剪应变，剪应力互等，剪切胡克定律 在线视频

各位同学大家好

今天我们继续学习材料力学

第三章的有关内容

剪切将引起怎样的变形

以及剪切与相关变形之间的关系

首先我们来看一下纯剪切是怎样的

以我们现在的薄壁筒为例来说

现在我们有一个这样的壁厚比较小的

一个圆筒状的一个构件

它受有扭转

那这个时候大家可能就想了

什么叫做薄壁圆筒

显然就是指的它的厚度

要远小于它的径向的尺寸

特别是如果它的这个壁厚

小于它半径的0.2的话

那么我们就管它叫做薄壁圆筒

现在我们关心一下

说这个时候薄壁圆筒上面这个横截面上的

它的应力是怎样的

显然

扭转

那它的内力呢

只是这个方向的

显然是作用在这个面

是和这个面相切的

所以应该是产生切应力

那这个切应力大小怎么计算呢

我们假设由于它的这个壁厚很小

所以前后这个面里面

内外壁上也没有其它的应力

因此我们就认为它就是这样

沿着周向的这样的分布

而且是均匀的分布

根据平衡条件

它既然是均匀分布的话

我们看看它这个和是多少

它就应该跟这边的什么

扭矩应该去平衡

横截面上的切应力的值

我们认为是τ的话

它是指的单位面积上的应力

那现在这个横截面有多大呢

我们近似的可以计算为

周长与厚度的乘积

周长就是2πr

它的壁厚是δ

这是面积

面积乘以应力是力

力再乘以力臂就变成了什么 矩

没错

所以力臂是多少

是r

因此我们就可以算出来

这个时候薄壁圆筒横截面上的切应力

就由这个式子来算出来

好

那现在呢

我们在这个后壁这个位置

我们取一个单元体

显然

这个单元体右侧的这个面

就意味着是类似它的应力的分布

就类似于我们说的

这个右端的横截面上的切应力的分布

由于它是在最后的位置截取的单元体

所以它这个横截面上的切应力应该什么方向

对

应该跟这里的这个方向应该是一样

所以我们可以看到

这个单元体它右端截面上的应力

应该是怎么样

竖直向上

这边竖直向上的话

大家想想

那它的左侧的这个面上的应力是怎样的

是吧

那么你要么从平衡的角度出发

要么是从截开

那边那个面

是吧

作用与反作用的角度出发

我们都不难判断出来

它左侧的这个截面上的切应力

就应该跟这边的这个方向是相反

这边就应该是向下的

接下来我们给大家看一下

除了右端

以及左端这个面上

它是有这样的相错的

这样的应力之外

那它的这个其它面上的应力

又是如何的呢

这是我们特别关心的

在讲这个之前

我们首先来看一下

所谓的纯剪切的应力状态

这个向上

这边是向下

如果上下面上没有应力作用的话

大家想想

这个小立方块

它能平衡吗

显然它是什么样的

肯定要这么转起来了

是吧

因此为了平衡

那肯定上面和下面这个面上

这个应力也构成一个什么

我们看到

应该是反力偶

去跟这个方向这个力偶去抗衡去

所以上面应该是有向右方向的切应力

底面会有向左方向的切应力

这个时候我们看到的这个单元体

各个面上只有切应力而没有正应力

这样的应力状态

我们称之为纯剪切应力状态

那么我们来看一下

它的平衡条件

整个单元体应该处于平衡状态

现在呢

我们就对任意一个轴

比如说z轴取矩的话

我们可以看到

底面上的力都和z轴相交

左侧面上的力也和z轴相交

所以对z轴没有矩

只有右侧面

和上面应力对z轴是有矩的

我们注意到应力是单位面积上的受力

所以右侧这个面上的应力 τxy

它在整个这个右侧面上的力是多少呢

我们需要乘以这个面的面积

这个面的面积是多少

这个方向dz

这个方向dy

是吧

那这就是应力乘以面积

这就是什么

这就是力

这个力都是向上

对于这个轴z轴取矩的话

力臂是多少

我们可以看到是dx

同样的

上面的这个应力对于z轴的矩呢

我们也类似的可以计算出来

应力τxy

面积dzdx

应力乘以面积

力

对于z轴取矩

力臂是多少

这个高度是dy

等于0

我们注意到它们都有什么

dx dy dz

dx dy dz

所以它们可以怎么样呢

约去公因子

好

那么我们就可以得到了

τyx = τxy

也就是说

这个切应力和这个切应力应该是怎么样的

相等的

类似的

我们也可以求出来其它方向的切应力

也有这样的关系

这个叫做什么

这就叫做剪应力互等

或者讲切应力互等

以后我们再画单元体的时候

都一定要遵循切应力互等

也就是说

两个相邻的面上的切应力

它要么共同指向它们相交的这个邻边

要么共同怎么样

我们看到这个方向和这个方向是吧

背离这个相交的边

简单的一句话

我们管它叫做什么

头对头

尾对尾

以后画单元体

请你一定要注意遵循切应力互等

否则它就不是一个平衡的情况

比如说我们画的这个右侧

我们已经知道

右侧的切应力

好比说向上

那只能是上面的这个面上向右

跟它对着的这个面上跟它方向是相反的

必须要这样画

否则不平衡就错了

我们再来看这个地方

如果右侧面有向前的这个切应力

那前面呢就有肯定会什么

跟它什么头对头的这样的切应力

而左侧面上呢

就会跟它有尾对尾的切应力

向后

后面这个面上就会跟它有什么

跟这个就会头对头

跟这个右侧面上就尾对尾了

是吧

是这样的

一定是这样

以后不能随意的画它的方向了

那么现在我们就关心这个

切应力作用在单元体上的话

那它会怎样的变形呢

这是我们现在要考虑的问题

大家来看

现在呐有一种纯剪切的应力状态

我们小的时候都玩过橡皮泥

玩过面团

是吧

如果这个橡皮泥是这样方的话

我们用两个手这样去摩挲它的话

那它会怎样变形呢

我们可以看到

它就会从一个方形

变成了现在这样的一个什么

菱形

那这个时候

我们看单元体

本来说它这个边应该是这样相互垂直的

经过这样的作用以后

它从这个直角现在变成了什么

现在变成了这样子的锐角

那么我们把这个直角的改变量

也就是从直角变成锐角以后

这个改变量这个角度

我们定义为剪应变

注意它一定是指的角度的改变量

而不是指的这个锐角

这叫剪应变

就是由于作用了这样的切应力以后

所产生的

那么它的单位呢

我们记为弧度

无量纲

记为弧度

好啦

显然这个角度的改变

是和我们作用在上面的什么

这个切应力的大小是有关系的

它们的关系是怎样的

类似于我们做材料的拉伸实验时候一样

我们也可以得到

扭转时候的它的切应力

以及剪应变这样的关系曲线

实验表明

如果材料处于线弹性范围的话

那么我们可以看到

它们的这个关系

可以看到是一种什么

线性的关系

这个线性的比例的系数

我们记为什么

记为G

可以看到它们线性关系

τ=Gγ

这个G我们称之为材料的剪切弹性模量

由于γ是一个无量纲的

我们可以看到这个剪切模量

和应力的单位应该是一样的

它表征了什么样的物理意义呢

在这里我们可以看到这个剪应变γ

就应该等于τ/G

所以它的物理意义类似于我们讲过的弹性模量

是材料抵抗变形的能力

抵抗什么变形呢

我们可以看到

抵抗剪应变这样变形的能力

那么现在我们碰到了几种材料的常数啊

刚才提到有弹性模量

还有什么

我们讲还有泊桑效应的

对

泊桑系数

那么这三个材料常数

剪切弹性模量 弹性模量 还有泊桑系数

它们之间有没有关系呢

我们说

有关系的

这个关系是什么

我们可以看到就是G

等于E除以两倍的1加上ν

这就是三者的关系

很容易证明

大家学到后边有关广义胡克定律的时候

就可以对这个式子这个关系

证明出来

这就是我们今天给大家介绍的

纯剪切应力状态

纯剪切的时候会产生剪应变

剪应变的定义

以及受有剪切作用的时候

剪切切应力和剪应变之间的这个关系

也就是剪切胡克定律

还特别强调的一点

我们讲了剪应力互等

以后画单元体的时候

请一定遵循剪应力互等的原则

这就是我们今天给大家

介绍的知识点的内容

谢谢大家