二向应力状态（薄壁压力容器）、三向应力状态在线视频

各位同学大家好

从今天开始我们学习有关应力变换

和强度理论的有关内容

首先

是

二向应力状态和三向应力状态的一些实例

我们说我们在这个拉压杆的分析的时候

我们可以看到

拉压杆

轴向

受有轴力

横截面上只有正应力

但是当我们分析的截面

是一个斜截面的话

那么我们可以看到

在斜截面上

它还会有正应力

和剪应力

而且这个正应力剪应力的大小

会随着我们斜截面的方位不一样的话

而发生变化

试验还表明

有这样一种现象

对于某一类的材料而言

那么它破坏

可能是因为在构件里边

某一个面上

它

产生了最大的剪应力

这个最大剪应力

达到了一个临界值

只要达到这个

它开始破坏

所以呢

我们就要想到了

如果是同一类的这种材料的话

我们怎么能够找到

它

最大的这个剪应力

在什么地方

是吧

这是我们所关心的事情

因此

我们这一章首先要讨论一点的就是

不同截面上应力的变化

也就是所谓的应力变换

而后

给出屈服与断裂的准则

包括四种常见的强度理论

和莫尔强度理论

有关应力状态与应力张量

其实我们在第二章已经有介绍

那么我们来看一下

这个时候

我们好比说选定的一组

直角坐标系x y z

那么我们就会得到

一点的它的应力状态

也可以由这样的张量来表示这一点的应力状态

如果我们现在

用另外一组坐标系

来表示同一点的

它的应力状态的话

我们讲这就叫做什么

应力变换

所以应力变换

并不是指的一点的应力的状态

本身发生了变化

而是由于我们考察它的时候

选择的坐标不同

那你截出来的那个面的方位不同

所以在形式上

好像是发生了变化

本质没有改变

那这个就叫应力变换

那现在我们就来看一下

一些二向和三向应力状态的一些实例

对于二向应力状态

我们以薄壁压力容器

来做介绍

之前我们也说过

薄壁压力容器

就是指的什么

它的壁厚远远小于它的直径尺寸

如果它的壁厚是小于它内径尺寸的

1/10的话

那这样的

容器

我们就叫

薄壁容器

首先我们来看一下

圆筒形的

薄壁压力容器

好比说锅炉

是吧

那么这个时候呢

我们看到

它由于受到了

压力容器

压力容器嘛

那它肯定是有什么

是有内压的

我们为了要分析

它

这个

容器壁里的应力的话

现在呢

我们就在

横向

距离

一段的

L这么长的距离上

截出来这么一环

截出来

而且呢

不仅截出来这么一环

我们还

过它的这个直径的位置

我们又给它截掉了一半

显然这个

纵向面里

这个纵向面是过什么的呢

是

过直径的

或者讲是过轴线的这样一个纵向面

这个上面就会有力的作用

是吧

两边呢

压力容器（压力）都是向外的

是不是

你给它从中间截开了

当然彼此会有作用

所以这个地方会产生应力

我们给它记成σ1

而后截完了这个环呢

我们可以看到啊

你从这距离L这么远给它截出来的话

那你想压力容器当然对

两边的这个

底

也是有作用的

所以

那么在它的横截面上也会有力的作用

这个应力单位面积上的力

这个应力我们记成σ2

现在我们就要来看一看

这σ1和σ2应该是多少

另外我问大家一下

你觉得这两个应力

σ1和σ2谁大谁小啊

另外大家想一想

在夏天的时候

你

给车胎充气充的比较满的时候

天气又比较热

那你这个车胎轮胎

你充气充的多了

天气又热了

压力就大了

那车胎就很容易爆

我们不是说那外力

拿个刀啊

有个什么东西给它剌了

不是

就是由于

天气原因

内压比较大

这个时候轮胎爆的话

你觉得那个轮胎那个口子

是什么样的

是顺着轮胎这样的

还是这样

想一下

好

那现在我们来对它进行分析

我们来看这一半

这环的一半

好

那么我们

顺着轴线方向看过去

我们就看到就是这个图

这个时候我们考察的是什么

想考察的是这个

σ1

我们来看一下

显然这是什么

这都是作用在

这个上面的什么

内压

内压呢

我们记成小写的p

以

这个

半径方向

为0方向

而后

逆时针转过的角度

这是顺时针转过的角度

记为

θ

我们考察

dθ

所对应的这个弧长上面

所对应的力

应该是多大

好

内压是p

小写的p

它是指的单位面积上的受力

现在这个

一块面积有多少呢

别忘了我们截取的这个环的

宽度是多少啊

我们可以看到

是L

那这个面积我们近似的

就可以看成一个什么

一个矩形的面积

那这段弧长是多少呢

可以算出来

这是内径

内半径乘以什么

dθ

而后再乘上

这一段的长度

就是面积

所以在这一块上所作用的力的大小

就应该是什么

内压

乘以这个面积

就是

L乘上什么

r 乘以什么

d

θ

是吧

好啦

那它的方向呢

由于dθ取得足够小

所以它的方向我们认为都

近似是什么方向呢

就是这个θ角所决定的方向

我们要把整个这个东西一起考虑的话

这半个环一起考虑的话

那显然

这个容器在这里平衡

那这局部也应该是平衡的

所有的力

我们说在这个方向投影的代数和

应该是多少呢

我们来看这一块

它在这个方向投影的代数和显然应该乘以什么

再乘上

COSθ

那么它在整个这个内壁上

半个环内壁上

它的和是多少呢

显然

求和的话就意味着在这上什么样呢

进行积分

θ呢就应该从0

到π/2

而后呢

这是什么

是半个这么多

是这么多

另外这边还有一半呢

所以

就应该等于0到π/2的什么

double

是吧

它呢

力的方向是怎么样的呢

是往那边去的

而后这两个小面积上这个力呢

我们分别记成都是什么

都是P

因此有下面的这个式子

2倍的P就应该等于pLricosθdθ

是0到2分之π

那么这个积分很简单

不就cosθ积分吗

我们算出来就应该是2pr

i

l

2和2约掉了

那这个时候

我们就可以算出这个p是多大了

P就应该等于小写的p就是内压

乘以内半径在乘以l

我们再来看这一块面积是多少呢

这个长度

小的矩形截面

长度是多少

是l

这边高是多少呢

就是壁厚

所以p力

除以这块面积

按照平均值来算

我们就可以得到

这个σ1的表达式了

所以我们可以看到

把它代进去p r i l

除以Lδ

l约掉了

所以就变成了什么

r i δ

乘以

内压p

它是什么方向的

我们可以看到

它是怎么样

是不是这样转圈方向的

所以我们管它叫做什么

叫做环向应力

σ1

可以看到

是跟这个圆是相切的

所以是环向的应力

从这里我们可以看到

那壁厚和这个

径向尺寸相比的话

它是小量

所以

它是内压的很多倍

对吧

所以这个应力是比较大的

这是我们得到的环向应力的表达式

接下来

我们再来看看这个方向的应力应该是多少

我们来看这个图

那在这个截开以后

压力容器给它截开以后

我们可以看到

它在这个面上就是一个什么

这个面

就是这样的一个环面

那这个环面上

它的作用的应力都是多少呢

我们按平均值来算

就是什么

σ2

它跟谁平衡了呢

它是跟在容器的

底板这边

作用的内压的和

相抗衡

因此我们可以得到了

σ2

这个面积是多少呢

是

πri的平方

乘上内压

而后这个时候我们可以看到

截开以后它是一个圆环对吧

这圆环的面积是多少

π乘以外径的平方

外半径的平方减去内半径的平方

我们整理一下

π约掉

好啦上面是r i的平方

这个呢

就是

外半径加上内半径而后乘以什么

外半径减去内半径

平方差公式嘛

这个

外半径和内半径的差

显然就是这个压力容器它的壁厚

这里我们把它

就近似记成

两倍的内径

我们这样子的处理算出来的

这个σ2

显然是比实际所产生那个σ2要怎么样

要稍微大了一点点

我们这样的处理

说应该是怎么样

偏于保守的

为什么

比如说

我们不让它超过多少的话

好比说

不许超过

这个临界值

那你说实际的那个值是不是比它还要什么样

小一点

那就更不会超过了

所以我们说这样的处理是偏于安全

偏于保守的

因此我们可以看到

就应该等于

p r i/2δ

那这个时候可以看到

这是得到了是什么方向呢

这个方向

是沿着轴线方向的

我们就管它叫做轴向应力

刚才我们得到的那个环向应力

是什么

有这个2吗

没有

也就是说环向应力是轴向应力的多少啊

2倍

环向应力比较大

所以我们夏天看到你自行车的车胎

那个爆的时候那个口什么方向的

是吧

为什么呢

因为什么

口子为什么是这样

因为这个方向的应力是什么

是σ1

是比谁呀

是比这个σ2要大的

要大的

好

我们还看到一些压力容器是什么

好比说这个球形的薄壁的压力容器

跟刚才的分析是类似的

我们可以看到它在任意的这样的直径

你这样切过去的话

那大家都是一样的

是吧

所以σ1也好σ2也好

那么它都是怎么样

相同的

都是

pr/2δ

那这个时候我们来看它

这个

压力容器这个壁上的

它的这个应力状态

两个方向有什么

σ1和σ2

有的同学说了老师

你外壁的话

没有外边的这个作用

说可能是0的

说内壁的时候不是还有内压的吗

人怎么不算呢

刚才说了这r和δ比呢

是不是

它们不是一个量级

所以这个时候呢

相对于σ1和σ2而言

那么内压是比较小的

所以我们还是近似给它看成了

二向的应力状态

好

接下来我们就来算一个

这样的一个

圆筒型的薄壁压力容器

而后有内压的时候

那具体的这里面σ1和σ2应该是多少

好

封闭的圆筒压力容器

它的内径

外径近似都是r

我们记成是多少呢

都是

1m

也就是1000mm

它的壁厚呢

是10mm

内压0.8MPa

让我们来求求这时候在它的

壁里面产生的环向和轴向应力应该

分别是多少

没问题

刚才公式我们已经得出来了

是吧

直接代到公式里面算就是了

pr/δ

这是

环向应力

把这个0.8MPa代进来

这个r我们看到就是1m

而后底下δ呢

是10mm的话

变成米

10负三次方

算出多少

80MPa

那轴向应力呢

我们说是它的

一半是吧

那得出来多少

40MPa

所以我们看到它这个单元体

可以看到啊

这个方向是什么

环向应力是80MPa

轴向应力40MPa

这个单元体我们就画出来了

刚才是我们通过薄壁压力容器

来给大家介绍的这个实际的

工程里面我们看到的二向应力状态的情况

现在我们来看一看

三向应力状态的例子

我们说在工程实际里面也存在三向应力状态

你比如说我们做

材料的这个拉伸实验的话

低碳钢的拉伸实验的话

我们会看到最后的那个阶段

会出现叫什么

叫颈缩

那么在颈缩的这个地方

我们说

它就是处于

三向的拉的

应力状态

还有

你比如说

我们看到的那个

滚珠轴承

那这个滚珠

和你这个轴承圈

它们之间相互的接触的地方

我们说它就是处于

三向

压的应力状态

那么这就是

三向应力状态的

这样的例子

好

今天我们通过

分析压力容器

给大家介绍了工程实际当中的一些

二向应力状态

另外我们说工程实际当中也是存在有

三向应力状态的

是吧

比如说颈缩的阶段的情况

还有这个

滚珠在这个地方的

情况

都是三向应力状态

只不过是一个拉一个是压

另外我们还介绍了我们

为什么要进行应力变换

今天的内容就到这里

谢谢大家