当前课程知识点:材料力学 > 第二章 拉伸、压缩与剪切 > 2-2 应变,杆斜截面上的应力 > 应变,杆斜截面上的应力
同学们大家好
我们现在开始学习
第二章第二个知识点的相关内容
应变以及斜截面上的应力
首先我们来看有关应变的情况
我们给大家首先介绍的是正应变
如同我们对应力的定义一样
我们说构件在受力之后它会产生变形
如果我们以它的绝对量来衡量的话
显然也是不科学的
因此我们也是以它单位变形了多少
来对它进行衡量
这个就是应变的概念
那现在我们给出应变的定义
大家来看
一个材料的它的应变我们是通过实验来得出来
那么把一个标准的一个试件装在实验机夹头上
然后两端给它施加了拉力
这个时候中间没有受力的时候
有一个标准的距离
我们称之为标距
在加力以后
这个标距显然它会逐渐的伸长
随着这个轴力的增加
它会逐渐的伸长
我们把这个伸长量除以标距原来的长度
就定义为这个构件它沿着轴线方向的应变
我们称之为正应变
这个呢就是现在标距的长度
L0是他的原长再除以它的原长
我们记成ε
就是这个构件沿着轴线方向的正应变
显然这个是长度的改变量
它的量纲是长度
这个呢量纲也是长度
所以我们可以看到这个正应变
它是一个无量纲的一个量
受拉的时候
这个值是大于零的
那么正应变就大于零
受压的时候这个值它是小于零的
那么这个正应变就是压应变
它就是小于零的
这是我们给正应变下的定义
实际的测试的时候
我们讲就用这样的一个材料试验机
这个是机械式的液压式的
而这个是电拉的
是由电脑控制的
我们做实验的时候同学们就要用到
要么这个要么这个实验机
接下来我们来看一下
等直杆斜截面上的应力应该怎么样来进行计算
我们在上一个知识点介绍过
横截面上的它的正应力
怎么样计算
那我们想这样的斜截面
比如说a-a截面和b-b这个斜截面上的应力
是怎样的呢
好那么我们为了说明斜截面的位置
我们以斜截面和横截面之间的夹角θ
来确定这个斜截面的位置
我们来看一下这个斜截面上的应力应该是多少
首先我们必须知道
这个a-a斜截面上的他的内力是多大
所以我们依然采用了截面法
把它截开比如说我们研究左半段
根据平衡条件
很快可以得到斜截面上的这个力
跟这边是平衡的等值反向共线还是F
我们把这个F沿着截面的法线方向和切线方向
给它正交分解
因此这边法向的分量F cosθ
这边切向的分量Fsinθ
那么还是按照平均值来对它进行计算
因此我们可以得到了斜截面上的正应力
显然等于法向的内力的分量
与斜截面面积之比
如果横截面的面积是A的话
那么斜截面的面积我们可以看到就应该是
A除以cosθ
所以Fcosθ
A除以cosθ就等于F/A cosθ的平方
同样的道理我们可以得到斜截面上的
切应力应该是多少
这个切应力就是
这个力的分量内力的分量
Fsinθ除以斜截面的面积
所以就等于F比上A sinθ cosθ
这就是我们得到了以θ为标志的
确定的这个斜截面上的它的正应力和切应力
下面我们来看一下在斜截面上的
这个正应力和切应力
到底什么地方它能够达到最大
这个是我们刚才得出来的这个公式
由这个公式我们可以看到
显然它的最大的正应力就是在什么时候
在θ=0的时候
就等于F比上A这是什么
这显然就是横截面上的正应力
我们也把它称之为轴向应力
而斜截面在什么位置的时候
它的剪应力最大
我们可以看到
显然θ等于正负45度的时候
在这样的斜截面上
它的剪应力是最大的
是等于轴向应力的一半
那么我们再来看一下
θ等于90度
这个截面上的应力应该是等于多少
显然把θ等于90度带进去
刚才斜截面上的正应力和切应力的表达式的时候
我们可以看到
都是等于0
大家想一想
这θ等于90度的话是什么
显然是纵向的截面
我们可以看到这个等值杆
受拉压力的作用的时候
那么显然上面的表面和下面的表面
都是没有应力作用的
同样的在构件的任何一个纵向的面上
我们可以看到正应力和切应力都是等于0
这说明什么
我们可以把这个构件认为是若干条纤维
集合到一起构成了这个构件
那么就好像这些构件
彼此之间没有相互的挤压的作用
所以这也是一个什么
一个基本的假设
前面刚才大家已经看到了
我们在进行这样的应力计算的时候
有的同学就说老师
难道你这两端截面上有集中力作用这个拉力
那个地方的应力也是平均值吗
我们说
应该不是
但是远离这个力的集中力的施加点的话
我们按这样的平均值来进行计算的话
那么它的精度是足够高的
这个问题我们在后面会给大家介绍
这是圣维南原理
接下来我们给大家来看一下这个等值杆受拉的时候
我们怎么能够看清楚它一点的
所受到所有应力的状况
我们说最有效的一种方法是什么
就是采用ΔX ΔY ΔZ这样的
三组距离非常小的一个六面体
围绕着某一点把它截出来
截出来之后
我们可以把这个无限小的六面体
各个面上的应力给它表示出来
比如说我们截的时候这个面是和X轴垂直的
其他呢也是分别和Y轴和Z轴相垂直的
那截出来显然这个面就是横截面
这个横截面上我们看到只有轴向应力只有正应力而没有切应力
那如果有的同学他去截这个小六面体的时候
他是怎样它是按照这样斜的截面这样去截出来
按照我们刚才所得出来的斜截面上的应力
这个时候我们可以看到这个斜截面上
有正应力有切应力
这个面上也是一样
那么现在有一个问题问大家
你觉着这两个是等效的吗
和你学过的什么样的知识是有关系的呢
这个问题我们会在第七章进行讨论
那么这个东西我们把它转一个角度的话
那么我们可以看到这个
就它就表示成现在这个样子
那么我们以这个无限小的六面体
来围绕某一点截出来这个六面体
来表示这一点各个方位面上的应力的这样的方式
这个东西小六面体我们叫做应力单元体
这个应力最一般的情况
我们可以看到在一个截面上它会有正应力
它会有切应力
由于切应力在这个面的任意方向上可能
因此还可以给它正交分解
所以在一个方位面上
我们可以看到一个正应力的分量
两个切应力的分量
那么我们这个空间是三维的空间
所以在X方位面上
Y方位面上以及Z方面三个面上
就应该一共有三三得九
九个这样的应力分量
我们把它有序的给它进行排列
写成这样的一个类似矩阵的这样的一个形式
那么在数学上一点的物理量
需要通过九个分量描述的话
数学上我们管它叫做什么
叫做张量
而我们现在的这个张量是描述的
构件上一点的应力状态的
所以我们管它叫做应力张量
有的时候我们发现这个应力张量
他只跟两个方向有关
你比如说他跟第三个方向Z方向无关
那这个时候我们就管它叫做只跟两个方向有关
所以就叫做二向的应力状态
当然还有一种更简单的情况
他只是跟一个方向有关
我们就管它叫做单向应力状态
那么这个就是我们介绍的这个应力张量
一点的应力状态
这个就是我们今天给大家介绍的知识点的内容
什么是应变
主要讲的是线应变
还有我们还给大家介绍了
构件斜截面上的应力
拉压构件斜截面上的应力应该怎么样计算
我们看到横截面上的正应力是最大的
45度斜截面上的切应力是最大的
然后我们看到要
非常有效地描述清楚一点的它的应力状况的话
我们用一个无限小的一个六面体来表示
这个小六面体叫做应力单元体
各位同学
以上就是我们这个知识点的内容
-1-1 材料力学的任务
--材料力学的任务
--第1-1节作业
-1-2 基本假设、内力、杆的基本变形
--第1-2节作业
-1-3 弹性杆受力的普遍情况与课程内容简介
-2-1 应力,轴力与轴力图,杆横截面上的正应力
--第2-1节作业
- 2-2 应变,杆斜截面上的应力
--第2-2节作业
- 2-3-1 材料的力学性能(一)
--第 2-3-1作业
- 2-3-2 材料的力学性能(二)
--第 2-3-2作业
-2-4-1 胡克定律、轴向变形和泊桑比
--第 2-4-1作业
-2-4-2 安全系数,许用应力,许用载荷
--第 2-4-2作业
-2-5-1 静不定(超静定)系统
--第 2-5-1作业
-2-5-2 静不定(超静定)系统(续)
--第 2-5-2节作业
-2-6 热应力和变形
--热应力和变形
--第 2-6节作业
-2-7 剪切和挤压
--剪切和挤压
--第 2-7节作业
-3-1 扭转,扭矩
--扭转,扭矩
--第 3-1节作业
- 3-2 剪应变,剪应力互等,剪切胡克定律
--第 3-2节作业
-3-3 受扭转构件横截面上的剪应力
--第 3-3节作业
- 3-4 扭转变形
--扭转变形
--第 3-4节作业
-3-5 扭转构件的设计 扭转静不定
--第 3-5节作业
-4-1 梁,平面弯曲,直接求解梁的内力
-4-2 剪力图和弯矩图及一些规律
--第 4-2节作业
-4-3 积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--第 4-3 节作业
-5-1 弯曲正应力
--弯曲正应力
--第 5-1节作业
-5-2 横截面关于中性轴的惯性矩
--第 5-2节作业
-5-3 梁的设计
--梁的设计
--第 5-3节作业
-5-4 弯曲剪应力
--弯曲剪应力
--第 5-4节作业
- 6-1 挠曲微分方程,边界条件
--第 6-1节作业
-6-2 积分法
--积分法
--第 6-2节作业
-6-3 静不定
--静不定
--第 6-3 节作业
-6-4 叠加法
--叠加法
--第 6-4节作业
-6-5 简单静不定梁
--简单静不定梁
--第 6-5节作业
- 7-1 二向应力状态(薄壁压力容器)、三向应力状态
--第 7-1节作业
-7-2 平面应力变换
--平面应力变换
--7-2 节作业
- 7-3 图解法-莫尔圆 广义胡克定律
--第 7-3节作业
-7-4 强度理论概述 断裂准则
--第 7-4节作业
-7-5 屈服准则
--屈服准则
--第 7-5节作业
-7-6 莫尔强度理论
--莫尔强度理论
--第 7-6节作业
- 8-1 关于两个主轴的弯曲
--第 8-1节作业
-8-2 拉压与弯曲的组合变形,直接剪力与扭转剪切的组合
--第 8-2节作业
-8-3 弹性设计
--弹性设计
--第 8-3节作业
-8-4 梁的弹性设计
--梁的弹性设计
--第 8-4节作业
-8-5 轴的强度设计(弯扭组合)
--轴的强度设计
--第 8-5节作业
-8-6 提高梁抗弯能力的措施
--第 8-6节作业
-9-1 屈曲 细长压杆的临界压力
--第 9-1节作业
-9-2 欧拉公式的适用范围,临界应力与长细比,经验公式
--第 9-2节作业
-9-3 提高压杆稳定性的措施
--第 9-3节作业
-10-1. 冲击,动荷系数
--冲击,动荷系数
--第 10-1节作业
-10-2. 用动静法求应力和变形 冲击韧性
--第 10-2节作业
- 11-1 交变应力、持久极限
--第 11-1节作业
-11-2 影响持久极限的因素
--第 11-2节作业
-11-3 疲劳强度
--疲劳强度
--第 11-3节作业
-12-1 应变能
--应变能
--第 12-1节作业
-12-2 互换定理
--互换定理
--第 12-2节作业
-12-3 卡氏定理,应用
--卡氏定理,应用
--第 12-3节作业
- 12-4 卡氏定理应用:虚构载荷法
--第 12-4节作业
- 12-5 虚功原理,单位载荷法,莫尔积分
--第 12-5节作业
-12-6 图乘法
--图乘法
--第12-6节作业
- 13-1 静不定结构、正则方程(一次静不定)
--第 13-1节作业
- 13-2 正则方程(高次静不定系统)
--第 13-3 节作业
-13-3 利用对称性与反对称性分析静不定结构
--第 13-4节作业