当前课程知识点:材料力学 > 第十三章 静不定结构 > 13-3 利用对称性与反对称性分析静不定结构 > 利用对称性与反对称性分析静不定结构
各位同学大家好
今天我们来学习如何利用
对称性和反对称性分析静不定结构
我们首先来看一些概念
第一个我们来看所谓的对称结构
结合旁边这个图来看
所谓结构对称是指的结构的
每一杆件的它的几何尺寸所受到的约束
材料以及刚度关于某一个轴对称
我们说这个结构就是对称性的结构
看这个图我们可以看到
显然这个
门框式的结构我们可以看到
它关于中间这个轴线是对称的
两边的这个长度都是一样
两边的约束一样
材料是相同的
同时呢它的刚度
关于它也是对称的
那我们说这个结构就是对称性的结构
这是第一个方面
第二个方面
我们要说所谓的这个载荷对称
载荷对称是指的作用点
大小以及方向都是关于对称轴对称的
还是这个我们刚才所说的这个
对称性的结构
现在我们看到在左边这个位置
右边这个位置
作用了可以看到等值的
方向呢是对称的相反的
这样的大小呢都是m的这样的力偶
那这样的载荷我们就叫做对称性载荷
或者讲载荷是对称的
还有一种情况
我们要说的是反对称载荷
反对称载荷是指的作用点
大小是对称性的
但是方向是反对称性的
我们来看这个结构
还是一个对称性的结构
作用两个集中的力
一个是这个P力向下
一个P力向上
位置我们可以看到关于对称轴是对称的
大小是一样的
但是方向呢是反对称性的
那这样的载荷我们就叫做反对称载荷
对称性结构
载荷
对称性载荷
还有一种是叫什么
反对称性的载荷
我们要把这三点要搞清楚
接下来我们要说有关静不定问题
有两个特点
这两个特性是指的什么
首先第一个是指的对称性的结构承受的是对称性的载荷的话
在对称截面上的反对称内力就等于零
这是第一点
第二点
对称性的结构承受的反对称性载荷
那么在对称截面上的对称性内力就应该等于零
这时候可能就要问了
说什么是对称性内力
什么是反对称性内力
我们来看一下
这是构件
我们沿着某一个位置把这个构件一分为二
那这个时候截面上的内力我们来看一下
它会有什么
有轴力
还会有什么
我们可以看到有剪力
还有弯矩
在这个时候我们来看一下
关于这
谁是对称的
谁是反对称的
显然轴力
弯矩是对称性的
而这个剪力
我们看到它向下
它向上
所以剪力是反对称性的
好
按照我们在这说的这两点的性质来看
对称性的结构受有对称的载荷的话
那么在对称截面上
注意是在对称轴过的那个截面上
那这个时候反对称性的内力
就是我们所说的这个剪力
就应该是怎样的
是等于零的
而如果结构是对称的
但是它所承受的载荷是反对称性的话
那么在对称轴所截得那个面
就是对称截面上
对称性的内力等于零
也就是说弯矩和轴力应该是等于零的
换句话说
这个对称截面上它的内力是什么
只留有反对称性的内力
我们说只留有在这儿的
可以看到
剪力
如果我们记住静不定问题这两点特性的话
可以使得我们静不定结构的分析变得简便
下面我们来看例子
现在呢我们这呢有这样的一个圆环
那么这个圆环的半径呢是大写的R
作用了一对力
这一对力呢是沿着直径的方向作用的
可以看到
一上一下
一对拉力
这一对拉力的大小呢都是P
让我们来求求这个圆环里边
各个截面的弯矩应该是多少
已经知道这个圆环
它的抗弯刚度EI是一个常量
好
那我们来分析一下
大家来看看
首先我们来看看结构
它是一个圆环
粗细是一样
材料也一样
显然任何的一个直径线
都是圆环结构的一个对称轴
所以它是一个对称性的结构
没有问题
结构是对称的
我们再来看看它所受到的载荷
是一对什么
我们可以看到
就直径线的等值反向的拉力
那这个时候大家也就看到
载荷也是怎么样
也是对称的
那我们就要看了
那在对称的截面上
反对称的内力应该是零
也就是说只有对称性的内力存在
那这个时候这个对称大家说怎么选
有些同学说是这样吗
那这样截的话这个力怎么办啊
所以我们看到上下是怎么样的
是对称的
所以对称的截面在哪里呢
我们看到应该是横向的水平的这个直径线
也就是说CD截面是对称截面
CD轴是对称轴
好
那么我们把它截开
这个时候
按照我们刚才讲的那个特性
对称结构对称载荷
在对称的截面上只有对称性的内力
是吧
弯矩
轴力
我们分别记成M还有N
好
那现在我们来判断一下
它是几次静不定
如果我们没有认识到它是一个对称的
这样的一个情况的话
按照之前我们介绍的
好比说那个框架的
那么它截面上的内力的话
我们讲有轴力
有剪力
还有什么
有弯矩
三次静不定
但是现在这样
我们认识到它的对称性的话
我们看看它是几次静不定
好
这个时候我们看到它构成一个平面的力系
这是M
这是M
这是N
这是N
是什么
我们通过平衡条件
所有的力在竖直方向上投影代数和等于零
我们可以得到什么
N等于什么
就可以求出来了
N=P/2
这就求出来了
这是利用了平衡方程
我们还可以再利用什么平衡方程啊
这相当于平面里什么力系啊
我们可以看到是平行力系
两个独立平衡方程
是吧
那几个未知量啊
有的同学说
哎呦
这几个未知量啊
是三次静不定吗
刚才我们已经用了这个方向投影代数和等于零
已经求得了N=P/2
好
现在
好比说我们对C点取矩呢
能得到什么结果
我们可以看到这N对它取矩
这边C点的N没有了
没有矩
而后这个N对它有矩
是什么
顺时针的
上面这个P对它取矩是逆时针的
力臂呢是R
所以它们两个已经平衡掉了
得的结果是什么
M=M
那M是多大啊
不知道是吧
所以就剩下谁了
就剩下M不知道了
所以这是几次静不定
我们就看到变成了什么
一次静不定
好
既然是一次静不定
我们就把这个M作为多余的一个约束
把它就记为
X1
我们对它来进行分析
如果我们再注意一下的话
再观察一下的话
这半个圆环实际上又是关于谁对称的
我们可以看到关于A这个过直径的这个截面它也是对称的
也就是说左右它又是对称的
我们可以分析1/4圆环就可以了
那现在的问题是
我们分析1/4圆环的话
那这个时候
A截面这个地方的约束
相当于一个怎样的约束
由于对称
我们可以看到A截面它能不能转动
由于它是左右对称的
所以我们看到A截面既不能顺时针转
也不能逆时针转
是吧
所以呢
这个时候我们可以看到
它就相当于一个固定端的约束
分析1/4圆环
A截面相当于一个
固定端约束
那个面是不能转动的
好
分析这1/4圆环
问题是什么
问题是它的变形协调条件怎么来写
现在变成1/4圆环
A端固定
而后D端我们可以看到这里有一个集中力
就是N=P/2作用
还有呢
在D截面还有一个未知的这么一个弯矩作用M
我们管把它记成了X1
变形协调条件是怎样的
刚才我们是截得什么
是整个环
是看到了
是关于CD是怎么样
是对称的
那现在的D截面允许不允许它转动
上下对称
所以D截面必须保持水平
它也是不能转的
那如果光是这儿的N作用的话
我们看到这个D截面是可以让它有转角的
是吧
光是这M作用的话
这D截面也是可以有转角的
两者共同作用这一点
我们看到
由于对称性
所以D截面是不允许转动的
这就是变形协调条件
是由对称性得到的
下面我们就对它来进行一下分析
来求这X1是多少
好
首先我们来看看
在这个已知的这个力P/2
也就是轴力的作用下
那么这个里面
曲杆各个截面所产生的这个弯矩应该是多大
我们注意到它是曲杆
所以选用的坐标是极坐标
从D截面开始逆时针方向为正
作为正方向建立了这个θ坐标
这个时候我们来写一写
这个时候它的弯矩的表达
MP就应该等于
我们就可以看到应该是什么
P/2这是轴力
力臂是多少呢
借助刚才我们画出来的这个辅助线
我们可以看到是什么
点到作用线的垂直距离
作用线
P/2我们往上画出来的话可以看到这是力臂
是吧
点到作用线的垂直距离
这就是力臂
这是多少
我们可以看到这一段是R乘以cosθ
所以剩下的这一段
也就刚才这一段
就是多少呢
我们可以看到就是R乘以1-cosθ
所以P/2乘以R(1-cosθ)
这是什么
这是MP
我们把它记成正的
显然这个力让这个曲杆它的曲率是怎么样的
是增加的
越来越弯曲了
是吧
好
那我们现在要求这个时候由于这个N
也就P/2作为载荷的话
引起的它的这个截面的转角的话
那么按照单位载荷法
我们需要在这个地方再加上单位的力
由于是转角
所以我们加的是一个单位的力偶
那这个时候我们可以看到
M*可以看到应该是多少
就是1
它的方向呢应该是让它怎么样
往外的
让这个曲杆它的曲率是怎么样
是减小的
所以跟这个MP方向应该是反方向
所以它是负的
是-1
我们代到这个摩尔积分里面去
我们可以求得在P/2的作用下
这个D截面的转角应该是多少
注意到ds就应该是什么
应该是R乘以dθ
所以关于长度的积分就转变成关于θ的积分
对于1/4圆环我们可以看到角度
从0到π/2
把这个MP
M*代到这里面去
我们可以看到经过积分运算
得出来-PR^2/(2EI)×(π/2-1)
这个就是P/2作用在
D截面的轴力所引起的D截面的转角
同样
我们可以求出只在单位载荷作用的时候
D截面的转角应该是多少
这个时候
δ11按照摩尔积分我们可以看到
沿着整个长度进行积分
M*乘M*
除以EI
长度呢
我们可以看到R乘以dθ
所以关于长度的微分就转变成了关于θ的微分
R乘dθ
θ从0到π/2
积分的结果出来
πR/2EI
我们把这个△1p和δ11代到变形协调条件
也就是正则方程里去
我们就可以得出来X1应该等于
-∆1P/δ11
把两个结果代进去以后
得出来X1等于PR(1/2-1/π)
显然括号里面这一项是大于零的
说明X1的方向就是我们刚才假定的
往外的这样弯矩的方向
好
X1求出来
我们就好求这个圆环里面的各个截面它上面的弯矩的表达了
它由两部分构成
一部分是我们刚才求出来的这个
轴力引起来的这个弯矩MP
还有一部分是什么
我们说单位的弯矩引起来的
我们已经写出来了
那么现在这个方向作用的力到底是多大呢
是X1
所以就是单位的力偶作用引起来的
这个弯矩的X1倍
两个叠加以后
我们可以看到
这个时候
θ截面地方的
它的弯矩应该是
PR(1/π-cosθ/2)
这个弯矩的表达式我们就求出来了
求得它之后我们就可以怎么样了
就可以判断危险截面在哪里
相关的强度的这个分析就可以进行了
这个就为我们对于这个构件的设计
对于圆环的它的强度的校核提供了一个基础
那么我们可以看到
利用对称性与反对称性
可以使得静不定结构的求解
大大的简化了
请大家记住
对于一个对称性的结构
如果受有对称性的载荷的话
那么在对称的截面上
只有对称性的内力
也就是说弯矩和轴力存在
反对称性的内力就不存在
就是零
而如果对于对称性的结构
作用了反对称性的载荷的话
那么在对称的截面上就只出现反对称性的内力
也就是说剪力存在
那对称性的内力就是零
也就是说在对称的截面上弯矩和轴力是零
有关利用对称性与反对称性
分析静不定结构的内容就介绍到这里
谢谢大家
有关利用对称性与反对称性分析静不定结构的内容就介绍到这里
-1-1 材料力学的任务
--材料力学的任务
--第1-1节作业
-1-2 基本假设、内力、杆的基本变形
--第1-2节作业
-1-3 弹性杆受力的普遍情况与课程内容简介
-2-1 应力,轴力与轴力图,杆横截面上的正应力
--第2-1节作业
- 2-2 应变,杆斜截面上的应力
--第2-2节作业
- 2-3-1 材料的力学性能(一)
--第 2-3-1作业
- 2-3-2 材料的力学性能(二)
--第 2-3-2作业
-2-4-1 胡克定律、轴向变形和泊桑比
--第 2-4-1作业
-2-4-2 安全系数,许用应力,许用载荷
--第 2-4-2作业
-2-5-1 静不定(超静定)系统
--第 2-5-1作业
-2-5-2 静不定(超静定)系统(续)
--第 2-5-2节作业
-2-6 热应力和变形
--热应力和变形
--第 2-6节作业
-2-7 剪切和挤压
--剪切和挤压
--第 2-7节作业
-3-1 扭转,扭矩
--扭转,扭矩
--第 3-1节作业
- 3-2 剪应变,剪应力互等,剪切胡克定律
--第 3-2节作业
-3-3 受扭转构件横截面上的剪应力
--第 3-3节作业
- 3-4 扭转变形
--扭转变形
--第 3-4节作业
-3-5 扭转构件的设计 扭转静不定
--第 3-5节作业
-4-1 梁,平面弯曲,直接求解梁的内力
-4-2 剪力图和弯矩图及一些规律
--第 4-2节作业
-4-3 积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--第 4-3 节作业
-5-1 弯曲正应力
--弯曲正应力
--第 5-1节作业
-5-2 横截面关于中性轴的惯性矩
--第 5-2节作业
-5-3 梁的设计
--梁的设计
--第 5-3节作业
-5-4 弯曲剪应力
--弯曲剪应力
--第 5-4节作业
- 6-1 挠曲微分方程,边界条件
--第 6-1节作业
-6-2 积分法
--积分法
--第 6-2节作业
-6-3 静不定
--静不定
--第 6-3 节作业
-6-4 叠加法
--叠加法
--第 6-4节作业
-6-5 简单静不定梁
--简单静不定梁
--第 6-5节作业
- 7-1 二向应力状态(薄壁压力容器)、三向应力状态
--第 7-1节作业
-7-2 平面应力变换
--平面应力变换
--7-2 节作业
- 7-3 图解法-莫尔圆 广义胡克定律
--第 7-3节作业
-7-4 强度理论概述 断裂准则
--第 7-4节作业
-7-5 屈服准则
--屈服准则
--第 7-5节作业
-7-6 莫尔强度理论
--莫尔强度理论
--第 7-6节作业
- 8-1 关于两个主轴的弯曲
--第 8-1节作业
-8-2 拉压与弯曲的组合变形,直接剪力与扭转剪切的组合
--第 8-2节作业
-8-3 弹性设计
--弹性设计
--第 8-3节作业
-8-4 梁的弹性设计
--梁的弹性设计
--第 8-4节作业
-8-5 轴的强度设计(弯扭组合)
--轴的强度设计
--第 8-5节作业
-8-6 提高梁抗弯能力的措施
--第 8-6节作业
-9-1 屈曲 细长压杆的临界压力
--第 9-1节作业
-9-2 欧拉公式的适用范围,临界应力与长细比,经验公式
--第 9-2节作业
-9-3 提高压杆稳定性的措施
--第 9-3节作业
-10-1. 冲击,动荷系数
--冲击,动荷系数
--第 10-1节作业
-10-2. 用动静法求应力和变形 冲击韧性
--第 10-2节作业
- 11-1 交变应力、持久极限
--第 11-1节作业
-11-2 影响持久极限的因素
--第 11-2节作业
-11-3 疲劳强度
--疲劳强度
--第 11-3节作业
-12-1 应变能
--应变能
--第 12-1节作业
-12-2 互换定理
--互换定理
--第 12-2节作业
-12-3 卡氏定理,应用
--卡氏定理,应用
--第 12-3节作业
- 12-4 卡氏定理应用:虚构载荷法
--第 12-4节作业
- 12-5 虚功原理,单位载荷法,莫尔积分
--第 12-5节作业
-12-6 图乘法
--图乘法
--第12-6节作业
- 13-1 静不定结构、正则方程(一次静不定)
--第 13-1节作业
- 13-2 正则方程(高次静不定系统)
--第 13-3 节作业
-13-3 利用对称性与反对称性分析静不定结构
--第 13-4节作业