静不定结构、正则方程（一次静不定）在线视频

各位同学大家好

今天我们来学习静不定结构如何分析

我们首先来看一些例子

这个呢

是我们看到有一个简单的一个桁架

两端是这样的

这边儿呢 定铰支座滚动铰支座

然后受到外力的作用

这个我们看到一个直角的框架

约束状况如图所示受到载荷的作用

这个（c）呢是一个焊接在一起的一个矩型的框架

由两个杆和基础通过铰支座连接

底下这个我看到这个梁

一跨两跨三跨

受到载荷的作用

这些是不是都是静不定问题呢

我们说它都是

这个我们可以看到多跨梁

大家一下就能判断出来

我们不能求出所有的什么

光用静力平衡方程不能求出所有的

这个支座的约束反力

显然是静不定的

而这个（b）这个结构我们也可以看到

这一端是固定的

这端是一个滚轴铰支座

它也是用平衡方程不能求出所有的约束反力

一下判断出来是静不定的

那这两种情况呢

能不能求出这个时候桁架里边各杆的受力呢

那么我们说遇到的像（a）和（c）这样的问题

我们管它叫做什么呢

叫做内力静不定这个大家很好理解

说我们用节点法来求这个P力作用的这个地方

这个节点的连着的三个杆的受力的话

我们讲用节点法只能求得什么

有两个杆的地方的杆的内力

但是这是三个杆显然不能都求出来

是吧

那它是一个什么叫内力静不定

也是静不定的问题而这个框架呢

如果我们要想求得这个杆截面上的

它的内力的话

如图所示

我们可以看到它首先会有什么

有轴力还有呢有剪力

还有这个地方还会有弯矩

所以我们可以看到它是什么样的一个状况呢

根据平衡方程我们不能求出什么

这六个所有的内力来

是吧

所以我们讲它也是一种叫做什么

叫内力静不定

除了刚才这个（b）和（d）是静不定

我们看到这个时候（a）和（c）也是静不定

它们都叫做内力静不定

这就是我们所说的现在材料力学

也要解决这些问题

由平衡条件可以求出所有的约束反力

但不能求出所有的内力

这样的结构我们管它叫做什么

内力静不定结构

那么我们有关它的一些求解的方法

在介绍之前

我们先给大家介绍几个概念

还有一个概念叫做什么

叫做多余约束与静定基

我们说解除某些约束以后

结构就会由静不定转化为静定的

我们称这个静定的结构

称为原静不定结构的静定基

而解除的那些约束

我们就称之为多余约束

比如说我们刚才讲的这个桁架的这个例子

如果我们把这个杆给它解除的话

也就我们所说的这个AD杆给它解除的话

我们可以看到变成下面的这个情况

那这个时候我们用节点法

来求各个杆的内力的话

显然是可以求出来的

所以这个呢就是一个什么

静定的问题这个静定的这个结构

我们就称之为原来的这个静不定结构的它的什么

叫做静定基

而解除的这个杆

它的这个受力或者讲这个杆本身

我们就叫做这个静不定结构的它的什么

叫做多余约束

我们再来看所谓的静不定次数

其实这个大家在静力学里面都已经清楚了

就是指的未知量的个数

与独立平衡方程数的差值

就是静不定的次数

像这个刚才我们就解除了一个杆

它就变成一个静定的了那它就是什么

就是一次静不定的

那现在呢我们来看看啊

要研究这个静不定问题

我们说都是用什么

要用到叠加原理

要使用叠加原理的话我们对于构件

它的物理的属性有一个要求

也就是说

力和位移的关系必须服从胡克定律

也就是说都是处于线弹性的范围之内

那这个时候呢

我们讲叠加原理就好使用了

求解依然是使用的什么

之前我们也有介绍的叫做力法

也就是说

我们虽然把这个多余约束解除了

但是它的作用我们不能解除

而是怎样的

以力来代替这个多余约束的作用

这样的方法我们就管它叫做什么呢

就叫做力法刚才我们讲了这个

这个简单桁架的这个内力静不定结构问题

我们把这个AD杆作为多余约束给它解除了

这时候按照力法的话

我们应该把这种

多余约束的作用以力的形式呈现

我们把它记成X1

现在呢就是问大家那变形协调条件怎么写呀

我们把多余约束解除这个时候加了X1力

来代替这个多余约束的作用

这个变形条件是怎么来考虑的呢

大家想一下

没有这个多余约束作用的时候

我们其实能够计算出来

静定基的情况下在外力作用的时候

那么A点和D点的它的位移

尤其是什么

尤其是AD这个方向的这个位移

这个时候实际上X1作用了

也就是说AD杆会受到X1的

作用的话它会怎样

我们讲这个杆会有什么

会有一个变形的情况

那这个变形的情况

就应该跟AD之间的位移

也就是沿着杆的方向的位移应该是怎么样的

应该是一致的

这就是这个结构的变形协调条件

好

那么我们来看一下

现在一个普适的一个方法

就力法正则方程

我们说利用正则方程

求解静不定问题是比较方便的

尤其是对于高次静不定的问题

特别方便于计算机编程进行求解

下面我们以这个梁为例来进行一下说明

现在我们可以看到这个梁

很简单

左端呢是固定的

右端呢是一个滚轴铰支座

在它的中间的某一个位置上

我们看到了

只是作用了一个集中的外力

我们就来分析分析这个静不定梁

现在呢

我们认为这个滚动铰支座

是一个多余约束我们把它解除

代之以它的约束力这就是所谓的力法

我们认为这个力呢是X1

是向下的

因此原来的静不定问题就转化成了

在载荷和多余约束作用时候的对于静定基的作用

那么

这个时候我们可以求得

在P作用下这个静定基这个梁

它在这个位置

解除多余约束位置的它的相应的位移

同时我们也可以求解出

只在多余约束作用的时候这个位置的它的位移

按照这个原来的它的结构的限制

我们可以看这一点的位移能有吗

没有

这个时候我们看到了变形协调条件就来了

那么

这个时候两者叠加起来就应该是多少呢

我们看到就应该是零这就是变形协调条件

我们在计算这个Δ1P和这个Δ1X1的时候

我们可以利用什么利用单位载荷法

在单位载荷作用于这个未知的

多余约束作用的这个位置的时候

引起的这个方向的它的位移

我们记成δ11的话这个时候由于它是线性系统

所以在X1作用下

在这个地方所产生的位移应该是多少啊

线性系统

所以我们看到就是它的多少倍啊

X1倍

Δ1X1显然就应该等于δ11的X1倍线性系统

成比例的

好

那这个时候我们代入变形的协调条件

也就是原来的梁在右端的它的一个边界条件

ΔB=Δ1X1+Δ1P=0

那个地方不允许有横向的位移

挠度应该是零所以这就是什么

变形的协调条件就得到了

这个式子我们就叫做什么就叫做这个梁

静不定问题求解的时候的什么

我们管它叫做正则方程

在这个正则方程里面

我们看到未知量是谁呀

就是这个多余的约束力X1

从这个里边我们就可以把X1求出来了

这个是我们用一个一次静不定的这个梁

来进行的说明

好

那么我们可以很快的你用查表法也好

用这个单位载荷法也好

我们很快的可以得到了δ11是L^3/(3EI)

而Δ1p呢我们也可以算出来是这个表达式

带到正则方程里面很快

这个时候可以得到X1是多少X1是多少的话

那么这个时候梁左端这个约束力

我们也能求出来了

梁的内力也能求出来了

相应的一些个应力啊等等

我们也就能够得到了是吧这个呢

就是我们所说的求解静不定结构时候的

所谓的正则方程

这是我们以这个梁为例来进行的说明

下面我们来看一个例子

现在呢我们有一个曲杆这个曲杆呢是1/4的圆环

它的A端是固定的

B端呢是一个滚动铰支座约束

这个曲杆的它的弯曲刚度EI是一个常量

现在就来求一求这个曲杆在中间的这个位置

沿着这个大的这个圆环的

径向作用一个集中力P的时候

里边的弯矩应该是多少

我们只有求得这个弯矩之后

我们才能确定危险截面在哪里啊

我们才能进行一些强度方面的分析

现在呢我们就来看看

由于它是一端固定一端什么

滚动铰支座显然它是一个什么

一次的静不定的结构

现在我们就把这个B端的

这个约束力作为多余约束

把它解除

代之以它的这种作用

多余约束力我们记成X1

所以现在的这个静不定问题就转变成了

这样的一个静定基一端固定一端自由

在载荷P以及多余约束力X1

共同作用下的一个情况

那么它的这个变形协调条件是什么呢

大家心里都已经有数了应该是什么

原来的这里的B处的这个边界的

这个位置我们可以看到

它在竖直方向

显然是不能动的

也就是说在P力作用引起的B点的

它的竖直方向的位移

和现在在多余约束

X1作用的时候竖直方向的位移

它们叠加起来应该等于多少啊

应该等于零这就是变形协调条件

现在呢我们就要来求一求在P和X1

作用的时候

那么它们分别对应的B点的那它的竖直方向的

位移应该是多少

我们采用单位载荷法利用摩尔积分进行分析

现在呢我们来看一下P力作用

这个时候这个曲杆里面的它的弯矩应该是多少

由于它是这样的1/4圆环

所以显然这个时候我们选择极坐标比较方便

这个时候我们从OB为原点

而后这个时候看到逆时针方向作为θ的正方向

建立了θ坐标

显然这个θ在0到45°之间的话

我们可以看到

我们用截面法截一下的话

从这截一下研究这半段研究靠近B的那半段

那这个时候我们可以看到没有外力的作用

当然这样的截面上它的内力就应该是多少

就应该是零所以这一段

从B到这个力作用的这一点这一段上

那它的弯矩应该是多少是零

而后我们要看的是什么

我们要考察的是在θ大于45°的时候

那样的截面它的内力应该是多少

好

那这个时候我们可以看到借助这个辅助的线段

我们就可以看到这个弯矩怎么样来求了

是吧

对于这个θ位置确定的这个截面而言

我们说

点到力的作用线的垂直距离叫做什么

叫做力臂

所以P力对于它的矩

我们可以看到P乘上这个力臂是多少呢

很快可以看到应该等于什么

这个半径是R

从这到这的距离我们可以看到就是

这个角度的它的什么

它的正弦这角度是多少

应该是θ减去45°

我们可以写出它的这个弯矩的表达式

M=PRsin（θ-π/4）

这是θ在π/4和π/2之间的弯矩的表达式

这里我们取了正号

也就是说这个弯矩是让这个曲杆怎么样

它的曲率增加的话

那这个弯矩我们认为是正的

用单位载荷法的话

我们还是要在原有的结构上再什么

我们感兴趣的方向竖直方向

这个位移要加一个什么

要加一个单位的力

那这个时候我们来求一求只在这个单位力作用时

这个曲杆里各个截面的弯矩是多少啊

我们还是取的广义坐标θ

我们也看这条辅助线

是吧

叫什么点到作用线的垂直距离

我们可以看到就是这条线是多少

是R乘以什么

sinθ

因此我们可以得到了这个时候M*

就是R乘以sinθ

注意现在这个时候它是什么

单位力是向上的

使得这个曲杆它的曲率应该是怎样的

应该是减小的所以这个方向

就跟刚才我们取正的那个弯矩的方向是相反的

它就应该是怎么样应该是负的

你千万别把这个负号丢掉

否则计算就要出问题了

好

我们把它带到摩尔积分里面去

就可以得到了这个时候在P力作用下B截面

它的铅垂方向的这个位移应该是多少

Δ1p=∫MM*/EI乘以dS积分

注意了啊只在π/4到π/2的时候

M才是有值的

所以0到π/4的积分就不用算了

那这个dS呢我们也要转变成什么dθ

广义坐标的这种表示因此可以看到这是什么

我们看到M这是M*dS呢就是 Rdθ

我们对θ进行积分

结果得出来

-8倍的更号2EI分之PR^3×π

这里的负号说明什么说明在P力作用下

那么B点的铅垂方向的它的位移

和我们假设的单位载荷的方向是怎么样的

是相反的也就是说它是什么向下的

好了那么我们需要计算δ11

也就是说

只在单位载荷作用的时候

那么在单位载荷方向所产生的

这个位移应该是多少

按照摩尔积分这个力引起的这个弯矩是什么

这M呢我们可以看到就是M*本身

而后单位载荷法还需要乘上什么

单位载荷作用的时候它的弯矩M*除以EI dS

在整个这个曲杆上积分

那也就是什么从0到π/2

这个长度呢就是Rdθ

是吧

这就是dS变成Rdθ

那么整个这积分出来是多少呢

我们看到等于正的R^3 π/(4EI)

也就是它的单位载荷作用的时候

沿单位载荷方向的位移是正的

就是向上的

把这两者带入刚才我们得到的正则方程

我们很快就可以得到这X1

到底是多少

X1倍的δ11叠加上Δ1P等于0

变形协调条件

因此可以得到X1等于两倍的根号二 分之P

就求出来了

它求出来了

别忘了我们题目是要求把整个曲杆的

它的弯矩的表达式求出来

在前面其实我们已经求得

P作用的时候它的弯矩的表达

单位载荷作用的时候它的弯矩的表达

现在就是怎么样了

现在就是说单位载荷现在变成多少了

变成了X1所以X1

引起来的这个弯矩就应该是单位载荷引起来的X1倍

因此我们把两者加起来就可以得到了

这个弯矩的表达

那么整个曲杆的弯矩表达式就应该等于

在P力作用的时候的弯矩加上X1倍的

单位载荷作用的弯矩

带进去以后我们可以看到啊

θ在0和45°之间我们可以看到

只有X1引起来的而后在45°到90°之间

又有P力引起来的又有X1引起来的两部分之和

那这个呢

就是我们求解的这个曲杆的静不定问题

好

我们接下来可以按照它的表达式画出来

这个曲杆的它的弯矩图

可以看到啊

最大的弯矩就应该在固定端

算出来是0.3535PR

那危险截面我们就可以得到了

后续的可以进行相关的有关强度的分析了

有关静不定结构如何进行分析

我们就介绍到这里

谢谢大家