当前课程知识点：电路原理 > 第六章 动态电路的时域分析 > 13.1一阶动态电路经典解法-微分方程求解 > 13.1一阶动态电路经典解法-微分方程求解
同学们
大家好
这堂课我们进入了
一阶动态电路的时域响应知识点
什么是一阶动态电路的时域响应呢
关于动态电路的分析
如图所示电路
在前面基础知识部分
大家已经掌握了
如何对一个动态电路列写电路方程
接下来
在这个知识点我们进入
第二步
通过求解列出的电路方程
得到我们感兴趣的支路量
随时间的函数关系式
例如说UC(t)
这就是电路时域响应的求解
然后
我们再分析求解出
支路量函数关系式
即可了解电路的特点及功能
例如
我们通过分析图示
电容在换路后
电压的变化情况
即可得知
此含有电容的元件的电路
在换路后
存在一个随着充电储能的进行
电容电压不断增大的过渡过程
最终储能至稳定
电容电压基本恒定
电路进入稳态
这就是电路时域响应的分析
在本知识点
我们将学习
用数学分析的方法
求解列写出的电路微分方程
这是动态电路分析求解
电路方程中比较常用的方法
通常又称为
一阶动态电路的经典解法
动态电路的经典解法是
比较复杂的数学方法
如果大家听取比较吃力
或者听不懂也没关系
你只需要记住我们提示的结论
就可以了
根据这个知识点的具体内容
我们将进行
下面三部分内容的学习
第一
一阶常系数线性微分方程及求解
第二
RC电路的全响应分析
第三
时间常数 τ
下面
我们进入第一个知识点
一阶常系数线性微分方程及求解
形如
y′+p(x)y=q(x)的方程
我们称为一阶线性微分方程
当q(x)=0时
方程称为一阶齐次线性方程
表达式为
y′+p(x)y=0
y′+p(x)y=0
一阶齐次线性方程微分方程的解
我们又称为
通解
当q(x)≠0时
方程称为一阶非齐次线性方程
表达式为
y′+p(x)y=q(x)
一阶非齐次线性微分方程的解
我们称为全解
它等于通解加上特解
什么是通解
就是
若q(x)=0
方程为齐次方程时
求得的解
而
关于特解
大家需要注意
一阶非齐次线性微分方程
特解与方程等式
右边项q(x)具有
相同的形式
相同的形式
这句话什么意思呢
就是说
如果右边项q(x)是
一个常数
那们方程特解也是
一个常数
如果右边项q(x)是
一个正弦函数
那们方程特解也是
一个正弦函数
这一点
我们在下面的求解中将用到
因为
不管是一阶的齐次
还是非齐次线性方程
都需要求解通解
下面
我们先来看一看
一阶齐次线性方程通解的求解
对一阶齐次线性方程
y′+p(x)y=0
它的通解形式为
Ae λτ
这里的A
称为积分常数
λ称为特征根
关于积分常数A的求解
由于其涉及到初始条件
由于其涉及到初始条件
我们放在本知识点后面
例题部分完成
现在
先来看下怎么求取特征根λ
特征根的求取
需要先
由一阶齐次线性微分方程
由一阶齐次线性微分方程
得出特征方程
具体方法如下
对于该一阶齐次线性方程
其未知数是y
此时我们把它的一阶导数项y′
用λ来代替
未知数Y用常数1来代替
其余项保持不变
其余项保持不变
即可得出该一阶齐次线性微分方程的
特征方程
从而求得特征根为λ = -p(x)
代入通解表达式得出
Ae^λt =Ae^"-p(x)t"
下面
我们来看一道具体的例题
例已知某电路方程为
RC×duc/dt=uc=0
求解它的通解
因为方程等式右边等于0
大家一眼就可以看出
它是一个
一阶齐次线性微分方程
一阶齐次线性微分方程
该方程中未知数
为 uc
将未知数
uc用常数1来代替
再将方程中未知数导数项
duc/dt
用λ来代替
其余项保持不变
得出特征方程为
RCλ+1=0
从而求得
特征根为
λ=负的RC分之1
电路方程通解为
Ae^λt =Ae^"-RCt"
完成本例推导后
同学们
如果我们
给出电路方程为
RC duc比上dt加上uc等于Us
那么请大家对比上例
回答
问题一
和上例电路方程有什么不同
第二
这个电路方程的解和上例有什么不同
是的
这个方程它的等式右边不等于0
这是一个
一阶非齐次线性方程
所以它的解是全解
包括通解和特解
那么特解怎么求
我们给出前面的数学知识
特解与非齐次线性方程等式右边项
q(x)具有相同的形式
好
现在我们给同学们
提第三个问题
观察该电路方程等式右边项
方程的特解等于什么
得到答案了吗
同学们
是的
特解就等于
等式右边的常数项US
所以
电路方程的全解
uc(t)=通解+特解
A乘以e负的RC分之t加上Us
-1.1 电路模型
--1.1 电路模型
-1.2 电路变量
--1.2 电路变量
-1.3 参考方向
--1.3 参考方向
-1.4功率
--1.4功率
-2.1 电阻元件
--2.1 电阻元件
-2.2 理想电源元件
-2.3 受控源元件
-3.1基尔霍夫电流定律
-3.2基尔霍夫电压定律
-3.3基尔霍夫定理综合应用习题
-电路基础知识与定律---本章节练习1（电路基础知识）
-电路基础知识与定律---本章节练习2（电路元件）
-电路基础知识与定律---本章节作业3（基尔霍夫定律）
-4.1 等效基本概念
-4.2 电阻串联及等效变换
-4.3 电阻并联及等效变换
-4.4电阻混联等效变换
-4.5 电阻的∆—Y 变换
-4.6∆—Y等效变换基本总结
-4.7含受控源二端网络的等效变换
-5.1 理想电源等效分析
-5.2 理想电源等效例题分析
-5.3实际电源等效分析
-5.4实际电源等效变换例题讲解
-第二章 电路等效分析1--电阻等效章节练习
-第二章 电路等效分析2--电源等效变换章节练习
-6.1电阻电路的一般分析方法导入
-6.2节点电压法-基础分析
-6.3节点电压方程的标准化
-6.4节点电压法--特殊情况分析处理1
-6.4节点电压法--特殊情况分析处理2
-6.4节点电压法--特殊情况分析处理3
-7.1回路电流法--基本分析
-7.2回路电流法方程的标准化
-7.3回路电流法--特殊情况分析处理1
-7.3回路电流法--特殊情况分析处理2
-第三章 电阻电路的一般分析法1--节点电压法本章节练习
-第三章 电阻电路的一般分析法2--回路电流法本章节练习
-8.1叠加定理1
--8.1叠加定理1
-8.1叠加定理2
--8.1叠加定理2
-9.1戴维南定理
--9.1戴维南定理
-9.2戴维南定理例题
-9.3诺顿定理
--9.3诺顿定理
-9.4最大功率传输定理
-9.5戴维南定理习题讲解
-第四章 电路定理1--叠加定理章节练习
-电路定理2--戴维南/诺顿定理章节练习
-10.1 电容元件
-10.2电感元件
--10.2电感元件
-10.3电容电感的串并联
-10.4小结
--10.4小结
-11.1 动态电路基础知识
-11.2动态电路方程列写
-第五章 本章节练习1--电容电感元件
-第五章 本章节练习2--动态电路基础知识
-12.1换路定律
--12.1换路定律
-12.2 初始值计算
-12.2初始值计算例2
-13.1一阶动态电路经典解法-微分方程求解
-13.2一阶动态电路经典解法---电路全响应分析
-13.3一阶动态电路经典解法---时间常数
-13.4一阶动态电路的三要素法1
-13.4一阶动态电路的三要素法2
-13.5三要素法例题1
-13.5三要素法例题2
-13.6零输入响应和零状态响应
-13.7动态电路小结
-第六章 本章节练习1--动态电路初始值计算
-第六章 本章练习2--一阶动态电路经典解法
-第六章 本章节练习3--一阶动态电路的三要素法
-第六章 本章节练习4--零输入响应与零状态响应
-14.1正弦量基础知识1
-14.1正弦量基础知识2
-14.2相量法的引入1
-14.2相量法的引入2
-14.3相量运算与旋转因子
-15.1（1）元件约束的相量形式
-15.1（2）元件约束的相量模型
-15.2 基尔霍夫定理的相量形式
-15.3相量图
--15.3相量图
-16.1复阻抗与复导纳
-16.2阻抗的串并联连接
-第七章 本章节练习1--正弦量基础知识
-第七章 本章节练习2--元件约束和拓扑约束的相量形式
-第七章 本章节练习3--阻抗和导纳
-正弦稳态电路基础知识讲义2--元件约束与拓扑约束的相量形式
-17.1 正弦稳态电路的相量分析法
-18.1瞬时功率
--18.1瞬时功率
-18.2有功功率和无功功率
-18.3视在功率和功率因数1
-18.3视在功率和功率因数2
-18.4正弦稳态最大功率传输
--第八章 正弦稳态电路的功率分析--章节练习
-第八章 正弦稳态电路的分析--章节练习
-19.1频率响应与网络函数
-19.2滤波器
--19.2滤波器
-20.1谐振基本知识
-20.2RLC串联电路谐振
-20.3RLC串联谐振的品质因数
-20.4 RLC并联谐振
-第九章 电路的频率响应--章节练习
-21.1互感基础知识
-21.2同名端
--21.2同名端
-21.3耦合电感的电压电流
-22.1互感的去耦等效分析1
-22.1互感的去耦等效分析2
-22.1互感的去耦等效分析3
-23.1含有耦合电感电路 的分析计算1
-23.1含有耦合电感电路 的分析计算2
-24.1空心变压器
-24.2理想变压器
-24.3含理想变压器电路的分析计算
-第十章 互感与变压器--章节练习
-25.1三相电路基本概念1
-25.1三相电路基本概念2
-25.2对称三相电路的相线关系1
-25.2对称三相电路的相线关系2
-25.3对称三相电路的电路分析1
-25.3对称三相电路的电路分析2
-25.4三相对称电路的功率1
-25.4三相对称电路的功率2
-26.1非正弦周期信号的分解
-26.2非正弦周期信号的有效值及平均功率
-26.3非正弦周期电路的稳态分析
-第十一章 本章节练习1--三相电路
-第十一章 本章节练习2--非正弦周期稳态电路
