当前课程知识点:材料力学 > 第二章 拉伸、压缩与剪切 > 2-6 热应力和变形 > 热应力和变形
各位同学大家好
接下来我们学习材料力学第二章
有关热应力以及圣维南原理的证明
和应力集中现象的相关知识点
我们说
通常来讲材料都是热胀冷缩的
尤其是固体材料
当然
我们在这儿不是说的水
水可能是在由液体变成固体的时候
也就结冰的时候它的体积呢是这个膨胀的
那么一般的固体材料都是热胀冷缩的
那么当这个温度升高的时候
它的体积就会膨胀
温度降低体积收缩
温度由T0变化到T的时候
那么它就会产生相应的这个热应变
我们说它可以由下式来表示
这个热应变εT
就应该等于α乘以这个温度的升高的增量
T-T0
那这里的α呢
就是这个材料的它的线热胀系数
如果我们现在碰到的这个杆儿
它的长度是L的话
当它均匀地承受温度的变化的时候
这个温度的变化我们记成这个δT
小写的δT
那么它的长度的变化
我们就可以根据热应变的表达式
就可以求出来
温度和温度的这个引起的热应变乘以这长度
我们讲就是这个杆的它的伸长量
这个热应变呢
又是α乘以温度的改变
然后再乘以L
是这样子的
接下来我们来看一个有关热应力的一个例子
现在呢
我们有一个等直杆
但是两端给它限制住了
现在呢
我们说这个等直杆
它温度均匀地升高
升高了多少呢
升高了ΔT
现在我们来分析下
由于它温度升高了ΔT
而后在这里面产生了多大的应力
我们已经知道这个材料的弹性模量是E
它的线膨胀系数是α
如果我们说把这杆固定在地面上
而上部让它自由的话
由于温度升高
均匀地升高
那么我们可以看到
热胀呢
所以它就会怎么样
是伸长了
这个Δl
显然我们可以按刚才的那个热应变的这个计算
我们可以给它计算出来的
Δl就应该等于线膨胀系数乘以ΔT
这热应变再乘以L
变成了这杆的伸长量
实际的情况是怎么样
实际的情况是上部是有约束的
也就说上部是要受到力的作用的
那么
这个力又是怎么样呢
我们讲受到力以后
它就好像又给压回来了一样
我们设这的约束力是多大
是R
那么我们就来看看这个R
到底应该多大
让这个长l的这个杆儿
那么它的变形又被压回来这么多
我们来看一下
按照这个杆受拉压作用的时候
它的变形量的计算
轴力是R
长度呢是l
它横截面积是A
弹性模量是E
那么它在R的压的作用下
那么它的收缩的量就应该是这么大
按照线性叠加原理
那么这个膨胀的量
和这个收缩的量
叠加起来应该满足原有的边界条件
也就是说整个的这个等直杆
它的变形量还是应该是零的
所以我们带到变形协调条件里边
就是Δl-RL/EA=0
把Δl带进来
因此我们就可以求得那么这一端上端的约束力
应该等于EAα(ΔT)
也就是我们知道了这个杆里面的轴力就是这个R
题目要求我们求这杆儿里边产生的热应力
应该是多少
所以我们把这轴力再除以横截面积
因此我们可以看到这个时候
热应力就是Eα(ΔT)
我们可以看到
你这温度升高了这么多
你如果不让它自由的伸长缩短的话
势必在里边儿会产生应力
可以看到产生的应力是多少呢
就是这么大
跟这个温度的变化有直接的关系
好
这是我们讲的
这个热应力
由于温度的变化
引起的热应力
以及相应的一些变形的情况
接下来我们给大家说明一下圣维南原理
以及所谓的应力集中现象
首先我们来看一下圣维南原理
我们现在呢
已经有比较先进的一个计算方法
这个先进的计算的方法
就是所谓的有限元法
有限单元法
那么用这样的一个方法
它是一种数值模拟的方法
我们可以带到程序里进行计算
好比说对一个等直杆
我们来看看它
各个横截面上的应力的分布的情况
这个等直杆
它的宽度是b
长是l
两端有这样的轴力的作用
那么我们来看
这个呢
是有限元计算的结果
这个是距离力的施加点距离b/4的地方
横截面上的应力的分布的情况
这个时候
最大值是平均值的2.575倍
误差是相当大的
我们再来看
距离力的施加点距离是多少呢
是b/2的横截面上
它的应力的分布
比那个时候的不均匀性要好很多
但是呢
我们看它的最大值是多少
1.387的平均的应力
这个时候的相对误差是不到40%
38.7%
我们再来看
距离力的施加点b
这么远的横截面上应力的分布的情况
基本上就平了
那最大的值是多少
1.027的平均应力
那现在的相对误差是多少
只有2.7%
这说明了什么
从这个里边儿
这个实际的先进的计算方法的这个结果里面
我们可以看到如下的两点
我们可以看到如下的两点
第一点
基于平衡条件
我们得到的横截面上的平均应力
我们说都是正确的
没有问题
没有问题
第二点是什么
我们可以看到
距离端点为杆宽度的截面上的应力
基本上是平均分布的
那么第二点就证明了圣维南原理
圣维南原理是说的什么
说只要远离力的施加点
那么按照这样平均值来算
我们说误差就很小了
就可以了
那么什么叫远离
在这个例子里面就告诉我们
所谓的远离
就是你这个集中力作用的地方
远离就是什么
宏观的
构件的最小尺寸
刚才那个b就是这个等直杆的宏观的最小尺寸
所以距离那么远基本上
就是一个平均分布的情况
这是我们对圣维南原理的一个证明
下面我们来介绍一个现象
首先问大家
如果我现在拿了一个教鞭
好比在手里面
这样一个杆
一种情况下是怎么样
光光的这个教鞭
这个杆
这个杆
我们直接这样掰它
给它撅折了
或者加点力这样撅折了
还有一种情况是什么
我们拿一个小刀
在这个教鞭的这个表面上
我们轻轻地刻一个槽
然后我们再去给它掰断了
你们觉得哪个容易
没错
就是如果我们用小刀给他刻一个槽的话
我们这样一撅它就断了
是吧
我们说这是有道理的
为什么呢
这就是我们现在要给大家介绍的
所谓的应力集中这样的现象
比如说我们这个等直杆
忽然我们在某一个地方突然钻了一个小孔
或者呢我们在这突然开槽啊
让它的这个横截面的尺寸
发生了一个突然的变化
发生了一个突然的变化
这个时候我们会发现
在这个尺寸突然变化的这个地方
看小孔的这个边缘的这个地方
还有这个地方尺寸突然变化的地方
它的应力
会有什么
急剧的增长这样的一个现象
离开这个尺寸突变的这个地方呢
我们发现这个应力会怎么样
迅速下降而趋于均匀
这是第二点
第三点我们可以看到
应力的最大值
我们通过大量的实验
已经观察到了
只取决于构件的几何尺寸与变化的比例
那么
也就是说你这突变的程度是如何的
那么直接影响了
这个应力集中的这个应力的最大值
那么这种构件由于它的尺寸的
突然的改变
而引起来它应力急剧增大的这种现象
我们就管它叫做应力集中
而对于应力集中
它的程度是多大
我们用一个系数来进行衡量
这个系数就叫做应力集中系数
它是指产生的应力集中那个地方的最大的应力
和应该按照平常的正常情况
没有尺寸突变的时候的那么那里的应力值
也就是平均应力
两者的比值我们记成k
这个k呢就叫做应力集中系数
所以最大的这个应力
就应该应力集中系数与平均应力的乘积
就是k乘以P/A
应该是这样的
那么
我们有专门的人士来做这样的研究
我们有专门的人士来做这样的研究
比如说用光弹实验等等
进行测试
把各种各样的这个尺寸的突变啊
引起的应力集中的状况啊
那么都画出来各种的图表
数据
那么出很大的一个手册
那么大一厚本
这样的手册
各种各样的应力集中
我们都可以
如果感兴趣的话
都可以查那样的手册
都可以查那样的手册
得到这些应力集中系数
那我们同学可能就想了
说那你这应力集中
我们是不是随时随刻都要进行考虑呢
我们来说明一下
不同的材料应力集中的影响也是不一样的
首先我们来看一下韧性材料
我们说它是有屈服阶段的
也就是说当这个应力达到屈服应力的时候
那么它应力基本上不变
只是它变形会有增加
是这样
所以这个时候我们讲应力会保持不变
并发生局部的塑性变形
强度设计时可以不考虑应力集中的影响
那么我们来解释一下
本来说我们这里这个
说这个等直的这个构件
是吧
那么由于你在这钻了这个小孔了
那么在这儿的这个应力呢
我们可以看到在这儿呢有突然的增加
对吧
这边也是一样突然的增加
而后趋近于平均值了
到这个地方
那么如果我们这边施加的力继续增长的话
那这个地方呢可能就达到了什么
达到了屈服应力
它达到了屈服应力
这边这个力再增加的话
我们说它这基本上就维持屈服应力不变
这个时候应该是什么
它的其他的地方
又开始增加了这个应力
这边也是一样
这边又开始增加了
然后变成这样
也就是说这个呢
它这个屈服应力就到这个地方了
它这个屈服应力就到这个地方了
你这边力的增加
由其它的这个地方来给它承担
对吧
变成这样
除非整个的一直在增加
整个的这个截面都达到了什么
屈服应力
它才丧失了承载能力
原因是这个
所以对韧性的材料
我们进行强度设计的时候
先可以不用考虑应力集中的这种影响
对于脆性材料
我们讲它是没有明显的一个什么
这个没有这个屈服阶段的
它拉到一定程度没有那么大的变形的时候
它就会突然的断裂
所以呢
这个时候如果产生应力集中
那么它那个局部急剧的应力增长达到了什么
达到了它的强度极限的话
那个地方就要产生什么
就要开始裂开了
产生裂纹
就要断开了
然后呢你想它的那尺寸
实际有效尺寸就会减小
因此大大的降低了承载能力
会导致构件的什么
就是突然的断裂
这是很危险的
那么因此脆性材料在进行强度设计的时候
必须要考虑应力集中的影响
但是对于那种的
脆性材料
哪种呢
我们讲的铸铁
由于它的工艺的原因
所以铸铁本身内部的
它的结构
它的材质的不均匀性
引起来的应力集中是主要的一个原因
所以呢
这个时候
铸铁呢我们讲由于外形突变引起的应力集中啊
相对是次要的我们可以不用考虑
这是脆性材料铸铁可以不用考虑
那么在交变应力的作用下
也就说它受到了这个应力是怎么样
就是
交替变化忽大忽小的这样的情况
就跟我们之前讲的
塔克玛大桥为什么振动
风载的情况
这样这样这样它很快就断了呢
就跟我们撅铁丝的时候
我们这样这样这样几下它就断了
对不对
那么这是什么
这是会出现疲劳的突然断裂
所以必须要考虑应力集中的影响
这个影响是很大的
还有我们讲在动载荷的情况下
也必须要考虑应力集中的影响
这个呢
就是我们今天给大家介绍的知识点的内容
温度的变化引起的构件的热应力
以及相应的变形的计算
对圣维南原理
我们进行了证明 说明
然后给大家介绍了什么叫做应力集中
什么情况下
必须要考虑材料这个构件强度设计的时候
我们必须要考虑应力集中的影响
好
谢谢大家
-1-1 材料力学的任务
--材料力学的任务
--第1-1节作业
-1-2 基本假设、内力、杆的基本变形
--第1-2节作业
-1-3 弹性杆受力的普遍情况与课程内容简介
-2-1 应力,轴力与轴力图,杆横截面上的正应力
--第2-1节作业
- 2-2 应变,杆斜截面上的应力
--第2-2节作业
- 2-3-1 材料的力学性能(一)
--第 2-3-1作业
- 2-3-2 材料的力学性能(二)
--第 2-3-2作业
-2-4-1 胡克定律、轴向变形和泊桑比
--第 2-4-1作业
-2-4-2 安全系数,许用应力,许用载荷
--第 2-4-2作业
-2-5-1 静不定(超静定)系统
--第 2-5-1作业
-2-5-2 静不定(超静定)系统(续)
--第 2-5-2节作业
-2-6 热应力和变形
--热应力和变形
--第 2-6节作业
-2-7 剪切和挤压
--剪切和挤压
--第 2-7节作业
-3-1 扭转,扭矩
--扭转,扭矩
--第 3-1节作业
- 3-2 剪应变,剪应力互等,剪切胡克定律
--第 3-2节作业
-3-3 受扭转构件横截面上的剪应力
--第 3-3节作业
- 3-4 扭转变形
--扭转变形
--第 3-4节作业
-3-5 扭转构件的设计 扭转静不定
--第 3-5节作业
-4-1 梁,平面弯曲,直接求解梁的内力
-4-2 剪力图和弯矩图及一些规律
--第 4-2节作业
-4-3 积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--第 4-3 节作业
-5-1 弯曲正应力
--弯曲正应力
--第 5-1节作业
-5-2 横截面关于中性轴的惯性矩
--第 5-2节作业
-5-3 梁的设计
--梁的设计
--第 5-3节作业
-5-4 弯曲剪应力
--弯曲剪应力
--第 5-4节作业
- 6-1 挠曲微分方程,边界条件
--第 6-1节作业
-6-2 积分法
--积分法
--第 6-2节作业
-6-3 静不定
--静不定
--第 6-3 节作业
-6-4 叠加法
--叠加法
--第 6-4节作业
-6-5 简单静不定梁
--简单静不定梁
--第 6-5节作业
- 7-1 二向应力状态(薄壁压力容器)、三向应力状态
--第 7-1节作业
-7-2 平面应力变换
--平面应力变换
--7-2 节作业
- 7-3 图解法-莫尔圆 广义胡克定律
--第 7-3节作业
-7-4 强度理论概述 断裂准则
--第 7-4节作业
-7-5 屈服准则
--屈服准则
--第 7-5节作业
-7-6 莫尔强度理论
--莫尔强度理论
--第 7-6节作业
- 8-1 关于两个主轴的弯曲
--第 8-1节作业
-8-2 拉压与弯曲的组合变形,直接剪力与扭转剪切的组合
--第 8-2节作业
-8-3 弹性设计
--弹性设计
--第 8-3节作业
-8-4 梁的弹性设计
--梁的弹性设计
--第 8-4节作业
-8-5 轴的强度设计(弯扭组合)
--轴的强度设计
--第 8-5节作业
-8-6 提高梁抗弯能力的措施
--第 8-6节作业
-9-1 屈曲 细长压杆的临界压力
--第 9-1节作业
-9-2 欧拉公式的适用范围,临界应力与长细比,经验公式
--第 9-2节作业
-9-3 提高压杆稳定性的措施
--第 9-3节作业
-10-1. 冲击,动荷系数
--冲击,动荷系数
--第 10-1节作业
-10-2. 用动静法求应力和变形 冲击韧性
--第 10-2节作业
- 11-1 交变应力、持久极限
--第 11-1节作业
-11-2 影响持久极限的因素
--第 11-2节作业
-11-3 疲劳强度
--疲劳强度
--第 11-3节作业
-12-1 应变能
--应变能
--第 12-1节作业
-12-2 互换定理
--互换定理
--第 12-2节作业
-12-3 卡氏定理,应用
--卡氏定理,应用
--第 12-3节作业
- 12-4 卡氏定理应用:虚构载荷法
--第 12-4节作业
- 12-5 虚功原理,单位载荷法,莫尔积分
--第 12-5节作业
-12-6 图乘法
--图乘法
--第12-6节作业
- 13-1 静不定结构、正则方程(一次静不定)
--第 13-1节作业
- 13-2 正则方程(高次静不定系统)
--第 13-3 节作业
-13-3 利用对称性与反对称性分析静不定结构
--第 13-4节作业