当前课程知识点:材料力学 >  第十二章 能量法 >  12-2 互换定理  >  互换定理

返回《材料力学》慕课在线视频课程列表

互换定理在线视频

下一节:卡氏定理,应用

返回《材料力学》慕课在线视频列表

互换定理课程教案、知识点、字幕

各位同学大家好

今天我们来介绍互换定理

我们首先来看一个例子

这里呢有一个悬臂梁

在自由端作用P力

我们来求一求梁中点的挠度应该是多少

同样的这个梁

现在呢我们把这个集中力作用在中间截面位置处

而后来求一求自由端的挠度是多少

我们根据第六章的这个表6.1表

我们可以看到这种情况下

悬臂梁

梁上某一个位置作用集中力的时候

我们得到的它的挠度的表达式

是这两个式子所列出的情况

现在我们来看这种情况下相当于什么

我们可以看到相当于这个时候a是多少呢

a是l求中间截面位置x是多少呢

x是l/2

那就应该带这个0≤x≤a的这个表达式

我们看看应该是多少

这Fx2/6EI

x刚才说了这是什么

l/2所以这出来应该是什么

l2/4 l2/4的话4×6=24

3a a是l 3l减去x

x是l/2所以3-1/2

那就应该是多少 5/2

刚才我们看到这是什么24

1/24×5/2是多少5/48是吧

所以我们看到这种情况下的话

它应该是挠度的大小5Pl3/48EI

是吧

好了

那么我们看第二种情况

这个时候P力作用的位置是l/2

也就是说现在这个a是l/2

我们要求这点的挠度

是吧

这点的挠度我们可以看到它是什么

就可以按照这个式子来进行计算的

是吧

最大挠度不就自由端嘛

然后这时候(Fa^2)/6EI (3l-a)

这个力F我们讲就是P力了

这个时候写的a^2

a^2是多少a是l/2平方是1/4

4×6=24而后3l

3l减去a a是多少l/2又是多少

5/2 1/24再乘上5/2又是多少5/48

我们看到它们的大小是怎么样

是一样的这是巧合吗

我们接下来就来分析

发现并不是巧合

它一定会存在这样的关系

这个呢就是由互换定理来说明的

我们接下来就来说一说这个互换定律

它的前提条件

第一材料服从胡克定律

第二当然还是小变形的情况

我们以下面这个图所示的简支梁为例

来进行说明

如果简支梁在1位置作用有一个集中力是

P 1的话

也就A这个位置作用P 1的话

引起的1位置的挠度

我们给它记成δ 11

而后这个位置呢是什么位置呢

是2位置引起来的这个挠度是多少呢

我们给它记成δ 21

大家可以看到这个下标了啊

第二个下标是1表示力的作用的位置

第一个下标是表示的到底是这个位置的挠度

还是2位置的挠度

是吧

是指的位移的位置

现在呢还是这个梁现在在2位置

也就B截面位置的时候作用的集中力P 2

对应的就会产生相应的挠度

在这儿我们看到应该是什么

应该是δ 12

也就是说在2位置作用这个力

引起来的1位置的它的挠度

同样的在2位置

它的原位的这个挠度是多少呢

就是δ 22

如果两个力同时作用的话

那显然它们共同作用的结果

就应该等于它们单独作用结果的什么

叠加

是吧

因为什么我们讲了服从什么

胡克定律是线性系统所以满足叠加原理

叠加原理在力上面

我们又可以说是什么力的独立作用原理

是吧

共同作用的结果就等于单独作用结果的叠加

所以这种情况下

1处的挠度就是δ 11+δ 12

2处的挠度就等于δ 21+δ 22

这样的结果

在这种情况下我们说这是P 1

P 2它们共同作用了

那这个时候我们来看看应变能是多少

根据功能原理

我们知道P 1做功加上P 2做功

就是整个梁的什么 应变能

是吧

所以我们可以得到了

那这是1/2 P 1乘上这个引起的这个位置的

它的这个变形也就位移了

δ 11+δ 12

为什么呢

因为这个力是从零一直到P 1

那么它这点的挠度也是从零到了δ 11+δ 12

线性的关系

所以呢有一个1/2

这个是不能丢的线性关系

那同样的在这个位置

P 2做功呢我们可以看到1/2 (δ 21+δ 22 ) P 2

这时候我们看到P 1

P 2同时作用的时候

这两个力的做功全部转化成了应变能

我们刚才说了在力学上线性系统

你这个叠加原理又可以叫力的独立作用原理

本来是P1 P2同时作用

我们现在非得人为的认为是什么

说P 1先作用

而后再叠加上的P 2作用

那么我们来看看P 1先作用的时候

那么它的做功应该是多少

P 1作用的话

那在这儿2呢是没有力的

所以这种情况下只是P 1做功了

P 1从零到P 1的过程当中

那这点的位移也是从零到了δ 11

所以它的做功两者是线性关系的

所以它的做功1/2 δ 11 P 1

而后现在呢我们来开始要叠加P 2作用了

P 2在这个基础上叠加的

是吧

是在这个基础上

它已经有了这样变形的基础上

作用P 2以后又产生了这么样的一个挠度

对应的位置又有了这样的位移

在这个地方

我们可以看到它是从这儿开始往下又移了多少

又移了δ22

这个过程我们讲这个P 2从零增加到P 2的时候

作用的过程

那么这一点又位移了多少呢

位移了我们可以看到

δ 22

所以这个时候P 2做功应该是1/2 P 2 δ 22

没有问题

现在是什么

重点在这里了

我们来看看这个P 1在这个过程当中做功是多少

注意

我们说是P 1作用了以后去叠加P 2

也就是说在P 2从零达到P 2的时候

这个P 1是不是始终在这作用着呀

是的

所以现在的P 1就相当于一个恒定的一个力

在这个位移上的做功

那这个时候这个位移在这基础上

又叠加了这个位移

跟它没关系只是跟谁呀P 2有关系

所以这个时候P 1从这儿到这儿的过程当中

始终是作用的

所以它的功应该是多少呢

就是P 1 δ 12

把它拆开以后P 1 P 2分别作用

一步一步做功我们写出来是这样

那它整个的这个做功是多少

应该三者的和

这就是我们分步分析的时候

这个时候梁里边的应变能

三者相加

和我们一开始看到的P1P2同时作用的时候

它的应变能我们讲应该是相同的

我们来比较一下两个式子

在这里1/2 P 1 δ 11

我们来看这里1/2 P 1 δ 11

所以这一项是怎么样的

我们可以看到相互的抵消了

这里有1/2 P 2 δ 22

我们看1/2 δ 22 P 2这一项怎么样呢

也相互抵消了剩下的是什么

我们可以看到这边剩下的是P 1 δ 12

而这边剩下的是什么

我们可以看到1/2 δ 12 P 1

而后这边剩下的这一项

加上1/2 δ 21 P 2

我们来看这一项和这一项

是吧

所以把它移过去就变成了什么

这就是我们看到的这个结果

应该是它移过去的话

两个相减就变成1/2 P 1 δ 12

等于1/2的什么

P 2 δ 21

大家都有1/2约掉

所以就变成P 1 δ 12 =P 2 δ 21

这个就是我们得到的功的互换定理

我们来看它说的是什么意思呢

这是什么

P 1在什么样的位移

在由于2位置作用力以后

在它这个地方产生的位移上的功

等于什么

等于可以看到第二个力在第一个力作用的时候

在2位置产生的位移上的功

这两个功是相等的

这就是功的互换定理

特别是

如果现在的P 1和P 2相等的话

我们可以看到P 1和P 2相等的话约掉

所以就有什么δ 12=δ 21

这就是位移互换定理

这就是我们今天一开始

让大家去查表求的那个悬壁梁

作用在这儿的力在这产生的挠度是多少

而后把力移到这儿来看这个位置的挠度是多少

发现是怎么样是不是相同的

没错为什么

互换定理已经说明了这个事情不是碰巧

它一定会有这样的一个关系

有关互换定理的证明我们就介绍到这里

谢谢大家

材料力学课程列表:

第一章 绪论

-1-1 材料力学的任务

--材料力学的任务

--第1-1节作业

-1-2 基本假设、内力、杆的基本变形

--基本假设、内力、杆的基本变形

--第1-2节作业

-1-3 弹性杆受力的普遍情况与课程内容简介

--弹性杆受力的普遍情况与课程内容简介

--第1-3节思考题讨论

第二章 拉伸、压缩与剪切

-2-1 应力,轴力与轴力图,杆横截面上的正应力

-- 应力,轴力与轴力图,杆横截面上的正应力

--第2-1节作业

- 2-2 应变,杆斜截面上的应力

--应变,杆斜截面上的应力

--第2-2节作业

- 2-3-1 材料的力学性能(一)

--材料的力学性能(一)

--第 2-3-1作业

- 2-3-2 材料的力学性能(二)

--材料的力学性能(二)

--第 2-3-2作业

-2-4-1 胡克定律、轴向变形和泊桑比

--胡克定律、轴向变形和泊桑比

--第 2-4-1作业

-2-4-2 安全系数,许用应力,许用载荷

--安全系数,许用应力,许用载荷

--第 2-4-2作业

-2-5-1 静不定(超静定)系统

--静不定(超静定)系统

--第 2-5-1作业

-2-5-2 静不定(超静定)系统(续)

--静不定(超静定)系统(续)

--第 2-5-2节作业

-2-6 热应力和变形

--热应力和变形

--第 2-6节作业

-2-7 剪切和挤压

--剪切和挤压

--第 2-7节作业

第三章 扭转

-3-1 扭转,扭矩

--扭转,扭矩

--第 3-1节作业

- 3-2 剪应变,剪应力互等,剪切胡克定律

--剪应变,剪应力互等,剪切胡克定律

--第 3-2节作业

-3-3 受扭转构件横截面上的剪应力

--受扭转构件横截面上的剪应力

--第 3-3节作业

- 3-4 扭转变形

--扭转变形

--第 3-4节作业

-3-5 扭转构件的设计 扭转静不定

--扭转构件的设计 扭转静不定

--第 3-5节作业

第4章 弯曲内力

-4-1 梁,平面弯曲,直接求解梁的内力

--梁,平面弯曲,直接求解梁的内力

-4-2 剪力图和弯矩图及一些规律

--剪力图和弯矩图(一)

--剪力图和弯矩图(二)

--第 4-2节作业

-4-3 积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图

--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图

--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图

--第 4-3 节作业

第五章 弯曲应力

-5-1 弯曲正应力

--弯曲正应力

--第 5-1节作业

-5-2 横截面关于中性轴的惯性矩

--横截面关于中性轴的惯性矩

--第 5-2节作业

-5-3 梁的设计

--梁的设计

--第 5-3节作业

-5-4 弯曲剪应力

--弯曲剪应力

--第 5-4节作业

第六章 弯曲变形

- 6-1 挠曲微分方程,边界条件

--挠曲微分方程,边界条件

--第 6-1节作业

-6-2 积分法

--积分法

--第 6-2节作业

-6-3 静不定

--静不定

--第 6-3 节作业

-6-4 叠加法

--叠加法

--第 6-4节作业

-6-5 简单静不定梁

--简单静不定梁

--第 6-5节作业

第七章 应力状态分析及强度理论

- 7-1 二向应力状态(薄壁压力容器)、三向应力状态

--二向应力状态(薄壁压力容器)、三向应力状态

--第 7-1节作业

-7-2 平面应力变换

--平面应力变换

--7-2 节作业

- 7-3 图解法-莫尔圆 广义胡克定律

--图解法-莫尔圆 广义胡克定律

--第 7-3节作业

-7-4 强度理论概述 断裂准则

--强度理论概述 断裂准则

--第 7-4节作业

-7-5 屈服准则

--屈服准则

--第 7-5节作业

-7-6 莫尔强度理论

--莫尔强度理论

--第 7-6节作业

第八章 组合变形

- 8-1 关于两个主轴的弯曲

--关于两个主轴的弯曲

--第 8-1节作业

-8-2 拉压与弯曲的组合变形,直接剪力与扭转剪切的组合

--拉压与弯曲的组合变形,直接剪力与扭转剪切的组合

--第 8-2节作业

-8-3 弹性设计

--弹性设计

--第 8-3节作业

-8-4 梁的弹性设计

--梁的弹性设计

--第 8-4节作业

-8-5 轴的强度设计(弯扭组合)

--轴的强度设计

--第 8-5节作业

-8-6 提高梁抗弯能力的措施

--提高梁抗弯能力的措施

--第 8-6节作业

第九章 压杆稳定

-9-1 屈曲 细长压杆的临界压力

--屈曲 细长压杆的临界压力

--第 9-1节作业

-9-2 欧拉公式的适用范围,临界应力与长细比,经验公式

--欧拉公式的适用范围,临界应力与长细比,经验公式

--第 9-2节作业

-9-3 提高压杆稳定性的措施

--提高压杆稳定性的措施

--第 9-3节作业

第十章 动载荷

-10-1. 冲击,动荷系数

--冲击,动荷系数

--第 10-1节作业

-10-2. 用动静法求应力和变形 冲击韧性

--用动静法求应力和变形 冲击韧性

--第 10-2节作业

第十一章 交变应力

- 11-1 交变应力、持久极限

--交变应力、持久极限

--第 11-1节作业

-11-2 影响持久极限的因素

--影响持久极限的因素

--第 11-2节作业

-11-3 疲劳强度

--疲劳强度

--第 11-3节作业

第十二章 能量法

-12-1 应变能

--应变能

--第 12-1节作业

-12-2 互换定理

--互换定理

--第 12-2节作业

-12-3 卡氏定理,应用

--卡氏定理,应用

--第 12-3节作业

- 12-4 卡氏定理应用:虚构载荷法

--卡氏定理应用:虚构载荷法

--第 12-4节作业

- 12-5 虚功原理,单位载荷法,莫尔积分

--虚功原理,单位载荷法,莫尔积分

--第 12-5节作业

-12-6 图乘法

--图乘法

--第12-6节作业

第十三章 静不定结构

- 13-1 静不定结构、正则方程(一次静不定)

--静不定结构、正则方程(一次静不定)

--第 13-1节作业

- 13-2 正则方程(高次静不定系统)

-- 正则方程(高次静不定系统)

--第 13-3 节作业

-13-3 利用对称性与反对称性分析静不定结构

--利用对称性与反对称性分析静不定结构

--第 13-4节作业

互换定理笔记与讨论

也许你还感兴趣的课程:

© 柠檬大学-慕课导航 课程版权归原始院校所有,
本网站仅通过互联网进行慕课课程索引,不提供在线课程学习和视频,请同学们点击报名到课程提供网站进行学习。