当前课程知识点:材料力学 > 第六章 弯曲变形 > 6-5 简单静不定梁 > 简单静不定梁
各位同学大家好
现在我们来学习
如何利用叠加原理来求解静不定梁
有关梁的静不定问题
我们说依然可以使用叠加原理
在这里我们说利用叠加原理求解静不定梁
从方法上来讲
和求解拉压静不定以及轴的扭转静不定问题
没有什么本质上的区别
只不过是现在我们计算梁的变形的时候
它要稍微的复杂一点
也就是说繁复一点
因为梁的变形除了有挠度
还会有截面的转角
具体来讲求解梁的静不定问题
我们说首先就要解除多余的约束
使静不定的梁变为静定的梁
在这个情况下
在静定的基础上
求出只在载荷作用时它的变形的结果
其次还是在那个静定的梁的情况下
求出多余约束作用时候的结果
第三将这两种结果进行叠加
满足多余约束那个地方原有的约束条件
我说就可以解得多余的约束力
而后再结合平衡方程
求得其它的结果
接下来我们就看一些例子来体会下
现在我们这里有一个梁
大家看到了
这头是固定约束住
这头是辊轴支座约束
梁的弯曲刚度已经知道了
它受了载荷看到了
均匀分布的向下的载荷的集度是w0
现在我们要求一求这个梁所受到的约束力
因为我们求得约束力
我们可以
才可以对梁进行什么
强度啊刚度啊等等的分析 是吧
好 那现在我们来看一下
由于这个地方是辊轴支座
所以它所受到的约束力
我们可以看到就一个向上的一个力
这边也是除了不能上下动有个约束力
在这个截面还受到了限制不能转动
所以这里有一个反力偶
这样一来我们看到
这个梁就受到的力系是什么
构成一个平面的平行力系
它的独立平衡方程个数是什么
是2
而未知量的个数我们看到呢
是3
所以它是一次静不定
或者讲一次超静定问题
接下来我们就要解除多余约束
那你说这三个里面哪个是多余约束啊
比如说我们想给它看成一个什么
看成一个悬臂梁
认为这里的这个约束是多余的话
我们把这个约束解除
代之以RA
约束的作用
用它的约束力来表示RA
它就变成了什么
一个静定的悬臂梁
在w0这样均匀分布的载荷作用下
与静定的悬臂梁在这个地方
有一个RA作用的时候
它们两种情况的叠加
可以看成这样
好 那么我们就可以分析出来
这个时候w0作用的时候
这个地方会有一个挠度
我们也可以分析出来
这个悬臂梁
只在RA作用的时候的A处的它的挠度
两者叠加起来应该满足
原有的这个地方的它的变形的情况
那么原有的这个地方是多少呢
我们看到约束住了
它的挠度应该等于零
那么就可以得到了所谓的它的什么
变形的协调条件
所以A处的挠度啊
我们好比说给它记成YA的话
那它应该是首先是w0作用的时候的挠度
再加上叠加上
RA作用的时候的这个挠度应该等于零
通过这个方程
这个方程里面有谁呀
有RA
我们就可以求出RA是多少
RA求出来我们再根据平衡条件
这个RA是多少MB是多少也就能求出来了
那好了
那现在我们就查表
看只在w0作用的时候
它这点儿的挠度是多少
我们知道均布载荷作用的悬臂梁
它的自由端的挠度W0L^4/8EI
向下挠度就是负的
而后在RA作用的时候
相当于悬臂梁自由端作用了一个横向的集中力
它是向上的 所以是正的RAL^3/3EI
把它代到变形协调条件里面去
所以很快我们可以得出什么
RA8分之3w0l就求出来了
那么再根据平衡条件
那我们就可以求出RB MA
很容易就可以得到
现在呢我们来看的是什么
那有的同学说
那我不认为这个RA是一个多余约束
那我觉得它是怎么样呢
说这MB是一个多余约束
那它就变成什么
你把MB给它去掉的话
多余约束去掉的话
也就是说这个地方并不限制它的转动 对吧
那这个固定端约束就可以转化成什么了呢
那我们就可以看到
就还转化成了一个铰支座 定铰支座
那么这个多余约束解除
但是它的作用不能解除 是吧
我们要加上这个多余约束反力
它就变成了什么
变成了在载荷w0作用下
以及在这儿作用一个集中力偶
这个简支梁它相应的变形的情况
那这个时候的变形协调条件又怎么来写呢
注意到原来这个地方人家是固定住的
这个截面有转角吗 没有
所以这个时候我们可以看到
在w0作用下的这个简支梁
显然在这个地方是有什么呢
是有转角的
而后呢
这个简支梁只在这个多余约束MB作用下
也会产生转角
那么两者叠加起来
这个转角应该是多少 是0
所以它的变形协调条件我们就可以写出来了
θB应该等于0
θB 等于什么
由于w0引起来的
以及MB引起来的两者之和等于零
同样的我们这个时候就是先求出来了MB
MB求出来的话
那这个时候回到这里RA和RB
通过平衡方程我们也就能求出来了
这是我们看到的有关静不定梁的第一个例子
下面我们再来看一个例子
我来看看现在是怎样呢
可以看到啊
这儿有一个AD梁
这有一个BC梁
它们的弯曲的刚度都是多少啊
都是这么多都是一样的
相同的材料
相同的尺寸
指的横截面的尺寸
两个梁之间可以看到
这是什么
可以看到铰接了一个杆儿
这个杆是垂直的
注意这个杆是什么我们可以看到
已经告诉了它的长度是多少
横截面是多少
还告诉了弹性模量是多少
也就说这个杆是要考虑它的变形的
它并不是一个刚性的杆
现在要求什么
如果这边自由端F这个地方作用有一个集中力
向下的50kN
问D这个地方的挠度是多少啊
那么我们来看
它肯定是静不定问题 对吧
几次静不定啊
我们来整体分析一下
看看它的受力
由于这里是固定的
这里是固定的
上下不能动啊
挠度受限制了不能动
还有呢
那个地方也不能转动
所以我们看到有约束力
看到了上下约束力
还有不能转
有反力偶
这里也是一样
如果我们看整体的话
它们构成了一个什么样力系呀 没错
是一个平面的平行力系
两个独立的平衡方程
那这儿几个未知量啊
四个
那它是二次静不定吗
或者讲二次超静定吗
别急 先别急着下结论
那现在我们看到它不只是一个构件 是吧
两个梁还有这杆呢
那现在我们给它拆开来分析一下
比如说我们把这杆给它断开
那这个杆儿我们看到啊
你这往下用力的话这杆就怎么样
感觉是受拉了是吧
好比说我们就设它为拉
可以看到上面对它的作用拉
底下对它的作用拉 是吧
那么这两个什么关系啊
等值反向
它们是作用与反作用的关系
那这个时候再拆开来看
你看上半部分是什么
也是平面平行力系
两个独立方程是吧
底下呢
也是平面平行力系
两个独立的平衡方程
一共可以列写出来四个独立的平衡方程
未知量个数呢
由于它们两个关系是确定的
是作用与反作用关系
所以在这儿我们只能数一遍的未知量 是吧
这1 2 3到这儿呢
作用反作用关系已经确定
不再是未知量了
那这还有几啊 1 2
加起来几个未知量
五个 四个独立平衡方程
所以它是什么
一次的静不定问题
好啦 那现在呢
我们就需要考察它的变形协调条件
那这个时候呢
我们来看看怎么来写呢
由于我们说要关心 要考察的是D点的挠度
因此我们就从这个铰链这拆开来
把这个杆儿和底下这个梁放到一边去
而后上面这AD梁单独
我们这样给它拆开
拆开以后我们来看啊
这杆儿是有拉力的
所以这杆对于D点就有一个向下的拉力
这拉力是多少我们现在不知道
我们认为好比说是X
向下拉它
因此这个梁就会怎么样
弯曲变形
这个时候在X作用下的弯曲变形
在这儿的挠度是多少呢
我们记成Δ1
好 那我们现在来看
再来看底下这部分
底下这部分梁还连着这个杆呢
还连着这CD杆呢
我们来看看
这里有一个集中的向下的作用力 对吧
还有在这个地方由于杆的作用
对梁就有一个向上的一个集中力作用
这儿向上的力和这儿向下的力
使这个梁产生弯曲变形
这个力引起这儿也有挠度 对吧
X向上对这也会引起挠度
所以这一点C点的挠度是X
和这里的50kN两个力共同作用的结果
那就问大家那C点这个挠度向下了
和D点的竖直方向的位移相不相同
应该不同
为什么
因为这个杆它不是一个刚性杆
它受了拉以后它也会有变形
受拉以后它是怎么样
它伸长了
所以怎么样呢
我们可以看到
如果它是刚性的话
那D点就会跟它一样向下移动了这么多
这个挠度我们给它记成一个什么
可以记成一个 一个量吧
就说这点的挠度吧
wC
还有呢
这一点呢
它是刚性杆的话
它会向下移动wC
但是它现在是怎样啦
又被怎么样了
又被伸长了
所以它又往上要怎么样
移动一点距离
这个距离是多少呢
就应该是杆受了X拉力以后的那个伸长量
所以这一点向下的位移就应该是
C点的挠度减去这个杆的伸长量
这一点和梁AD梁这点连着
所以这一点向下的位移
就跟这一点的挠度应该是怎么样啊
相等的
那么这一点向下的位移我们记成Δ2
显然Δ2和Δ1绝对值应该是一样的
这个就是我们所说的它的变形协调条件
那这个时候我们要注意了
这个时候D点的挠度就是什么
就是Δ1
而后这个时候我们来看看是哪儿
是现在这个
刚才那个是什么
AD梁上D点的
这是什么
杆上的D点的
它等于什么
C点的挠度和杆的伸长梁的值的差
这就是什么
变形协调条件得出来的
是这样的一个结果
下面我们就要按照梁变形和杆变形
把这个wD wC以及Δ
这个杆这个伸长量计算出来
好了 我们查表的话
这个时候我们可以看到
就等于悬臂梁自由端有一个集中力的这个作用
引起了它的挠度 是吧
应该是3EI分之Pl的3次方
这P力是多少呢
我们可以看到就是什么呀
我看到就是X
而它的长度我们看到是多少呢
是a
好啦 Xa的3次方
而这个a又是多少呢
我们刚才的那个图
原图我们可以看到是多少
是两米
所以X×2的3次方×10的9次方
现在是怎么样
我们把米给它换成了毫米
你这三次方的话
那10的3次方那不就是差别
这个米换成毫米就10的三次方
再三次方
10的9次方
这里边3EI
按照题目给我们的3×24×10的12次方
这时候它是应该是牛顿毫米的单位
这样一来我们讲出来的结果它就应该是毫米
所以算算算等于多少
等于-1.11×10的4次方X这么多的毫米
就算出来了
好啦 大家来看
这个X拉着它向下怎么样
移动了这么多
那这个地方C点
同样这杆的拉力也是X
那这个梁它的弯曲刚度是一样的
所以X引起来的
向上拉它的话
是C点的挠度
是不是应该跟这个一样啊 是吧
我们不用再算了
肯定一样啊
这点我们可以看到
这应该是正的
因为它是向上的
好啦 那现在还要计算谁呀
计算这个集中力引起来
C点的向下的位移是多少
这个挠度是多少
那么我们也可以查表得出来
按照这个图表
我们可以看到
所以它就等于它
这里面这个x应该是多少
我们可以看到
从这儿到这儿
x那就是什么
就是a
梁的中间位置 C的位置
整个梁的长度是l
现在是多少
l=2a
代到这里面去
因此我们可以得到这个式子
把具体的数据再代进去
我们可以得到等于-13.9mm
那这个时候我们把得出来的这些结果
我们可以代到变形协调条件里去
还有一个杆的伸长 是吧
杆儿受到的拉力是X
l是这个杆的长度
比上它的弹性模量还有横截面积
横截面积已经告诉我们了
杆的长度在那个图里也告诉我们了
把数据代进去以后我们得到的是
0.833×10的-4次方的X的毫米
这样一来我们变形的这些
关系代到变形协调条件里面去
所以就得到了现在的这个方程
这个方程我们看到它是什么
它是关于X轴的受的那个拉力的
一个一元一次方程
很简单马上可以求出来这个X等于多少
45.5kN就求出来了
它求出来
别忘了刚才我们已经说了
wD等于-1.11×10的-4次方X
把这X代进去
可以得到的结果是什么
可以看到5.05毫米
向下嘛
所以是什么
是负的
那么这个题目让我们来求这个梁在D那个地方
AD梁在D那个地方的挠度
我们就求出来了
这个就是我们讲的
两个梁中间通过一个杆儿来联系起来的
那边儿两端都是固定住的
这边这一端是什么
底下这个是自由的
作用集中力
然后对上面那个梁的右端
它的挠度是多少的一个例子
接下来我们来对这个问题做一个简单讨论
现在我们看到这样的一个梁
最右端是固定住的
左端一个辊轴支座
在B这个位置又一个辊轴支座
在这里有一个集中力向下10kN
在A和B之间有一个均匀分布的载荷作用
我们怎么样用叠加原理对它来进行分析
显然这是一个什么
一个静不定的梁 是吧
那我们把哪些这个约束力
哪些约束作为多余约束呢
我们来看这固定端
这有约束力
有约束反力偶
这辊轴支座
约束力
解除谁啊
想到我们查表比较方便的话
那这个时候我们就想了
说能不能用什么悬臂梁 是吧
方便一点
你要把它约束解除的话
那不就成了什么
这两个约束存在
它这边儿又有载荷又有力
这是什么
外伸梁
我们分析过
是不是麻烦一些啊
不能直接查表 是吧
所以这个时候呢
有同学说那我把这个约束去掉
你把这个去掉还是什么
静不定的 是吧
它这几次静不定的
二次静不定
你还得把它也作为多余约束去掉
才能变成简支梁
也很麻烦
所以我们给它变成什么
悬臂梁
好了 那这是多余约束这是多余约束
那这个力的这个拆解怎么来做
毫无疑问
这边悬臂梁首先有谁呀
有这个载荷作用的情况 是吧
还会有哪个载荷啊
还会有这个载荷
那么这个均布载荷作用的时候
它并不是从固定端开始作用的
而是从自由端开始作用的
你要查那个6.1表的话
你是查不出结果的
所以怎样呢
对了 按照之前我们分析说的
你还得要给它补全了
然后再加上一个反方向的 是吧
才能进行分析
而后再叠加上这个多余约束力
这个多余约束力的作用的情况
因此我们可以看到
载荷的拆分的结果就是悬臂梁
首先这个P载荷作用的时候引起来的
B在这儿会有挠度
A在这儿会有挠度
还有这个均布载荷你是局部作用的话
那你得给它整个给它补充完毕
然后再叠加上从固定端开始的
一个反方向的向上的均布载荷的作用
然后再是B点的约束力
A点的约束力单独作用的时候
这时候引起的变形是怎么样的 是吧
我们讲的它是一个二次的超静定问题
我们得写出两个变形协调条件
也就是说是在什么
也就是说在这RA和RB作用的地方
我们看到那个地方呢
它是不能够有挠度的
所以我们要把1 2 3 4 5
这五种情况下
B点的挠度都是怎样
叠加起来让它等于0
还有五种情况下
A点的挠度应该是怎样
叠加起来等于0 是吧
这才是两个变形协调条件
这种情况下
我们可以看到这一段是有弯曲变形的
到后面这一段呢
内力是零
所以就是由它引起的刚性的位移
刚性的位移
所以要求它的挠度
要求这一点的截面的转角
这个挠度再加上转角乘以相应的长度
是对应两个位置的它的什么
它的挠度
这种我们直接查表就可以知道
这挠度都是多少
没问题
这种情况呢
我们直接查表可以求得B这的挠度是多少
而这A处的挠度呢
就应该是B处的挠度
还要叠加B点截面转角乘以这个长度 是吧
还有吗
这个情况
只在B处有一个向上约束力的时候
这一部分是有弯曲变形的
而这一部分是刚性的位移
所以我们查表
直接可以得到这一点的B点的挠度
还可以得到B截面的转角
那么A的挠度就应该是B的挠度
再叠加上B的转角乘以这个距离
当然最后这种情况直接查表就可以得到
我们把得到的这个yA和yB叠加起来
让它等于零
两个变形协调条件
好 由上面的分析我们可以看到
使用叠加原理求解静不定梁的话
那么多余约束的选择
可能直接决定了你这个求解的这个过程
到底是相对的简单
还是比较繁复
选择的合适的话
相对来讲它是简单的
叠加原理的应用
正确画出拆解的这个图
以及叠加的分析图是非常重要的
所以第一步做好了
就决定你后边结果是否正确
如果你一开始这些受力的这些
拆解的图你都没有做好
或者讲你这个拆解做好了
但是这个变形的
这个叠加这部分分析也没有做好的话
那最后的结果呢
也会不正确
所以这一部分是非常重要的
正确画出这个受力的拆解
以及相应的变形的这个叠加分析图
是非常重要的
有关应用叠加原理求解静不定梁
我们就介绍到这里
谢谢大家
-1-1 材料力学的任务
--材料力学的任务
--第1-1节作业
-1-2 基本假设、内力、杆的基本变形
--第1-2节作业
-1-3 弹性杆受力的普遍情况与课程内容简介
-2-1 应力,轴力与轴力图,杆横截面上的正应力
--第2-1节作业
- 2-2 应变,杆斜截面上的应力
--第2-2节作业
- 2-3-1 材料的力学性能(一)
--第 2-3-1作业
- 2-3-2 材料的力学性能(二)
--第 2-3-2作业
-2-4-1 胡克定律、轴向变形和泊桑比
--第 2-4-1作业
-2-4-2 安全系数,许用应力,许用载荷
--第 2-4-2作业
-2-5-1 静不定(超静定)系统
--第 2-5-1作业
-2-5-2 静不定(超静定)系统(续)
--第 2-5-2节作业
-2-6 热应力和变形
--热应力和变形
--第 2-6节作业
-2-7 剪切和挤压
--剪切和挤压
--第 2-7节作业
-3-1 扭转,扭矩
--扭转,扭矩
--第 3-1节作业
- 3-2 剪应变,剪应力互等,剪切胡克定律
--第 3-2节作业
-3-3 受扭转构件横截面上的剪应力
--第 3-3节作业
- 3-4 扭转变形
--扭转变形
--第 3-4节作业
-3-5 扭转构件的设计 扭转静不定
--第 3-5节作业
-4-1 梁,平面弯曲,直接求解梁的内力
-4-2 剪力图和弯矩图及一些规律
--第 4-2节作业
-4-3 积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--第 4-3 节作业
-5-1 弯曲正应力
--弯曲正应力
--第 5-1节作业
-5-2 横截面关于中性轴的惯性矩
--第 5-2节作业
-5-3 梁的设计
--梁的设计
--第 5-3节作业
-5-4 弯曲剪应力
--弯曲剪应力
--第 5-4节作业
- 6-1 挠曲微分方程,边界条件
--第 6-1节作业
-6-2 积分法
--积分法
--第 6-2节作业
-6-3 静不定
--静不定
--第 6-3 节作业
-6-4 叠加法
--叠加法
--第 6-4节作业
-6-5 简单静不定梁
--简单静不定梁
--第 6-5节作业
- 7-1 二向应力状态(薄壁压力容器)、三向应力状态
--第 7-1节作业
-7-2 平面应力变换
--平面应力变换
--7-2 节作业
- 7-3 图解法-莫尔圆 广义胡克定律
--第 7-3节作业
-7-4 强度理论概述 断裂准则
--第 7-4节作业
-7-5 屈服准则
--屈服准则
--第 7-5节作业
-7-6 莫尔强度理论
--莫尔强度理论
--第 7-6节作业
- 8-1 关于两个主轴的弯曲
--第 8-1节作业
-8-2 拉压与弯曲的组合变形,直接剪力与扭转剪切的组合
--第 8-2节作业
-8-3 弹性设计
--弹性设计
--第 8-3节作业
-8-4 梁的弹性设计
--梁的弹性设计
--第 8-4节作业
-8-5 轴的强度设计(弯扭组合)
--轴的强度设计
--第 8-5节作业
-8-6 提高梁抗弯能力的措施
--第 8-6节作业
-9-1 屈曲 细长压杆的临界压力
--第 9-1节作业
-9-2 欧拉公式的适用范围,临界应力与长细比,经验公式
--第 9-2节作业
-9-3 提高压杆稳定性的措施
--第 9-3节作业
-10-1. 冲击,动荷系数
--冲击,动荷系数
--第 10-1节作业
-10-2. 用动静法求应力和变形 冲击韧性
--第 10-2节作业
- 11-1 交变应力、持久极限
--第 11-1节作业
-11-2 影响持久极限的因素
--第 11-2节作业
-11-3 疲劳强度
--疲劳强度
--第 11-3节作业
-12-1 应变能
--应变能
--第 12-1节作业
-12-2 互换定理
--互换定理
--第 12-2节作业
-12-3 卡氏定理,应用
--卡氏定理,应用
--第 12-3节作业
- 12-4 卡氏定理应用:虚构载荷法
--第 12-4节作业
- 12-5 虚功原理,单位载荷法,莫尔积分
--第 12-5节作业
-12-6 图乘法
--图乘法
--第12-6节作业
- 13-1 静不定结构、正则方程(一次静不定)
--第 13-1节作业
- 13-2 正则方程(高次静不定系统)
--第 13-3 节作业
-13-3 利用对称性与反对称性分析静不定结构
--第 13-4节作业