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下一节:互换定理

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应变能课程教案、知识点、字幕

各位同学大家好

从今天开始我们来学习有关能量法

首先是学习构件的应变能的计算

首先我们来看轴向拉伸或压缩的情况

现在我们有一杆

上端固定下端自由

但是在自由端沿着轴线方向

作用有一个集中力P

就考虑这个P1的做功

如果我们注意到这构件它受力以后

它会随之产生了相应的变形的话

这是它的这个拉伸的这样的一个曲线的话

我们可以看在P力的时候对应的它的变形

我们可以看到是这个δ

在这个位置的时候

我们可以看到这个P力做功就应该是怎么样

是在一个小的位移上做了一个元功

那么这个元功呢

我们可以看到就应该是等于P1 dδ1

整个这个拉伸的过程做功是多少呢

我们就需要整个的沿着它变形的过程进行求和

也就是进行积分

所以这个时候它的变形就从零到了多少

到了δ

这就是我们现在的这个P力的这个做功的情况

这个做功全部转变了成什么

杆的它的应变能全部由杆来吸收

因此这个功能原理我们可以得到了这杆的应变能

我们记成V

底下写上ε就表示的应变的情况

就应该等于W就应该等于

我们可以看到

P1 dδ1而后整个变形的过程的这个积分

我们说如果材料它是线弹性的话

也就是说服从胡克定律的话

可以看到

这个受力和它的这个变形之间的

这个关系是一个线性的这样的关系

那这个时候我们可以得到了

这个应变能就应该等于Pδ/2

我们也可以通过积分的几何意义来对它进行说明

显然积分的几何意义就是指的

这条线和X轴所包围的面积线性关系的话

那我们可以看到这个面积是多少啊

到P的时候对应产生的这个变形量是δ

所以这一块面积就是Pδ/2

是吧

就应该是它应变能

我们注意到变形和受力的关系

拉压杆这轴力乘以长度比上拉压刚度

等于它的话

那这个时候我们又可以有下面的这样的式子了

这个应变能就应该等于什么呢

我们把这个δ带进去

这是不是就有P^2了所以Vε=P^2×L/(2EA)

那么如果我们再注意到

它的这个变形的情况的话

也就是说这个变形也可以什么

这个P力也可以由变形来表示

也就是P=EAδ/L带进去的话

那么这个应变能又可以写成Vε=EA×δ^2/(2L)

一个是按照轴力表示的

一个是按照变形表示的

两个式子都是等效的都是可以的

下面我们来看一下变截面的直杆

变截面就意味着它的截面的什么

尺寸是在改变的

所以它的横截面面积也是在变化的

为了对它进行分析

我们在x位置的时候截取了一个微元

也就是截取了dx这么一小段

由于dx我们取得足够小

因此两边的面积我们认为都是近似为是多少呢

是Ax同样的由于dx足够小

两边的轴力我们认为也都近似是相同的

都是N(x)

所以就相当于这么一小段的

一个等值杆的应变能的问题

那这个时候我们就可以看到

应该是轴力

它是截面位置的函数

现在是N(x)

那么平方乘以这一段的长度

是吧

是dx

比上两倍的在这个时候的

这个小等直梁的它的这个截面的拉压刚度

这个横截面积现在是x的函数应该是它

那这时候我们算出来的这个应变能

是多少长度上的应变能啊

是这个dx这个微段上的一个应变能

那对于整个构件而言呢

所以应该是每一段每一段怎么样

进行计算以后给它求和

求和的意思是什么我们讲不就积分嘛

所以我们可以看到

对于变截面的这个直杆而言它拉压的时候

那它的应变能的计算公式就是它了就是它了

那接下来我们来介绍应变能密度的概念

其实有关应变能密度

我们在讲强度理论的时候已经给大家说了一点

是吧

现在我们来看一下

就是指的单位体积里的应变能是多少

就叫做应变能密度对于拉压杆而言

我们来看到它应变能除以它的体积

横截面积乘以长度就等于什么呢

我们可以看到应变能是等于N^2/(2E×A^2)

除以L

L约掉了又除以了A那不就A的平方嘛

那么如果我们注意到变形

与这个轴力的关系的话

那么δ=NL/EA

所以这个N我们也可以用δ来表示

把这个关系换过来的话

那么我们也可以得到了这个应变能密度

也可以由变形来进行计算

这个呢是由轴力来进行的计算

那么我们注意到这里N/A它们的平方

这是什么N/A是什么

横截面上的什么正应力

所以应变能密度又等于σ^2/(2E)

那在这个式子里边

我们可以看到变形量比上杆的长度

这是什么这是应变

所以这个式子又可以写成E×ε^2/2

应变能密度就这样计算就可以了

接下来我们来看一下

这个杆件受到扭转作用以后的

它的应变能应该怎么样来计算

也就是轴的应变能我们在拉压杆的时候

我们讲通过功能原理是吧

我们知道这个Vε=W=Pδ/2

是吧

那么我们如果把这个轴力记成一个广义的力的话

这个δ呢记成一个什么

看成一个广义的变形的话

对于受扭转的话

那它的广义力就是谁啦

就是扭矩对应的变形也就是扭转角

所以我们用T和φ分别代表这里的轴力

和这个变形量的话

我们就可以得到轴的应变能的计算公式

那么类似的我们也可以得到这样的结果

大家跟这个拉压杆的时候它的应变能的计算公式

我们讲还可以写成什么

Vε=N^2×L/(2EA)

我们对比一下

也可以看到这是什么

这是拉压时候的内力是轴力

扭转时候的内力是谁呀是扭矩

是吧

平方长度还是在这二倍还是二倍那这个是什么

我们看到EA是拉压时候杆的刚度那这个呢

GIp是什么是扭转时候的它这个轴的刚度

所以都是有这样的对应关系都是一样的

这是我们讲的扭转时候的它的应变能的计算

同样的对于变截面直轴而言由于截面尺寸变化

因此极惯性矩也就是随着截面位置所变化

就是截面位置x的函数

那有可能这个截面上的它的扭矩

也是截面的位置的函数

也是x的函数

那么我们取了dx那么一段的话

那么我们讲它的应变能我们可以算出来应该是什么

2GIp 分之[T(x)]^2/ dx

那这个是多少长的这个轴的它的应变能呢

我们说的是dx这么长的

那对于整个轴而言呢

我们讲就应该是什么

就应该一段一段的求和了

求和是什么就是积分

所以我们可以看到变截面的这个轴的话

那它的应变能就应该按照这个公式来进行计算

进行积分

沿着整个的轴的长度积分就可以了

同样的如果这时候杆子细长的这种杆子

它是受到了什么弯曲的作用也就是说是梁的话

我们来看看它的应变能应该怎么样来计算

类似于我们对于轴的应变能的分析一样

这个时候对应的它的广义力就是什么

就是截面上的弯矩

对应的这个弯矩的这个位移这个变形就是什么

截面这个转动的这个角度θ用它比照谁呀

比照我们拉压杆时候的轴力那个

还有拉压时候的它的变形的情况

那么这个时候梁的应变能我们也可以写出来了

就应该是等于Mθ/2

或者我们写成M^2×L/(2EI)

那这是什么

我们可以看到这是梁的弯曲刚度

这是梁截面上的内力

所以都是你看两倍的刚度

这是什么内力的平方乘以构件的长度

都是这样的一个类似的表达式

对于变截面弯曲的梁而言

也是一样这样的类似的处理

我们可以取一个微段

可以算这个微段的弯曲的时候应变能

那对于整个梁而言那就要求和

求和就是什么就是积分

沿着整个梁进行积分就可以了

这是我们讲的梁弯曲时候的应变能的计算

而一般的情况

我们说它可能同时会受到有什么

有轴力有拉压的问题

还有什么受到可以看到有什么

扭矩还有扭转的问题

还会有什么弯矩弯曲的问题

所以它可能是拉压

扭转以及弯曲的一个组合变形的情况

那这时候应变能的一般的表示应该是怎样的

我们说材料如果依然是线弹性的话

也就是说它是一个线性系统

当然我们可以通过叠加原理

来对它的应变能来进行计算

是吧

首先呢是拉压时候应变能

而后我们叠加上扭转时候的应变能

再叠加上弯曲时候的应变能

所以这样共同作用的时候

它们的应变能我们就可以求出来了

这是一个微段上的应变能

整个的梁

或者讲整个构件它的应变能就应该是

在这个基础上进行求和

求和呢就是沿着整个构件的长度应该是怎么样

进行积分

三项叠加起来进行计算就可以了

这个就是我们今天给大家介绍的弹性构件

主要是我们讲的材料力学针对的是细长构件

那么它的应变能如何进行计算

很好

记这个公式你只要记住这底下这是什么

对应的都是各种变形情况下的构件的刚度

这个呢都是指的对应的变形的截面上的它的什么内力

那对应这关系不就有了嘛

别忘了这还有一个什么1/2

沿着整个长度进行积分进行求和

我们讲这个应变能就算出来了

有关构件应变能的计算我们就介绍到这里

谢谢大家

材料力学课程列表:

第一章 绪论

-1-1 材料力学的任务

--材料力学的任务

--第1-1节作业

-1-2 基本假设、内力、杆的基本变形

--基本假设、内力、杆的基本变形

--第1-2节作业

-1-3 弹性杆受力的普遍情况与课程内容简介

--弹性杆受力的普遍情况与课程内容简介

--第1-3节思考题讨论

第二章 拉伸、压缩与剪切

-2-1 应力,轴力与轴力图,杆横截面上的正应力

-- 应力,轴力与轴力图,杆横截面上的正应力

--第2-1节作业

- 2-2 应变,杆斜截面上的应力

--应变,杆斜截面上的应力

--第2-2节作业

- 2-3-1 材料的力学性能(一)

--材料的力学性能(一)

--第 2-3-1作业

- 2-3-2 材料的力学性能(二)

--材料的力学性能(二)

--第 2-3-2作业

-2-4-1 胡克定律、轴向变形和泊桑比

--胡克定律、轴向变形和泊桑比

--第 2-4-1作业

-2-4-2 安全系数,许用应力,许用载荷

--安全系数,许用应力,许用载荷

--第 2-4-2作业

-2-5-1 静不定(超静定)系统

--静不定(超静定)系统

--第 2-5-1作业

-2-5-2 静不定(超静定)系统(续)

--静不定(超静定)系统(续)

--第 2-5-2节作业

-2-6 热应力和变形

--热应力和变形

--第 2-6节作业

-2-7 剪切和挤压

--剪切和挤压

--第 2-7节作业

第三章 扭转

-3-1 扭转,扭矩

--扭转,扭矩

--第 3-1节作业

- 3-2 剪应变,剪应力互等,剪切胡克定律

--剪应变,剪应力互等,剪切胡克定律

--第 3-2节作业

-3-3 受扭转构件横截面上的剪应力

--受扭转构件横截面上的剪应力

--第 3-3节作业

- 3-4 扭转变形

--扭转变形

--第 3-4节作业

-3-5 扭转构件的设计 扭转静不定

--扭转构件的设计 扭转静不定

--第 3-5节作业

第4章 弯曲内力

-4-1 梁,平面弯曲,直接求解梁的内力

--梁,平面弯曲,直接求解梁的内力

-4-2 剪力图和弯矩图及一些规律

--剪力图和弯矩图(一)

--剪力图和弯矩图(二)

--第 4-2节作业

-4-3 积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图

--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图

--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图

--第 4-3 节作业

第五章 弯曲应力

-5-1 弯曲正应力

--弯曲正应力

--第 5-1节作业

-5-2 横截面关于中性轴的惯性矩

--横截面关于中性轴的惯性矩

--第 5-2节作业

-5-3 梁的设计

--梁的设计

--第 5-3节作业

-5-4 弯曲剪应力

--弯曲剪应力

--第 5-4节作业

第六章 弯曲变形

- 6-1 挠曲微分方程,边界条件

--挠曲微分方程,边界条件

--第 6-1节作业

-6-2 积分法

--积分法

--第 6-2节作业

-6-3 静不定

--静不定

--第 6-3 节作业

-6-4 叠加法

--叠加法

--第 6-4节作业

-6-5 简单静不定梁

--简单静不定梁

--第 6-5节作业

第七章 应力状态分析及强度理论

- 7-1 二向应力状态(薄壁压力容器)、三向应力状态

--二向应力状态(薄壁压力容器)、三向应力状态

--第 7-1节作业

-7-2 平面应力变换

--平面应力变换

--7-2 节作业

- 7-3 图解法-莫尔圆 广义胡克定律

--图解法-莫尔圆 广义胡克定律

--第 7-3节作业

-7-4 强度理论概述 断裂准则

--强度理论概述 断裂准则

--第 7-4节作业

-7-5 屈服准则

--屈服准则

--第 7-5节作业

-7-6 莫尔强度理论

--莫尔强度理论

--第 7-6节作业

第八章 组合变形

- 8-1 关于两个主轴的弯曲

--关于两个主轴的弯曲

--第 8-1节作业

-8-2 拉压与弯曲的组合变形,直接剪力与扭转剪切的组合

--拉压与弯曲的组合变形,直接剪力与扭转剪切的组合

--第 8-2节作业

-8-3 弹性设计

--弹性设计

--第 8-3节作业

-8-4 梁的弹性设计

--梁的弹性设计

--第 8-4节作业

-8-5 轴的强度设计(弯扭组合)

--轴的强度设计

--第 8-5节作业

-8-6 提高梁抗弯能力的措施

--提高梁抗弯能力的措施

--第 8-6节作业

第九章 压杆稳定

-9-1 屈曲 细长压杆的临界压力

--屈曲 细长压杆的临界压力

--第 9-1节作业

-9-2 欧拉公式的适用范围,临界应力与长细比,经验公式

--欧拉公式的适用范围,临界应力与长细比,经验公式

--第 9-2节作业

-9-3 提高压杆稳定性的措施

--提高压杆稳定性的措施

--第 9-3节作业

第十章 动载荷

-10-1. 冲击,动荷系数

--冲击,动荷系数

--第 10-1节作业

-10-2. 用动静法求应力和变形 冲击韧性

--用动静法求应力和变形 冲击韧性

--第 10-2节作业

第十一章 交变应力

- 11-1 交变应力、持久极限

--交变应力、持久极限

--第 11-1节作业

-11-2 影响持久极限的因素

--影响持久极限的因素

--第 11-2节作业

-11-3 疲劳强度

--疲劳强度

--第 11-3节作业

第十二章 能量法

-12-1 应变能

--应变能

--第 12-1节作业

-12-2 互换定理

--互换定理

--第 12-2节作业

-12-3 卡氏定理,应用

--卡氏定理,应用

--第 12-3节作业

- 12-4 卡氏定理应用:虚构载荷法

--卡氏定理应用:虚构载荷法

--第 12-4节作业

- 12-5 虚功原理,单位载荷法,莫尔积分

--虚功原理,单位载荷法,莫尔积分

--第 12-5节作业

-12-6 图乘法

--图乘法

--第12-6节作业

第十三章 静不定结构

- 13-1 静不定结构、正则方程(一次静不定)

--静不定结构、正则方程(一次静不定)

--第 13-1节作业

- 13-2 正则方程(高次静不定系统)

-- 正则方程(高次静不定系统)

--第 13-3 节作业

-13-3 利用对称性与反对称性分析静不定结构

--利用对称性与反对称性分析静不定结构

--第 13-4节作业

应变能笔记与讨论

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