当前课程知识点:材料力学 > 第十二章 能量法 > 12-2 互换定理 > 互换定理
各位同学大家好
今天我们来介绍互换定理
我们首先来看一个例子
这里呢有一个悬臂梁
在自由端作用P力
我们来求一求梁中点的挠度应该是多少
同样的这个梁
现在呢我们把这个集中力作用在中间截面位置处
而后来求一求自由端的挠度是多少
我们根据第六章的这个表6.1表
我们可以看到这种情况下
悬臂梁
梁上某一个位置作用集中力的时候
我们得到的它的挠度的表达式
是这两个式子所列出的情况
现在我们来看这种情况下相当于什么
我们可以看到相当于这个时候a是多少呢
a是l求中间截面位置x是多少呢
x是l/2
那就应该带这个0≤x≤a的这个表达式
我们看看应该是多少
这Fx2/6EI
x刚才说了这是什么
l/2所以这出来应该是什么
l2/4 l2/4的话4×6=24
3a a是l 3l减去x
x是l/2所以3-1/2
那就应该是多少 5/2
刚才我们看到这是什么24
1/24×5/2是多少5/48是吧
所以我们看到这种情况下的话
它应该是挠度的大小5Pl3/48EI
是吧
好了
那么我们看第二种情况
这个时候P力作用的位置是l/2
也就是说现在这个a是l/2
我们要求这点的挠度
是吧
这点的挠度我们可以看到它是什么
就可以按照这个式子来进行计算的
是吧
最大挠度不就自由端嘛
然后这时候(Fa^2)/6EI (3l-a)
这个力F我们讲就是P力了
这个时候写的a^2
a^2是多少a是l/2平方是1/4
4×6=24而后3l
3l减去a a是多少l/2又是多少
5/2 1/24再乘上5/2又是多少5/48
好
我们看到它们的大小是怎么样
是一样的这是巧合吗
我们接下来就来分析
发现并不是巧合
它一定会存在这样的关系
这个呢就是由互换定理来说明的
我们接下来就来说一说这个互换定律
它的前提条件
第一材料服从胡克定律
第二当然还是小变形的情况
我们以下面这个图所示的简支梁为例
来进行说明
如果简支梁在1位置作用有一个集中力是
P 1的话
也就A这个位置作用P 1的话
引起的1位置的挠度
我们给它记成δ 11
而后这个位置呢是什么位置呢
是2位置引起来的这个挠度是多少呢
我们给它记成δ 21
大家可以看到这个下标了啊
第二个下标是1表示力的作用的位置
第一个下标是表示的到底是这个位置的挠度
还是2位置的挠度
是吧
是指的位移的位置
现在呢还是这个梁现在在2位置
也就B截面位置的时候作用的集中力P 2
对应的就会产生相应的挠度
在这儿我们看到应该是什么
应该是δ 12
也就是说在2位置作用这个力
引起来的1位置的它的挠度
同样的在2位置
它的原位的这个挠度是多少呢
就是δ 22
如果两个力同时作用的话
那显然它们共同作用的结果
就应该等于它们单独作用结果的什么
叠加
是吧
因为什么我们讲了服从什么
胡克定律是线性系统所以满足叠加原理
叠加原理在力上面
我们又可以说是什么力的独立作用原理
是吧
共同作用的结果就等于单独作用结果的叠加
所以这种情况下
1处的挠度就是δ 11+δ 12
2处的挠度就等于δ 21+δ 22
这样的结果
好
在这种情况下我们说这是P 1
P 2它们共同作用了
那这个时候我们来看看应变能是多少
根据功能原理
我们知道P 1做功加上P 2做功
就是整个梁的什么 应变能
是吧
所以我们可以得到了
那这是1/2 P 1乘上这个引起的这个位置的
它的这个变形也就位移了
δ 11+δ 12
为什么呢
因为这个力是从零一直到P 1
那么它这点的挠度也是从零到了δ 11+δ 12
线性的关系
所以呢有一个1/2
这个是不能丢的线性关系
好
那同样的在这个位置
P 2做功呢我们可以看到1/2 (δ 21+δ 22 ) P 2
这时候我们看到P 1
P 2同时作用的时候
这两个力的做功全部转化成了应变能
我们刚才说了在力学上线性系统
你这个叠加原理又可以叫力的独立作用原理
本来是P1 P2同时作用
我们现在非得人为的认为是什么
说P 1先作用
而后再叠加上的P 2作用
好
那么我们来看看P 1先作用的时候
那么它的做功应该是多少
P 1作用的话
那在这儿2呢是没有力的
所以这种情况下只是P 1做功了
P 1从零到P 1的过程当中
那这点的位移也是从零到了δ 11
所以它的做功两者是线性关系的
所以它的做功1/2 δ 11 P 1
而后现在呢我们来开始要叠加P 2作用了
P 2在这个基础上叠加的
是吧
是在这个基础上
它已经有了这样变形的基础上
作用P 2以后又产生了这么样的一个挠度
对应的位置又有了这样的位移
在这个地方
我们可以看到它是从这儿开始往下又移了多少
又移了δ22
这个过程我们讲这个P 2从零增加到P 2的时候
作用的过程
那么这一点又位移了多少呢
位移了我们可以看到
δ 22
所以这个时候P 2做功应该是1/2 P 2 δ 22
没有问题
现在是什么
重点在这里了
我们来看看这个P 1在这个过程当中做功是多少
注意
我们说是P 1作用了以后去叠加P 2
也就是说在P 2从零达到P 2的时候
这个P 1是不是始终在这作用着呀
是的
所以现在的P 1就相当于一个恒定的一个力
在这个位移上的做功
那这个时候这个位移在这基础上
又叠加了这个位移
跟它没关系只是跟谁呀P 2有关系
所以这个时候P 1从这儿到这儿的过程当中
始终是作用的
所以它的功应该是多少呢
就是P 1 δ 12
把它拆开以后P 1 P 2分别作用
一步一步做功我们写出来是这样
那它整个的这个做功是多少
应该三者的和
这就是我们分步分析的时候
这个时候梁里边的应变能
三者相加
和我们一开始看到的P1P2同时作用的时候
它的应变能我们讲应该是相同的
我们来比较一下两个式子
在这里1/2 P 1 δ 11
我们来看这里1/2 P 1 δ 11
所以这一项是怎么样的
我们可以看到相互的抵消了
这里有1/2 P 2 δ 22
我们看1/2 δ 22 P 2这一项怎么样呢
也相互抵消了剩下的是什么
我们可以看到这边剩下的是P 1 δ 12
而这边剩下的是什么
我们可以看到1/2 δ 12 P 1
而后这边剩下的这一项
加上1/2 δ 21 P 2
我们来看这一项和这一项
是吧
所以把它移过去就变成了什么
这就是我们看到的这个结果
应该是它移过去的话
两个相减就变成1/2 P 1 δ 12
等于1/2的什么
P 2 δ 21
大家都有1/2约掉
所以就变成P 1 δ 12 =P 2 δ 21
这个就是我们得到的功的互换定理
我们来看它说的是什么意思呢
这是什么
P 1在什么样的位移
在由于2位置作用力以后
在它这个地方产生的位移上的功
等于什么
等于可以看到第二个力在第一个力作用的时候
在2位置产生的位移上的功
这两个功是相等的
这就是功的互换定理
特别是
如果现在的P 1和P 2相等的话
我们可以看到P 1和P 2相等的话约掉
所以就有什么δ 12=δ 21
这就是位移互换定理
这就是我们今天一开始
让大家去查表求的那个悬壁梁
作用在这儿的力在这产生的挠度是多少
而后把力移到这儿来看这个位置的挠度是多少
发现是怎么样是不是相同的
没错为什么
互换定理已经说明了这个事情不是碰巧
它一定会有这样的一个关系
有关互换定理的证明我们就介绍到这里
谢谢大家
-1-1 材料力学的任务
--材料力学的任务
--第1-1节作业
-1-2 基本假设、内力、杆的基本变形
--第1-2节作业
-1-3 弹性杆受力的普遍情况与课程内容简介
-2-1 应力,轴力与轴力图,杆横截面上的正应力
--第2-1节作业
- 2-2 应变,杆斜截面上的应力
--第2-2节作业
- 2-3-1 材料的力学性能(一)
--第 2-3-1作业
- 2-3-2 材料的力学性能(二)
--第 2-3-2作业
-2-4-1 胡克定律、轴向变形和泊桑比
--第 2-4-1作业
-2-4-2 安全系数,许用应力,许用载荷
--第 2-4-2作业
-2-5-1 静不定(超静定)系统
--第 2-5-1作业
-2-5-2 静不定(超静定)系统(续)
--第 2-5-2节作业
-2-6 热应力和变形
--热应力和变形
--第 2-6节作业
-2-7 剪切和挤压
--剪切和挤压
--第 2-7节作业
-3-1 扭转,扭矩
--扭转,扭矩
--第 3-1节作业
- 3-2 剪应变,剪应力互等,剪切胡克定律
--第 3-2节作业
-3-3 受扭转构件横截面上的剪应力
--第 3-3节作业
- 3-4 扭转变形
--扭转变形
--第 3-4节作业
-3-5 扭转构件的设计 扭转静不定
--第 3-5节作业
-4-1 梁,平面弯曲,直接求解梁的内力
-4-2 剪力图和弯矩图及一些规律
--第 4-2节作业
-4-3 积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--第 4-3 节作业
-5-1 弯曲正应力
--弯曲正应力
--第 5-1节作业
-5-2 横截面关于中性轴的惯性矩
--第 5-2节作业
-5-3 梁的设计
--梁的设计
--第 5-3节作业
-5-4 弯曲剪应力
--弯曲剪应力
--第 5-4节作业
- 6-1 挠曲微分方程,边界条件
--第 6-1节作业
-6-2 积分法
--积分法
--第 6-2节作业
-6-3 静不定
--静不定
--第 6-3 节作业
-6-4 叠加法
--叠加法
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-6-5 简单静不定梁
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- 7-1 二向应力状态(薄壁压力容器)、三向应力状态
--第 7-1节作业
-7-2 平面应力变换
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--7-2 节作业
- 7-3 图解法-莫尔圆 广义胡克定律
--第 7-3节作业
-7-4 强度理论概述 断裂准则
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-7-5 屈服准则
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-7-6 莫尔强度理论
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- 8-1 关于两个主轴的弯曲
--第 8-1节作业
-8-2 拉压与弯曲的组合变形,直接剪力与扭转剪切的组合
--第 8-2节作业
-8-3 弹性设计
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-8-4 梁的弹性设计
--梁的弹性设计
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-8-5 轴的强度设计(弯扭组合)
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-8-6 提高梁抗弯能力的措施
--第 8-6节作业
-9-1 屈曲 细长压杆的临界压力
--第 9-1节作业
-9-2 欧拉公式的适用范围,临界应力与长细比,经验公式
--第 9-2节作业
-9-3 提高压杆稳定性的措施
--第 9-3节作业
-10-1. 冲击,动荷系数
--冲击,动荷系数
--第 10-1节作业
-10-2. 用动静法求应力和变形 冲击韧性
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- 11-1 交变应力、持久极限
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-11-2 影响持久极限的因素
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-11-3 疲劳强度
--疲劳强度
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-12-1 应变能
--应变能
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-12-2 互换定理
--互换定理
--第 12-2节作业
-12-3 卡氏定理,应用
--卡氏定理,应用
--第 12-3节作业
- 12-4 卡氏定理应用:虚构载荷法
--第 12-4节作业
- 12-5 虚功原理,单位载荷法,莫尔积分
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-12-6 图乘法
--图乘法
--第12-6节作业
- 13-1 静不定结构、正则方程(一次静不定)
--第 13-1节作业
- 13-2 正则方程(高次静不定系统)
--第 13-3 节作业
-13-3 利用对称性与反对称性分析静不定结构
--第 13-4节作业