当前课程知识点:材料力学 > 第八章 组合变形 > 8-4 梁的弹性设计 > 梁的弹性设计
各位同学大家好
现在我们来学习有关梁的弹性设计
首先我们来看
有关梁的强度设计的一个具体的一个例子
现在让我们来设计这个受两个集中载荷作用的
榉木所制的一个简支梁
它的矩形截面
已经知道
这个木材的它的许用的拉应力是8MPa
许用的剪应力是0.7个MPa
垂直纤维方向的挤压应力
许可数值是1.4个MPa
让我们来设计这个榉木梁的横截面的尺寸
首先我们要考虑的是这样的力作用以后
梁会产生了弯曲
所以我们要来考察这方面的强度问题
我们可以通过受力分析
求得两端的约束力
由于对称性我们可以看到
这约束力就是等于8kN
因此我们可以画出它的剪力图和弯矩图
显然它的危险截面在哪里我们可以看到
应该是在这样的截面上有最大的剪力
还有什么最大的弯矩
而最大的弯矩等于什么呢我们可以看到
8乘以这个力臂1.25
所以我们看到最大弯矩是10kN·m
这个时候就能够决定出
按照第一类危险点最大的拉应力作用的地方
算出截面它的抗弯截面模量
至少应该是多少
最大弯矩除以许用应力
我们可以得到的这个数值
把具体的值代进去以后
我们可以得到1.25乘以10的6次方毫米的三次方
求出来了
由于截面已经说了
这个木材的梁是一个矩形截面的梁
我们不妨设这个矩形截面
它的这个尺寸它的高是宽的两倍
所以抗弯截面模量就是1/6bh的平方
把这个关系代进去
b是1/2的h所以就12分之H的三次方
是等于1.25乘以10的6次方
因此我们可以得出来h
就等于它12再开三次方算出来是多少247毫米
b呢是它的一半
我们就取123
算出来是123
按照设计来讲我们喜欢它这些数据给它圆整一下
圆整成什么样了
那么宽取了140高呢取了240
我们来看一下
如果是这样的截面的话
它截面的抗弯截面模量是多少
算出来1/6bh的平方
140/6×240的平方
算出来是多少
1.34乘以10的六次方毫米的三次方
而要求的是1.25
所以是满足要求的
没有问题
那这个时候我们再来校核一下其它的危险点
那么这个时候我们来看一下
它的最大的它的剪应力应该是多少
那么这个时候我们说矩形截面
它的最大的剪应力应该是平均值的1.5倍
二分之三代进去算140乘240
这是面积2,3乘上这个Fs是剪力
得出来是多少0.357MPa
是小于许用值的 0.7
所以没问题剪切强度也是够
选择这个没有问题
这个时候有的人可能就想了
那你没有算这个梁自身的重量吗
那么我们来看看再把梁自身的重量给它加上去
这种榉木的比重
我们说是6.5kN/m3
乘以横截面积就转化成了单位长度
它的受力应该是多少有多少重吗
所以单位长度有多少重
乘上去以后我们可以看到是0.218kN/m
这就相当于一个均布载荷作用的时候的情况
最大的弯距是什么出现在中间截面
出现在中间截面
它应该等于什么我们可以看到
应该等于1/8的这均布载荷与梁的长度的平方的乘积
所以算出来是多少0.681kN·m
我们把这个叠加上刚才的我们可以看到
中间截面这个时候它的弯矩是10
所以加起来10.681
再除以刚才我们得到设计的那个截面是什么
是140乘以什么240
它的抗弯截面模量
因此呢我们带进去算可以看到应该等于多少
它们之间的关系啊代进去
1.34最大弯矩除以许用正应力
抗弯截面模量1.34
怎么这么巧
跟刚才咱们选的
240×140出来的那个抗弯截面模量
是一样的是吧
所以没问题可以满足要求
接下来我们还要看的是什么
我们讲你这个梁
要放在基础上
上面还要有集中力的作用
那你放上来以后这里边至少要有伸进去多长
因为我们已经知道
它说了垂直于纤维方向
还有一个挤压应力的一个要求
什么是纤维方向当然是木材的纤维方向了
这是纤维方向
那我们要看那这个时候接触进来
至少要伸进来多少
那么伸进去乘以这个梁的这个宽度
我们讲呢就是挤压的接触面积
对吧
那么在这呢你这个集中力
如果它和梁接触的面积很小的话
那它这个集中力作用的地方
它的挤压应力也会比较大的
我们也应该考虑到给它垫上一个什么垫脚
那么这个时候让它的面积稍微大一点
那这个时候不至于由于挤压强度不够
把这个地方破坏了
接下来我们就来算算这一部分挤压力
除以许可的啊挤压应力
我们讲就得到了受挤压的面积
把相关的数据带进去
我们得到了这个面积是5710平方毫米
刚才我们说了这个挤压的面
也应该是一个矩形的面
它应该伸进去多少
对吧
这个伸进去就是指的这个矩形截面的高
它的宽还是这个梁的宽
所以我们选择的这个是什么样
我们选择了说伸进去50从这儿到这儿
如果伸进去50的话
那么我们看底下的挤压面积是多少
50乘以梁的宽度140
是7000平方毫米是大于这个面积的
对吧
那么在这个集中力作用的地方
我们给它加了垫脚
好比说加了一个那个钢片
这个钢片的面积是多少
我们选择了80×80的这样的一个钢的这个薄板
那这个面积是多少我们看到是6400平方毫米
这个面积也是大于这个面积的
我们说没问题
在这产生的挤压应力也应该是怎么样
小于1.4MPa的
这个就是我们进行的一个
实际的这样一个木梁的一个强度的设计
接下来我们来考察一下梁的刚度设计
涉及到梁的刚度的这样的弹性的设计
我们现在可以看到有一个悬臂梁
这端固定这端自由
上面做有均布的载荷载荷的极度
已经告诉我们了10kN/m
量的长度三米
弹性模量
许用正应力
以及注意了这里又有一个要求了
这是什么这是它变形的要求
也是刚度的要求
单位长度上它的最大的挠度是什么
我们可以看到比值1:250
截面是矩形的截面
还知道了它的宽和高
是1:2的关系
让我们来设计这个截面的尺寸b和h
首先我们讲需要满足什么
这样强度的要求
是吧
我们来进行强度方面的设计
来看一下
这个时候构件里边所产生的最大的正应力
应该在哪里
毫无疑问应该是在什么
固定端这个截面上
因为这个截面上具有最大的弯矩
好那么我们代进去算
最大弯距抗弯截面模量比值最大的应力
让它小于等于许可数值
因此我们可以得到
这个时候的它的这个W应该等于多少
刚才说了
这个时候最大弯矩是在这个地方
1/2q乘以l的平方
1/2乘以10乘以10的3次方
kN变成N
再乘以这个l是3m
3的平方
算出来45乘以10的3次方牛顿米
把这个数据代进去以后算出来W
我们看到了是六分之bh的平方
也就是三分之二b的三次方等于什么
就应该等于这最大的弯矩与许用应力的比值
所以我们可以看到
那么这个时候横截面它的尺寸b
至少应该是什么应该是这样子的
算出来
数值是83mm
那么它的高应该是它的两倍
也就是说至少应该是166mm
这是我们按照强度要求来做的尺寸的设计
那是否满足刚度要求
或者反过来我们来看看
如果按照刚度的准则我们来进行设计的话
它的尺寸是怎样的
最大的挠度和量的长度的比是多少
是在1:250范围之内
对于悬臂梁我们可以通过查表可以得到
自由端具有最大的挠度的
悬臂梁均布载荷作用的时候
自由端的最大的挠度ql^4/8EI
我们把它代到这里面去
就可以得到ql^3/8EI应该小于等于1/250
那么这个时候我们把具体的这些个条件给它代进去
这个I我们讲了
是12分之bh的三次方
再把b和h的关系也代进去
所以就得到了这个式子
由此我们可以算出来这个b至少应该是多少是吧
b的四次方过来
就应该它除过去
然后再开四次方
我们可以得到了
b至少应该是多少
89.6mm
那h是它的两倍
所以那h至少是179mm
那又要满足强度条件
又要满足刚度条件
两者相比较
因此我们可以看到
我们设计这个梁它的截面的尺寸
圆整一下
我们取得了h是180
b是90这样
强度条件刚度条件就都满足了
这就是一个梁的又考虑强度
又考虑刚度的一个弹性设计的实例
今天有关梁的弹性设计
包括强度设计和刚度设计的两个实例
我们就给大家介绍到这里
谢谢大家
-1-1 材料力学的任务
--材料力学的任务
--第1-1节作业
-1-2 基本假设、内力、杆的基本变形
--第1-2节作业
-1-3 弹性杆受力的普遍情况与课程内容简介
-2-1 应力,轴力与轴力图,杆横截面上的正应力
--第2-1节作业
- 2-2 应变,杆斜截面上的应力
--第2-2节作业
- 2-3-1 材料的力学性能(一)
--第 2-3-1作业
- 2-3-2 材料的力学性能(二)
--第 2-3-2作业
-2-4-1 胡克定律、轴向变形和泊桑比
--第 2-4-1作业
-2-4-2 安全系数,许用应力,许用载荷
--第 2-4-2作业
-2-5-1 静不定(超静定)系统
--第 2-5-1作业
-2-5-2 静不定(超静定)系统(续)
--第 2-5-2节作业
-2-6 热应力和变形
--热应力和变形
--第 2-6节作业
-2-7 剪切和挤压
--剪切和挤压
--第 2-7节作业
-3-1 扭转,扭矩
--扭转,扭矩
--第 3-1节作业
- 3-2 剪应变,剪应力互等,剪切胡克定律
--第 3-2节作业
-3-3 受扭转构件横截面上的剪应力
--第 3-3节作业
- 3-4 扭转变形
--扭转变形
--第 3-4节作业
-3-5 扭转构件的设计 扭转静不定
--第 3-5节作业
-4-1 梁,平面弯曲,直接求解梁的内力
-4-2 剪力图和弯矩图及一些规律
--第 4-2节作业
-4-3 积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--第 4-3 节作业
-5-1 弯曲正应力
--弯曲正应力
--第 5-1节作业
-5-2 横截面关于中性轴的惯性矩
--第 5-2节作业
-5-3 梁的设计
--梁的设计
--第 5-3节作业
-5-4 弯曲剪应力
--弯曲剪应力
--第 5-4节作业
- 6-1 挠曲微分方程,边界条件
--第 6-1节作业
-6-2 积分法
--积分法
--第 6-2节作业
-6-3 静不定
--静不定
--第 6-3 节作业
-6-4 叠加法
--叠加法
--第 6-4节作业
-6-5 简单静不定梁
--简单静不定梁
--第 6-5节作业
- 7-1 二向应力状态(薄壁压力容器)、三向应力状态
--第 7-1节作业
-7-2 平面应力变换
--平面应力变换
--7-2 节作业
- 7-3 图解法-莫尔圆 广义胡克定律
--第 7-3节作业
-7-4 强度理论概述 断裂准则
--第 7-4节作业
-7-5 屈服准则
--屈服准则
--第 7-5节作业
-7-6 莫尔强度理论
--莫尔强度理论
--第 7-6节作业
- 8-1 关于两个主轴的弯曲
--第 8-1节作业
-8-2 拉压与弯曲的组合变形,直接剪力与扭转剪切的组合
--第 8-2节作业
-8-3 弹性设计
--弹性设计
--第 8-3节作业
-8-4 梁的弹性设计
--梁的弹性设计
--第 8-4节作业
-8-5 轴的强度设计(弯扭组合)
--轴的强度设计
--第 8-5节作业
-8-6 提高梁抗弯能力的措施
--第 8-6节作业
-9-1 屈曲 细长压杆的临界压力
--第 9-1节作业
-9-2 欧拉公式的适用范围,临界应力与长细比,经验公式
--第 9-2节作业
-9-3 提高压杆稳定性的措施
--第 9-3节作业
-10-1. 冲击,动荷系数
--冲击,动荷系数
--第 10-1节作业
-10-2. 用动静法求应力和变形 冲击韧性
--第 10-2节作业
- 11-1 交变应力、持久极限
--第 11-1节作业
-11-2 影响持久极限的因素
--第 11-2节作业
-11-3 疲劳强度
--疲劳强度
--第 11-3节作业
-12-1 应变能
--应变能
--第 12-1节作业
-12-2 互换定理
--互换定理
--第 12-2节作业
-12-3 卡氏定理,应用
--卡氏定理,应用
--第 12-3节作业
- 12-4 卡氏定理应用:虚构载荷法
--第 12-4节作业
- 12-5 虚功原理,单位载荷法,莫尔积分
--第 12-5节作业
-12-6 图乘法
--图乘法
--第12-6节作业
- 13-1 静不定结构、正则方程(一次静不定)
--第 13-1节作业
- 13-2 正则方程(高次静不定系统)
--第 13-3 节作业
-13-3 利用对称性与反对称性分析静不定结构
--第 13-4节作业