积分法在线视频

各位同学大家好

现在我们来看一些

用积分法计算的梁的变形的例题

我们在上一讲的时候我们已经得到了

梁的挠曲微分方程

包括以弯矩表示的

以及以剪力表示的

和以分布载荷表示的情况

特别是在梁的弯曲刚度是常数的时候

方程又可以写成这样的形式

我们还讨论了相应的常见的一些边界条件

固定端定铰支座或辊轴支座

以及自由端的时候相应的边界条件

现在我们就来看一些例题

我们先来看第一个例子

现在我们有一个悬臂梁

它的长是L

自由端作用一个垂直向下的集中力P

知道梁的弯曲刚度是常量

是EI

要来分析梁的挠曲线方程应该是怎样的

我们说可以使用

以弯矩来表示的挠曲微分方程

既然是以弯矩来表示的

所以我们首先要知道梁在某一个位置处

比如说x截面上它的弯矩应该是多少

我们以左端固定端为原点

沿着轴线方向

是x方向建立坐标

这个时候我们可以看到

在这样的集中力作用下

它梁的挠曲线实际上应该是

这样的一条曲线

当然画的夸张了一些

就像什么就像跳水跳板运动员

他的那个板踩了以后变形的情况

现在我来看看x截面这个地方

它的弯矩应该是多少

我们可以从这儿截起来这个梁

这边的约束反力不知道没关系

我们截了以后研究它的右半段

外力

这里有载荷P

还有呢

这个长度

由于截出来研究的右半段

所以这个长度是什么呢

是l-x

这里的弯矩我们可以求出来

应该是多少呢

对它取矩很快可以得到了

M(x)应该等于-P乘以力臂l-x

展开来就变成Px-Pl

好了弯矩有了

我们直接给它带到挠曲微分方程里面去d2 w/dx2 =M/EI

就是它

我们也可以写成这样的形式

把EI乘成过来EIw''=Px-Pl

接下来就是对这个微分方程的求解

我们说就可以直接用积分

来得到这个w的表达式了

连续积分两次

积分一次平方可以看到这是1/2

而后这呢就是x加上一个积分常数

在这个基础上再积分一次

这下来我们可以看到二三得六

这里呢我们可以看到

二下来是吧

这个Cx再加一个积分常数D

下面这两个积分常数C和D

我们就要根据边界条件来确定

我们来看

在截面A的地方它是固定住的

也就是说x=0的时候

它的挠度应该等于0

截面的转角等于0

所以我们就可以看到x=0

我们可以看到这是什么

w1'表示了它截面转角的大小

带进去等于0

我们可以看到C=0

挠度等于0在这里面

w挠度

x=0这些项都是0我们看到D=0

这就是我们所说的边界条件应用得到的

确定出来的这两个积分常数

这样我们就得到了挠度的表达式

也就是说挠曲线应该是这样的一个情况

那么我们把它整理一下

提出公因子

所以就得到了这样的结果

这里是负

注意到这 肯定是大于等于0的

P、6、EI也都是大于0的

而括号这一项呢

x只在0到L之间

所以括号这一项也是大于0的

负的正数说明什么

说明它是一个真正的负

也就意味着挠度

各点的挠度是向下的

各个点

轴上各个点它的位移都是向下的

除非这一点

那一点是等于0

同样的我们看到了各个截面它的转角的情况

同样提出公因子

我们可以看到

它也是一个负的

所以我们看到

各个截面都是怎么样的发生了转动

是逆时针还是顺时针呢

我们讲曲线它的斜率如果是负的话

就意味它斜率是这样的

是顺时针的

所以它是顺时针转过了相应的角度

它的变形的情况我们就得到了

这个时候我们很容易地就能够看出来

在x=L的时候

那么它有最大的挠度

对应的它有最大的截面的转角

x=L我们可以看到

它的最大的挠度PL^3/3El

对应的这时候自由端的最大的转角PL^2/EI

这个就是我们分析的一个悬臂梁

在自由端作用有集中力的时候它的变形的情况

接下来我们来看第二个例子

现在呢我们可以看到这是一个简支梁

上面作用了均匀向下的大小是w0的

这样的分布的载荷

整个梁它的弯曲刚度是不变的是一个常数

要求我们

第一用二阶挠曲线微分方程来进行求解

第二利用四阶的挠曲微分方程来进行求解

首先我们来看看第一问用二阶的

也就是说以弯矩来表示的挠曲微分方程

来对它进行分析

首先就是说我们要求出

x截面位置处的它的弯矩的表达式

这里我们可以看到是原点

而后轴线方向是x方向

而后这个方向我们讲是y方向

也是挠度的方向正方向

我们很快的利用对称性我们可以看到

这一点的约束反力应该是多少啊

可以看到应该等于w0l/2

那我们就可以用截面法

比如说从这儿截出来研究左半段的话

很快可以得出来

这个面上的它的弯矩应该等于多少啊

可以看到应该等于w0l/2乘以这个是什么x

而后减去这个w0乘以它的和 乘以这个x

作用点呢应该是这一半的地方

所以是w0 x2/2

这样我们讲这个Mx弯矩的表达式

我们就求出来了

把它带到挠曲微分方程里面去

我们可以得到了这样的结果

在这基础上我们连续积分两次

在这儿平方下来所以是4

在这儿呢三次所以二三得六

加上一个积分常数

在这呢再积分一次三四一十二

而后在这儿呢四六二十四

我们可以看到C3x而后再加一个积分常数C4

现在我们就要来确定这两个C3、C4积分常数

这时候大家想一下

按照我们之前讨论的

说边界条件一边应该有两个呀

是吧这不是简支的吗

一边有两个

而在这儿呢只有两个积分常数需要确定

那我们这时候

有的同学就犯嘀咕了

哎这怎么办呢

其实如果我们注意的话它的边界条件

一个是有关挠度等于0

还一个是什么弯矩等于0

这个时候我们看到这个弯矩等于0

看看这个弯矩的表达式

是不是已经用掉了自然满足的

这边这个呢也是一样

所以就剩下了什么

两边的几何的边界条件

也就是x等于0和x等于L的时候

它挠度等于0

那个力的关于弯矩的那个边界条件

我们讲这个式子已经满足了

所以那两个现在不起作用

两个几何边界条件起作用

所以我们可以确定这两个积分常数

那么代进去以后

我们可以看到C4应该等于0

那么在x等于L的时候

它的挠度应该等于0

所以就是这个式子

由此我们可以算出来C3应该是多少

这样一来

它的这个挠曲线方程我们就得到了

对应的各个截面转角的方程也得到了

那现在问大家除了刚才我们利用了

说在右端的时候

它挠度也应该等于0这个边界条件

我们还可以用什么样的条件来确定C3呢

我们注意到它是什么呀

它是一个对称的情况

关于中间截面是对称的

我们很容易就想到

它的最大的挠度应该在哪里呢

就在中间截面

那这个时候你想想

它有最大的挠度

那挠度的一次导数

也就是截面的转角应该怎么样的

就应该等于0是吧

我们还可以利用这样的一个条件

来确定这个C3这个积分常数

那么我们可以看到EIw'

就是指的这个转角在L/2的时候

梁的中间位置的时候

它应该怎么样应该等于0

它等于0挠度有最大值是吧

依然我们可以通过这个式子

来确定出C3是多少啊

跟刚才的结果我们可以看到它是一样的

都是可以的

我们把根据这个式子

根据这等于0的时候也就x=L/2的时候

代到这个挠曲线的表达式

我们可以求得中间截面位置时候的最大挠度5w0l的4次方/384EI

384EI分之5w0l的4次方

可以确定出来

我们还可以画出它的这个挠曲线应该是什么样

同样的我们也可以画出

同样的我们也可以画出

各个截面的转角它的变化的情况

各个不同的截面它对应的转角有多大

我们可以看到对称

两端它的转角的大小是一样的

一负一正说明什么

你想的那个挠曲线

是吧

那个梁变形成了这样

这边的转角和这边转角大小一样

但是一个是什么

一个是顺时针的

一个是逆时针的

所以我们可以看到顺时针左边

逆时针右端

一正一负

这是我们画出来的

它的这个转角的这个变化的曲线

接下来我们来看

用四阶的挠曲微分方程进行求解的情况

EI挠度关于x的四次导数

我们可以看到就应该等于分布载荷

注意注意

现在的这个均匀分布的载荷w0

它的方向是怎么样是向下的

按着q的正负的规定

它是负的

所以这个负号你要丢掉的话

那你后面的分析也就出问题了

所以这个负号千万不要丢了啊

一定要有这个负号

那么问题接下来我们就要进行积分啦

在这基础上积分一次得到这个结果

再积分一次我们可以看到啊

就得到这个结果

多项式积分很容易

好啦

我们现在呢

先暂停一下

先不继续积分了

干什么

我们看看能不能现在就来确定这两个积分常数

EIw”是什么呀

是弯矩

是吧

所以我们现在就可以利用两端的

它的力的边界条件

由于它是一个简支梁

所以两端转动不受限制

所以两端边界条件

那个弯矩就应该怎么样

应该等于0

所以在这里面还看到x等于0的时候

这个弯矩等于0

因此呢我可以看到C2=0

是吧

还有在右端

x等于L的时候弯矩也应该等于0

那么我们就能够确定出C1是多少

那么我们可以看到代到这里边儿

得出来 2分之w0L

因此EIW”=2分之w0Lx减去2分之w0x的平方

大家看这个式子是什么

右端不就我们刚才求出来的弯矩的表达式吗

没错就是这样

如果再往下进行积分的话

那和第一问是不是就一样了

那么我们就不再重复了

后边就跟第一问都一样了

好

这是我们讲的第二个例子

接下来我们再来看第三个例子

现在还是一个简支梁

整个长度是L

而后在中间某一个位置

好比说是距离左端是a的地方

作用一个集中的力

就是D截面

希望我们能够通过连续积分的方法

求出这个梁的挠曲线方程来

梁的抗弯刚度是常量

大家来看

如果我们用二阶的以弯矩的表达

那个挠曲微分方程来进行求解的话

我们需要求出什么

整个儿梁的它的弯矩的表达式

在第五章我们都已经有过很多的训练了

已经知道它的弯矩是一个什么样的状况

我们可以看到就是这样的一个山字形的

因此我们可以看到

这个梁从A到D这一段的话

这样的一个线性的表达

线性的分布这弯矩

同样的类似的从D到B这个截面的时候

那它是另外一条直线来表达的这个弯矩

所以

当我们用二阶的那个挠曲微分方程

进行求解的话

由于弯矩的表达式是分段的

所以积分也应该分段来进行

比如说第一段AD段

我们可以看到

挠度关于x的二次导数等于弯矩与EI之比

等于什么

我们可以看到

把这个弯矩的表达式代进去就是它

我们在这个基础上积分一次

这有1/2了

好

有一个积分常数我们记成A1

再积分一次二三得六

六分之一

而后这是什么A1x

再加一个积分常数

是吧

这是什么这是我们得出来第一段

AD段的这个挠曲线方程

挠曲线表达式

下面我们来看看第二段DB段

类似的

我们也可以积分一次

再积分一次

也可以求得了

也有两个积分常数

一共几个啊

A1、A2、B1、B2，四个积分常数需要我们来确定

那现在我们来看看边界条件有多少啊

有多少啊

我们可以看到说两边边界条件

注意我们在这儿已经是用的什么

用的弯距的这个方程

说明在这两端

有关弯矩为0的这个条件已经用掉了

就剩下什么在这里的挠度等于0

在这里的挠度等于0

只剩下两个边界条件了

可这需要几个

四个常数需要确定

所以光用这两个边界条件显然是不够的

对吧

我们还得要再找两个补充条件

这个四个系数才能够全部求解出来

那么我们注意一下是什么

我们提醒大家注意的是哪一点呢

是D点

显然这个梁在这受了力以后

它的挠曲线应该是这样的一种形状

在D这一点呢

显然它没有怎么样

没有这样错动对吧

也没有这样咧开是不是

它还是一根连续的梁

所以在这个地方

也就D-这个截面

那它的这个挠度的表达应该是什么

应该是我们讲的AD段的那个挠曲线表达式

而在D+这个截面呢

那就应该是DB那一段的它的挠曲线的表达式

根据连续的条件那么我们可以看到

在截面D这个地方

挠度从这边表示的这一点的

和从这边这一段表示的这一点的

挠度应该是怎么样应该是相等的

同样的截面的转角也应该是怎么样相等的

因此我们可以得到了这样的一个补充的

两个式子

这边是什么我们可以看到

D点的挠度

首先AD段来表示的x等于a 的情况

应该等于DB段的x等于a的时候它的情况

两个应该相等

同样这个截面在D截面的时候的它的转角

用AD段的那个表达式是这个

而后这边呢是DB段在D截面时候的

它的截面的转角

两个也应该相等

这个就是所谓的连续性条件

所以我们又有补充两个方程

那这四个积分常数就可以完全确定出来了

求出来的结果

我们列在这给大家

因此它的这个挠曲线表达式就出来了

一个是什么前面AD段

这一部分呢我们可以看到就是DB段

就求出来了

那现在呢

我们多做一点分析

我们来看看D点的挠度等于什么呢

我们可以看到就应该等于它

就应该等于这么多

把x等于a带进去就可以得出来了

假如说a是大于b的话

那么我们对于这个w表达式求一次导

很容易可以看到在x等于√a(a+2b)/3这个位置

这个时候它的挠度有最大值

我们可以求出来应该是这么大

大家来看一下

如果这个载荷作用在梁的中点的话

作用在梁的中点的话

那也就是说x在什么地方呢

a和b是相等的可以看到了啊

这个时候

它就有最大的挠度对吧

因为什么a和b相等

你看a/3约掉了

这还有一个a那不就开方出来还是a嘛

就是L/2的地方它会有最大值

没问题

好

那现在呢让我们来看看

这是我们刚才说的a=b=0.5L的时候

在中间截面上会有最大的挠度

我们再来看

假如说这个简支梁上的集中力

它是非常靠近于谁呢

非常靠近右边那个支座的话

无限接近的话

那么这种情况下b就趋近于0

这种极端情况时候

对应的挠度的最大值是多少

刚才那个式子已经有了

我们代进去以后可以看到

它挠度最大值就是这个式子来表示的情况

那现在我们再来看看这种极端情况下

中间截面那个地方的挠度又是多少呢

那么我们可以算出来

应该是这么多

如果我们就以中间截面的这个挠度

来近似代替这个最大的挠度

我们看看它的这个相对误差是多少

代进去以后

一分析出来是多少2.65%

差别不大

所以呢

即使这种极端的情况

那么它中点的挠度

和最大的挠度的相对误差也只有2.65%

那一般的情况呢

作用在这个梁的某一个位置上

那肯定那误差要比这个要怎么样

要更加小

所以我们在工程上

经常

不管你这个集中力作用在梁中间哪个位置上

我们经常以它中点的挠度

来近似的表示梁的这个最大的挠度

这个误差不会太大

你用它进行估算是可以的

这个呢就是我们讲的这个简支梁的例子

好

今天我们就利用边界条件

对微分方程进行直接的积分

由边界条件来得到了积分常数

从而求得梁它的挠度的表达式

或者讲挠曲线的表达式

以及梁各个截面它转角的表达式

今天的内容就介绍到这里

谢谢大家