

就是要求它的角速度和角加速度

这样一个机构 如何运用两种运动合成

来求原动件到从动件之间的一个分析过程

我们先来理清一下思路

通过这个思路分析

我们需要知道要经过哪些构件

以及这些构件上的哪些点

通过这些点建立矢量方程

只要我们建立了矢量方程

在分析了它的可解性

我们就可以统一的按照矢量多边形求解

来计算这个矢量方程中未知量

所以我们在讨论这个综合示例的过程中

我们重点讨论思路

具体的求解过程

我们就不做详细的讨论了

我们从原动件1到从动件5

我们需要建立一条路

这条路包含了构件 也包含了构件上的点

可以从原动件1到从动件5之间

找一条最近的路

也就是通过运动副连接了构件

经过了最少的构件和最少的运动副所在的点

我们来修一条路 从原动件1开始

原动件1上面有AB2个点 由于一构件

它的运动规律是已知的

原则上原动件上任何一个点的速度和加速度

我们都可以非常容易地求出来

那么自然我们可以先求出1构件上。

B点的速度和加速度

我们先以速度为例来看一下这个分析过程

以1构件的角速度ω1 我们可以先求出vB1

然后1和2之间是在B点处通过转动副连接的

那么利用B点的关系 我们就可以从1构件过渡到2构件

继续向5构件方向

2和5没有直接连接

2连接了4 4连接了5

那也就是我们这条路必然要跨越

1构件 2构件 4构件 和5构件

然后我们看构件上的点

第一步我们分析出原动件上的点B点

我们可以求出vB1也就求出了vB2

对于第2号构件

B点可以作为参考点

我们要去求另外一个点

那另外一个点 到底是C点还是D点

按照最近的原则 似乎应该选D点

但是vB2的方向 不是很好确定

那么我们可以换一个点 用C点来列方程

也就是以B为参考

去求C从vB2去求到vC2

因为2构件在C点的速度方向

和3构件在C点的速度方向一致

这两个构件在C点是转动副连接

而3号构件是沿着导轨平动的

那么导轨方向就是vC2或者vC3的方向

2号构件上 当我们求出了vB2vC2

我们再去求第三点vD2

那么这个就很好求了

因为我们在前面的分析提到

一个构件上 只要我们求出了两个点的速度

再求第三点的速度 我们甚至不需要列方程

直接利用速度影像 就可以求出vD2

得到vD2也就得到了vD4

因为4号和2号构件在D点处是转动副连接

那么得到vD4之后

利用45的连接关系是移动副连接

我们可以运用移动副连接的两个构件

找一个重合点 来建立运动合成关系

那么这个重合点应该选择D还是应该选择E点

我们不妨在D点处和E点处分别列一个方程

然后分析它的可解性 也就是未知量的数目

我们会发现利用D这个重合点来列矢量方程

可以直接求解

这样我们就不需要再列E点这个重合点

4和5这两个构件的速度关系

按照这样一条路

我们找到经历的构件经历的运动副所在的点

我们可以把它写成这样一条链路

然后在这条链路上 我们看一看

哪些地方需要通过运动合成关系建立矢量方程

第一步 以ω1去求vB1

这一步 我们可以直接写出结果

因为1构件是原动件 加速度一样

因为1构件是匀速的回转运动

所以aB1也非常容易求出

然后再往后看 从vB2到vC2

它的数字下标都是2 代表2号构件

而不同的点 一个是B一个是C

那自然 按照符号体系

我们就可以知道

这是要针对同一构件不同的两个点

B和C来列运动合成对应的矢量方程

那么再往后求出vC2

利用vB2和vC2再去求vD2的时候

我们分析了可以利用速度影像

同一构件已知两点求第三点的速度

所以标号为3的地方 我们不需要列方程

直接运用速度影像来求

加速度同样有加速度影像

再往后 我们去求D点处

4和5的关系

也就是利用vD4去求vD5

aD4去求aD5

那么这一步由于字母下标一致

针对的是同一个点D而数字下标不一样

一个是4 一个是5

那自然我们知道需要用到第二种运动合成

不同构件 在平面上一个重合点的运动合成关系

所以在这条路中间

我们需要架桥的地方

就是有数字编号1234这四个地方

我们具体来看一下

第一处也就是原动件上

我们要去求vB1

事实上我们可以利用1构件上

B和A之间的运动合成关系来求

熟练之后我们也不需要再列这个方程

直接可以写出匀速回转的1构件

上面的任意一点B它的速度等于ω1乘以lAB

方向垂直于AB并且与ω1的方向一致

aB1由于是匀速回转 角加速度为零

那么aB1就只有向心加速度

ω1的平方乘以lAB方向也是向心加速度的方向

从B指向A

所以第一步我们就分析完了

我们再看第二步 由vB2 去求vC2

当然vB2等于vB1利用前一步的结果

我们认为vB1和aB1都是大小方向已知的

然后要去求vC2和aC2这两个位置矢量

我们利用运动合成关系

列出速度和加速度矢量方程

经过分析 我们发现vCB这个矢量的大小

包含了ω2 而ω2是未知的

所以这个矢量是未知矢量

它的方向线按照结论是垂直于两点连线

也就是垂直于BC的

vC也就是vC2 它等于vC3

按照构件3做平动它的速度方向

我们就可以确定

vC也就是vC2的方向

这个也是已知的方向

这样速度方程是可解的

我们再来看加速度方程

参考点B点的加速度

前一步我们已经计算出来

它的大小方向都是已知的

再看aCBn法向相对加速度

它的大小计算表达式

为2构件角速度的平方

乘以两点间的距离lBC

这些在加速度求解这一步

都是已知的

所以它是一个已知量

方向由C指向B也是有准确的方向。

那么aCBn大小方向都为已知

aCBτ 它的大小计算表达式等于α2乘以lBC

角加速度α2到这一步还是一个未知量

所以

aCBτ可以看作一个大小未知的矢量

这个加速度的方向线按照结论是垂直于BC连线

它的方向线可以认为是已知

aC也就是aC2和aC3

按照aC3的分析 我们可以得到aC2

它的加速度方向是沿着滑块平动的方向

所以aC的方向也是已知的

aC的大小当然是待求的

这样加速度方程中也只有两个大小未知的矢量

分别是aC和aCBτ

这个方程也是可解的

然后我们利用多边形

可以去求速度和加速度方程

可以去求速度和加速度方程

解出未知量来 这是第二步

当这一步做完之后

2号构件上B点和C点的速度加速度

我们都求出来了

然后我们看第三步

以2构件上B点和C点的速度和加速度为基础

我们运用速度影像和加速度影像

已知两点 求第三点

就可以求出2号构件上第三点 也就是D点

它的速度vD2和加速度aD2这是第三步

第四步 当我们求出来aD2vD2

按照2和4的连接关系

在D点处是转动副连接

那么也就求出了4构件在D点的速度和加速度

vD4和aD4

然后我们从45构件之间的连接关系入手

去建立4和5之间的关系

我们直接利用D点这个重合点

去建立4和5的速度关系和加速的关系

写出矢量方程

那么在速度矢量方程中

我们来分析它的可解性vD5

由于5构件是绕着一个固定点回转运动

因此vD5的方向自然垂直于

D点和回转中心 F点的连线

也就是垂直于DF

它的大小是要待求的

而方向线是明确的

前一步我们已经求出了vD4

所以它的大小和方向都是已知的

再来看vD5D4

它的大小同样是一个未知量 需要求的

而方向线按照45的连接关系是移动副联接

那么vD5D4是沿着

移动副连接的两个构件相对运动方向

这个相对运动方向在图中

也就是沿着5号杆的杆身EF连线的方向

我们可以标示为平行于EF

这样速度方程中

只有两个大小未知的矢量是可以求解的

而加速度矢量方程

我们写出

aD5等于aD4加aD5D4k加aD5D4r

其中aD4和科氏加速度AD5D4k

都可以计算出它的大小和方向是已知的

未知矢量 是aD5D4r以及aD5

那么为了确定aD5的方向

如果aD5的方向无法确定

那这个方程中就有三个未知量

所以我们还需要再联立一个方程

5号构件上D点的加速度

我们以5号构件D相对于F这两点间的相对运动关系

再建立一个方程

由于aF5等于0

所以这个方程可以写为

aD5等于aF5加aD5F5n再加aD5F5τ

然后我们分析可解性

aD5F5τ 这是含有未知量

而刚才等号左边也有一个未知量

这样我们联立的结果

这个矢量方程中有两个大小未知的矢量

我们通过这个联立的矢量方程进行求解

就可以求出这个未知矢量

求出这两个矢量之后

进一步我们可以确定aD5它的大小

有了aD5之后

由于5构件是绕着F点做定点的回转运动

那么我们可以利用这个矢量方程中间的

速度量去求5构件的角速度角加速度

当我们把这四个关键步骤对应的方程

对应的计算完成之后

我们就可以从原动件1去求出从动件5

它的角速度角加速度

从而完成这个机构的运动分析

好了 第一个机构示例我们先讲到这里

谢谢大家