当前课程知识点:材料力学 > 第4章 弯曲内力 > 4-2 剪力图和弯矩图及一些规律 > 剪力图和弯矩图(二)
各位同学大家好
今天我们来学习有关梁的内力图的画法
接下来我们来看后面的两个例子
比如说现在我们这是一个简支梁
但是它的载荷是
部分梁段上有一个线性分布的这样的一个载荷
尺寸
梁的长度告诉我们了
来画
还不是画
就是求剪力图及弯矩图的表达式
也就是说
求剪力和弯矩的表达式
好啦
由于这个载荷在这一部分
是一个规律
这样分布的
在这儿呢又是一个规律分布的
所以我们还是要进行分段的处理的
不管怎么样
我们第一步还是要求出所有的外力
也就要求约束力
为求约束力方便
我们把这个三角形分布的这个载荷
以它的合力来代替
我们讲它的合就是这一块的面积
二分之一底乘高
作用在哪里呀
我们说是过什么呢
过这个图形的几何中心的
也就是说合力距离这边是三分之二的底
距离这边呢是三分之一的底
那么
我们这样子来看它的这个合力
用合力来代替那个分布的载荷
这样一来
我们说对A取矩的话
我们可以看到
马上就可以求出B处的约束力了
同样的我们对B点取矩的话
马上可以求出A处的约束力
那么这个时候我们就可以看到
Q刚才说了二分之一底乘高
它的合是多少啊
我们可以看到是9kN
再取矩
求约束力
Q乘以
到这儿啊
我们对B点取矩
Q乘以这边三分之一
所以三分之一的6
就是2
Q乘以2除以
这个时候RA对它取矩
力臂是多少
3加6是9
所以我们可以求得RA
2kN
我们可以对A取矩
Q乘以多少
这边是4
加3乘以7
尔后再除以这个距离9
我们就可以得到了RB
这个时候我们可以看到
应该是7kN
所有的约束力求出来了
我们来分段
用截面法来求两段上面的
它的剪力和弯矩的表达式
首先第一段
距离Ax地方
用一个假想的截面
把这个梁假想得给它截断
研究左半段
这个剪力是多少呢
我们讲
如果把它取出来
来画它的这个受力图的话
我们可以看到
这个地方是RA
左上右下
右端面向下Fs
而后弯矩弧箭头向上为正
那这个距离是多少
是x
我们很快的可以求出来
这个时候Fs是多少
平衡条件就应该等于RA
2kN
而后对这个截面的形心取矩
我们可以看到这个M
减去RA乘以x等于0
所以M(x)=RA·x
就是2x
AC段研究完了
那么我们来看看啊
来看一下CB段
x呢
我们可以看到
是取在这个地方
已经大于3了
我们依然是研究的是什么
好比说研究的左半段
这时候的载荷还是三角形分布的
那么这一部分也像我们刚才似的
说能不能按照它的合力来处理
计算比较简便呢
那这合力是多大呢
所以我们得知道这个地方
那么它的这个载荷集度是多少
是吧
我们好比说给它记成q(x)
我们在这个三角形里边
我们按照比例的话
我们可以得到这个q(x)
那么我们看到这个底是6的时候
对应的这的值是多少
是3
如果现在
这个底是多少啊
我们看到是x要减去这一部分
减去3
那对应的这高度是多少呢
是q(x)
所以q(x)我们就可以求出来了
那么
6 3这样对应关系
我们可以看到3除以6
乘以这段是多少
我们可以看到
是什么
x-3
那它的这个q(x)具体的值就知道了
它知道的话
那么我们这块儿的合就好算了
所以这个时候
我们截取出来依然是研究左半段的话
那么我们看这个面上的它的剪力和弯矩
依然是类似于这样
右下为正
而弯矩弧箭头朝上为正
是吧
那么这个时候呢
我们就可以看到
在这个面上
有剪力
还有呢
有弯矩
我们不看这边了啊
只看这边
所有力在竖直方向投影代数和等于0
RA向上
而后这分布载荷是向下的
分布载荷是多大呀
这块面积
所以我们可以看到二分之一的底
x-3
高是什么
高是q(x)
然后这个Fs呢
是向下的
再减去Fs(x)等于0
所以Fs(x)就应该等于RA
减去1/2x减去3
乘上qx
就是我们在这里的
这个式子就可以求出来了
好
我们对横截面形心取矩
我们可以看到弯矩呢
是这个方向
逆时针的M
它是正的
所以我们可以看到这时候M
正的
逆时针是正的
而后这里面的RA
对这个截面形心也是有矩的
它就应该是顺时针
所以它是-RA
而后力臂是多少
从这到这是什么
是x
还有这个三角形的分布载荷
对于这个截面形心也是有矩的
这个分布载荷的大小是多少呢
我们可以看到啊
它应该等于
1/2乘以底
这个底是多少呢
x要减去这一段
这一段是3
所以要x-3
乘以高
高是多少刚才我们说了
就是q(x)
这是力的合
它作用的位置呢
我们讲三角形嘛
距离这边应该三分之二的底
距离这边三分之一的底
所以力臂就是什么
距离这个截面形心就是什么
我们可以看到
三分之一的底
而后
这个底是多少
刚才说了是x-3
等于0
这是平衡方程
那么因此
M(x)=RA·x
可以看到RA·x
减去1/2不就0.5吗
而后这有q(x)(x-3)
这又一个(x-3)
还要除以3
所以(x-3)乘以(x-3)除以3
它就等于2x减去(x-3) 的3次方
除以12
单位是kN·m
这样我们就求出来
x在这个地方的时候
那么它的这个弯矩的表达式
这个例题呢只是让我们来求
剪力和弯矩的表达式
并没有让我们画图
如果要画图的话
这样的曲线
对于我们学过高等数学的人来讲是太简单了
这个曲线我们就不画了
那么这是一个什么
我们看到是一个分布载荷
只是在某一个梁段上作用
并不是在整个梁段上
也是载荷作用的这个规律发生了变化
因此我们也是要进行分段的分析
那么这个就是这道例题
接下来我们很快地来看一下这个例子
这个例子是什么
可以看到一个简支梁
上面有均匀分布的载荷作用
然后在梁的中点又有一个集中力的作用
我们来求这个梁它的最大的弯矩是多少
我们说我们研究的这个呢
都是一个线性系统
我们现在就用一下叠加原理
我们可以说这个力呢
利用力的独立作用原理
我们给它拆分一下
它就相当于这个简支梁
在均布载荷作用
以及再叠加上在集中力作用的合
那么对于均布载荷作用的简支梁
我们在之前的例子介绍过了
它的弯矩图
最大值呢我们已经看到是1/8的
w0l的平方
而对于集中力作用的这个
我们之前也有讨论
那么它的最大值呢
我们可以看到
很简单
要对称的话
就约束力1/2P
那对它取矩肯定是最大
那就是1/4Pl
很快的我们就可以求出
这个最大的弯矩了
均布载荷作用的时候
我们可以看到弯矩图是这样的
最大值刚才已经说了
那么同样的我们把
这个集中力作用的时候的弯矩图
它正的方向我们现在画在下边
你看我这儿也表示了是正的方向
我们把两者叠加
所以我们可以看到
它的弯矩图应该是这样子的
那么最大值是多少
就是这个
两者加起来1/4Pl+1/8w0l的平方
这就是我们说的
利用叠加原理
利用前面的结果
求出来这个梁的它的中间截面上
我们看到
是这个梁的最大弯矩出现的地方
各位同学
这就是我们今天给大家介绍的
如何画梁
剪力图 弯矩图
我们今天所用的方法是通过直接求解
梁截面上的剪力和弯矩的表达式
而后通过这个表达式的情况
我们再来画它的剪力图和弯矩图
这是一个直接求解的方法
好 今天的内容就介绍到这里
谢谢大家
-1-1 材料力学的任务
--材料力学的任务
--第1-1节作业
-1-2 基本假设、内力、杆的基本变形
--第1-2节作业
-1-3 弹性杆受力的普遍情况与课程内容简介
-2-1 应力,轴力与轴力图,杆横截面上的正应力
--第2-1节作业
- 2-2 应变,杆斜截面上的应力
--第2-2节作业
- 2-3-1 材料的力学性能(一)
--第 2-3-1作业
- 2-3-2 材料的力学性能(二)
--第 2-3-2作业
-2-4-1 胡克定律、轴向变形和泊桑比
--第 2-4-1作业
-2-4-2 安全系数,许用应力,许用载荷
--第 2-4-2作业
-2-5-1 静不定(超静定)系统
--第 2-5-1作业
-2-5-2 静不定(超静定)系统(续)
--第 2-5-2节作业
-2-6 热应力和变形
--热应力和变形
--第 2-6节作业
-2-7 剪切和挤压
--剪切和挤压
--第 2-7节作业
-3-1 扭转,扭矩
--扭转,扭矩
--第 3-1节作业
- 3-2 剪应变,剪应力互等,剪切胡克定律
--第 3-2节作业
-3-3 受扭转构件横截面上的剪应力
--第 3-3节作业
- 3-4 扭转变形
--扭转变形
--第 3-4节作业
-3-5 扭转构件的设计 扭转静不定
--第 3-5节作业
-4-1 梁,平面弯曲,直接求解梁的内力
-4-2 剪力图和弯矩图及一些规律
--第 4-2节作业
-4-3 积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--第 4-3 节作业
-5-1 弯曲正应力
--弯曲正应力
--第 5-1节作业
-5-2 横截面关于中性轴的惯性矩
--第 5-2节作业
-5-3 梁的设计
--梁的设计
--第 5-3节作业
-5-4 弯曲剪应力
--弯曲剪应力
--第 5-4节作业
- 6-1 挠曲微分方程,边界条件
--第 6-1节作业
-6-2 积分法
--积分法
--第 6-2节作业
-6-3 静不定
--静不定
--第 6-3 节作业
-6-4 叠加法
--叠加法
--第 6-4节作业
-6-5 简单静不定梁
--简单静不定梁
--第 6-5节作业
- 7-1 二向应力状态(薄壁压力容器)、三向应力状态
--第 7-1节作业
-7-2 平面应力变换
--平面应力变换
--7-2 节作业
- 7-3 图解法-莫尔圆 广义胡克定律
--第 7-3节作业
-7-4 强度理论概述 断裂准则
--第 7-4节作业
-7-5 屈服准则
--屈服准则
--第 7-5节作业
-7-6 莫尔强度理论
--莫尔强度理论
--第 7-6节作业
- 8-1 关于两个主轴的弯曲
--第 8-1节作业
-8-2 拉压与弯曲的组合变形,直接剪力与扭转剪切的组合
--第 8-2节作业
-8-3 弹性设计
--弹性设计
--第 8-3节作业
-8-4 梁的弹性设计
--梁的弹性设计
--第 8-4节作业
-8-5 轴的强度设计(弯扭组合)
--轴的强度设计
--第 8-5节作业
-8-6 提高梁抗弯能力的措施
--第 8-6节作业
-9-1 屈曲 细长压杆的临界压力
--第 9-1节作业
-9-2 欧拉公式的适用范围,临界应力与长细比,经验公式
--第 9-2节作业
-9-3 提高压杆稳定性的措施
--第 9-3节作业
-10-1. 冲击,动荷系数
--冲击,动荷系数
--第 10-1节作业
-10-2. 用动静法求应力和变形 冲击韧性
--第 10-2节作业
- 11-1 交变应力、持久极限
--第 11-1节作业
-11-2 影响持久极限的因素
--第 11-2节作业
-11-3 疲劳强度
--疲劳强度
--第 11-3节作业
-12-1 应变能
--应变能
--第 12-1节作业
-12-2 互换定理
--互换定理
--第 12-2节作业
-12-3 卡氏定理,应用
--卡氏定理,应用
--第 12-3节作业
- 12-4 卡氏定理应用:虚构载荷法
--第 12-4节作业
- 12-5 虚功原理,单位载荷法,莫尔积分
--第 12-5节作业
-12-6 图乘法
--图乘法
--第12-6节作业
- 13-1 静不定结构、正则方程(一次静不定)
--第 13-1节作业
- 13-2 正则方程(高次静不定系统)
--第 13-3 节作业
-13-3 利用对称性与反对称性分析静不定结构
--第 13-4节作业