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简单静不定梁在线视频

下一节:二向应力状态(薄壁压力容器)、三向应力状态

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简单静不定梁课程教案、知识点、字幕

各位同学大家好

现在我们来学习

如何利用叠加原理来求解静不定梁

有关梁的静不定问题

我们说依然可以使用叠加原理

在这里我们说利用叠加原理求解静不定梁

从方法上来讲

和求解拉压静不定以及轴的扭转静不定问题

没有什么本质上的区别

只不过是现在我们计算梁的变形的时候

它要稍微的复杂一点

也就是说繁复一点

因为梁的变形除了有挠度

还会有截面的转角

具体来讲求解梁的静不定问题

我们说首先就要解除多余的约束

使静不定的梁变为静定的梁

在这个情况下

在静定的基础上

求出只在载荷作用时它的变形的结果

其次还是在那个静定的梁的情况下

求出多余约束作用时候的结果

第三将这两种结果进行叠加

满足多余约束那个地方原有的约束条件

我说就可以解得多余的约束力

而后再结合平衡方程

求得其它的结果

接下来我们就看一些例子来体会下

现在我们这里有一个梁

大家看到了

这头是固定约束住

这头是辊轴支座约束

梁的弯曲刚度已经知道了

它受了载荷看到了

均匀分布的向下的载荷的集度是w0

现在我们要求一求这个梁所受到的约束力

因为我们求得约束力

我们可以

才可以对梁进行什么

强度啊刚度啊等等的分析 是吧

好 那现在我们来看一下

由于这个地方是辊轴支座

所以它所受到的约束力

我们可以看到就一个向上的一个力

这边也是除了不能上下动有个约束力

在这个截面还受到了限制不能转动

所以这里有一个反力偶

这样一来我们看到

这个梁就受到的力系是什么

构成一个平面的平行力系

它的独立平衡方程个数是什么

是2

而未知量的个数我们看到呢

是3

所以它是一次静不定

或者讲一次超静定问题

接下来我们就要解除多余约束

那你说这三个里面哪个是多余约束啊

比如说我们想给它看成一个什么

看成一个悬臂梁

认为这里的这个约束是多余的话

我们把这个约束解除

代之以RA

约束的作用

用它的约束力来表示RA

它就变成了什么

一个静定的悬臂梁

在w0这样均匀分布的载荷作用下

与静定的悬臂梁在这个地方

有一个RA作用的时候

它们两种情况的叠加

可以看成这样

好 那么我们就可以分析出来

这个时候w0作用的时候

这个地方会有一个挠度

我们也可以分析出来

这个悬臂梁

只在RA作用的时候的A处的它的挠度

两者叠加起来应该满足

原有的这个地方的它的变形的情况

那么原有的这个地方是多少呢

我们看到约束住了

它的挠度应该等于零

那么就可以得到了所谓的它的什么

变形的协调条件

所以A处的挠度啊

我们好比说给它记成YA的话

那它应该是首先是w0作用的时候的挠度

再加上叠加上

RA作用的时候的这个挠度应该等于零

通过这个方程

这个方程里面有谁呀

有RA

我们就可以求出RA是多少

RA求出来我们再根据平衡条件

这个RA是多少MB是多少也就能求出来了

那好了

那现在我们就查表

看只在w0作用的时候

它这点儿的挠度是多少

我们知道均布载荷作用的悬臂梁

它的自由端的挠度W0L^4/8EI

向下挠度就是负的

而后在RA作用的时候

相当于悬臂梁自由端作用了一个横向的集中力

它是向上的 所以是正的RAL^3/3EI

把它代到变形协调条件里面去

所以很快我们可以得出什么

RA8分之3w0l就求出来了

那么再根据平衡条件

那我们就可以求出RB MA

很容易就可以得到

现在呢我们来看的是什么

那有的同学说

那我不认为这个RA是一个多余约束

那我觉得它是怎么样呢

说这MB是一个多余约束

那它就变成什么

你把MB给它去掉的话

多余约束去掉的话

也就是说这个地方并不限制它的转动 对吧

那这个固定端约束就可以转化成什么了呢

那我们就可以看到

就还转化成了一个铰支座 定铰支座

那么这个多余约束解除

但是它的作用不能解除 是吧

我们要加上这个多余约束反力

它就变成了什么

变成了在载荷w0作用下

以及在这儿作用一个集中力偶

这个简支梁它相应的变形的情况

那这个时候的变形协调条件又怎么来写呢

注意到原来这个地方人家是固定住的

这个截面有转角吗 没有

所以这个时候我们可以看到

在w0作用下的这个简支梁

显然在这个地方是有什么呢

是有转角的

而后呢

这个简支梁只在这个多余约束MB作用下

也会产生转角

那么两者叠加起来

这个转角应该是多少 是0

所以它的变形协调条件我们就可以写出来了

θB应该等于0

θB 等于什么

由于w0引起来的

以及MB引起来的两者之和等于零

同样的我们这个时候就是先求出来了MB

MB求出来的话

那这个时候回到这里RA和RB

通过平衡方程我们也就能求出来了

这是我们看到的有关静不定梁的第一个例子

下面我们再来看一个例子

我来看看现在是怎样呢

可以看到啊

这儿有一个AD梁

这有一个BC梁

它们的弯曲的刚度都是多少啊

都是这么多都是一样的

相同的材料

相同的尺寸

指的横截面的尺寸

两个梁之间可以看到

这是什么

可以看到铰接了一个杆儿

这个杆是垂直的

注意这个杆是什么我们可以看到

已经告诉了它的长度是多少

横截面是多少

还告诉了弹性模量是多少

也就说这个杆是要考虑它的变形的

它并不是一个刚性的杆

现在要求什么

如果这边自由端F这个地方作用有一个集中力

向下的50kN

问D这个地方的挠度是多少啊

那么我们来看

它肯定是静不定问题 对吧

几次静不定啊

我们来整体分析一下

看看它的受力

由于这里是固定的

这里是固定的

上下不能动啊

挠度受限制了不能动

还有呢

那个地方也不能转动

所以我们看到有约束力

看到了上下约束力

还有不能转

有反力偶

这里也是一样

如果我们看整体的话

它们构成了一个什么样力系呀 没错

是一个平面的平行力系

两个独立的平衡方程

那这儿几个未知量啊

四个

那它是二次静不定吗

或者讲二次超静定吗

别急 先别急着下结论

那现在我们看到它不只是一个构件 是吧

两个梁还有这杆呢

那现在我们给它拆开来分析一下

比如说我们把这杆给它断开

那这个杆儿我们看到啊

你这往下用力的话这杆就怎么样

感觉是受拉了是吧

好比说我们就设它为拉

可以看到上面对它的作用拉

底下对它的作用拉 是吧

那么这两个什么关系啊

等值反向

它们是作用与反作用的关系

那这个时候再拆开来看

你看上半部分是什么

也是平面平行力系

两个独立方程是吧

底下呢

也是平面平行力系

两个独立的平衡方程

一共可以列写出来四个独立的平衡方程

未知量个数呢

由于它们两个关系是确定的

是作用与反作用关系

所以在这儿我们只能数一遍的未知量 是吧

这1 2 3到这儿呢

作用反作用关系已经确定

不再是未知量了

那这还有几啊 1 2

加起来几个未知量

五个 四个独立平衡方程

所以它是什么

一次的静不定问题

好啦 那现在呢

我们就需要考察它的变形协调条件

那这个时候呢

我们来看看怎么来写呢

由于我们说要关心 要考察的是D点的挠度

因此我们就从这个铰链这拆开来

把这个杆儿和底下这个梁放到一边去

而后上面这AD梁单独

我们这样给它拆开

拆开以后我们来看啊

这杆儿是有拉力的

所以这杆对于D点就有一个向下的拉力

这拉力是多少我们现在不知道

我们认为好比说是X

向下拉它

因此这个梁就会怎么样

弯曲变形

这个时候在X作用下的弯曲变形

在这儿的挠度是多少呢

我们记成Δ1

好 那我们现在来看

再来看底下这部分

底下这部分梁还连着这个杆呢

还连着这CD杆呢

我们来看看

这里有一个集中的向下的作用力 对吧

还有在这个地方由于杆的作用

对梁就有一个向上的一个集中力作用

这儿向上的力和这儿向下的力

使这个梁产生弯曲变形

这个力引起这儿也有挠度 对吧

X向上对这也会引起挠度

所以这一点C点的挠度是X

和这里的50kN两个力共同作用的结果

那就问大家那C点这个挠度向下了

和D点的竖直方向的位移相不相同

应该不同

为什么

因为这个杆它不是一个刚性杆

它受了拉以后它也会有变形

受拉以后它是怎么样

它伸长了

所以怎么样呢

我们可以看到

如果它是刚性的话

那D点就会跟它一样向下移动了这么多

这个挠度我们给它记成一个什么

可以记成一个 一个量吧

就说这点的挠度吧

wC

还有呢

这一点呢

它是刚性杆的话

它会向下移动wC

但是它现在是怎样啦

又被怎么样了

又被伸长了

所以它又往上要怎么样

移动一点距离

这个距离是多少呢

就应该是杆受了X拉力以后的那个伸长量

所以这一点向下的位移就应该是

C点的挠度减去这个杆的伸长量

这一点和梁AD梁这点连着

所以这一点向下的位移

就跟这一点的挠度应该是怎么样啊

相等的

那么这一点向下的位移我们记成Δ2

显然Δ2和Δ1绝对值应该是一样的

这个就是我们所说的它的变形协调条件

那这个时候我们要注意了

这个时候D点的挠度就是什么

就是Δ1

而后这个时候我们来看看是哪儿

是现在这个

刚才那个是什么

AD梁上D点的

这是什么

杆上的D点的

它等于什么

C点的挠度和杆的伸长梁的值的差

这就是什么

变形协调条件得出来的

是这样的一个结果

下面我们就要按照梁变形和杆变形

把这个wD wC以及Δ

这个杆这个伸长量计算出来

好了 我们查表的话

这个时候我们可以看到

就等于悬臂梁自由端有一个集中力的这个作用

引起了它的挠度 是吧

应该是3EI分之Pl的3次方

这P力是多少呢

我们可以看到就是什么呀

我看到就是X

而它的长度我们看到是多少呢

是a

好啦 Xa的3次方

而这个a又是多少呢

我们刚才的那个图

原图我们可以看到是多少

是两米

所以X×2的3次方×10的9次方

现在是怎么样

我们把米给它换成了毫米

你这三次方的话

那10的3次方那不就是差别

这个米换成毫米就10的三次方

再三次方

10的9次方

这里边3EI

按照题目给我们的3×24×10的12次方

这时候它是应该是牛顿毫米的单位

这样一来我们讲出来的结果它就应该是毫米

所以算算算等于多少

等于-1.11×10的4次方X这么多的毫米

就算出来了

好啦 大家来看

这个X拉着它向下怎么样

移动了这么多

那这个地方C点

同样这杆的拉力也是X

那这个梁它的弯曲刚度是一样的

所以X引起来的

向上拉它的话

是C点的挠度

是不是应该跟这个一样啊 是吧

我们不用再算了

肯定一样啊

这点我们可以看到

这应该是正的

因为它是向上的

好啦 那现在还要计算谁呀

计算这个集中力引起来

C点的向下的位移是多少

这个挠度是多少

那么我们也可以查表得出来

按照这个图表

我们可以看到

所以它就等于它

这里面这个x应该是多少

我们可以看到

从这儿到这儿

x那就是什么

就是a

梁的中间位置 C的位置

整个梁的长度是l

现在是多少

l=2a

代到这里面去

因此我们可以得到这个式子

把具体的数据再代进去

我们可以得到等于-13.9mm

那这个时候我们把得出来的这些结果

我们可以代到变形协调条件里去

还有一个杆的伸长 是吧

杆儿受到的拉力是X

l是这个杆的长度

比上它的弹性模量还有横截面积

横截面积已经告诉我们了

杆的长度在那个图里也告诉我们了

把数据代进去以后我们得到的是

0.833×10的-4次方的X的毫米

这样一来我们变形的这些

关系代到变形协调条件里面去

所以就得到了现在的这个方程

这个方程我们看到它是什么

它是关于X轴的受的那个拉力的

一个一元一次方程

很简单马上可以求出来这个X等于多少

45.5kN就求出来了

它求出来

别忘了刚才我们已经说了

wD等于-1.11×10的-4次方X

把这X代进去

可以得到的结果是什么

可以看到5.05毫米

向下嘛

所以是什么

是负的

那么这个题目让我们来求这个梁在D那个地方

AD梁在D那个地方的挠度

我们就求出来了

这个就是我们讲的

两个梁中间通过一个杆儿来联系起来的

那边儿两端都是固定住的

这边这一端是什么

底下这个是自由的

作用集中力

然后对上面那个梁的右端

它的挠度是多少的一个例子

接下来我们来对这个问题做一个简单讨论

现在我们看到这样的一个梁

最右端是固定住的

左端一个辊轴支座

在B这个位置又一个辊轴支座

在这里有一个集中力向下10kN

在A和B之间有一个均匀分布的载荷作用

我们怎么样用叠加原理对它来进行分析

显然这是一个什么

一个静不定的梁 是吧

那我们把哪些这个约束力

哪些约束作为多余约束呢

我们来看这固定端

这有约束力

有约束反力偶

这辊轴支座

约束力

解除谁啊

想到我们查表比较方便的话

那这个时候我们就想了

说能不能用什么悬臂梁 是吧

方便一点

你要把它约束解除的话

那不就成了什么

这两个约束存在

它这边儿又有载荷又有力

这是什么

外伸梁

我们分析过

是不是麻烦一些啊

不能直接查表 是吧

所以这个时候呢

有同学说那我把这个约束去掉

你把这个去掉还是什么

静不定的 是吧

它这几次静不定的

二次静不定

你还得把它也作为多余约束去掉

才能变成简支梁

也很麻烦

所以我们给它变成什么

悬臂梁

好了 那这是多余约束这是多余约束

那这个力的这个拆解怎么来做

毫无疑问

这边悬臂梁首先有谁呀

有这个载荷作用的情况 是吧

还会有哪个载荷啊

还会有这个载荷

那么这个均布载荷作用的时候

它并不是从固定端开始作用的

而是从自由端开始作用的

你要查那个6.1表的话

你是查不出结果的

所以怎样呢

对了 按照之前我们分析说的

你还得要给它补全了

然后再加上一个反方向的 是吧

才能进行分析

而后再叠加上这个多余约束力

这个多余约束力的作用的情况

因此我们可以看到

载荷的拆分的结果就是悬臂梁

首先这个P载荷作用的时候引起来的

B在这儿会有挠度

A在这儿会有挠度

还有这个均布载荷你是局部作用的话

那你得给它整个给它补充完毕

然后再叠加上从固定端开始的

一个反方向的向上的均布载荷的作用

然后再是B点的约束力

A点的约束力单独作用的时候

这时候引起的变形是怎么样的 是吧

我们讲的它是一个二次的超静定问题

我们得写出两个变形协调条件

也就是说是在什么

也就是说在这RA和RB作用的地方

我们看到那个地方呢

它是不能够有挠度的

所以我们要把1 2 3 4 5

这五种情况下

B点的挠度都是怎样

叠加起来让它等于0

还有五种情况下

A点的挠度应该是怎样

叠加起来等于0 是吧

这才是两个变形协调条件

这种情况下

我们可以看到这一段是有弯曲变形的

到后面这一段呢

内力是零

所以就是由它引起的刚性的位移

刚性的位移

所以要求它的挠度

要求这一点的截面的转角

这个挠度再加上转角乘以相应的长度

是对应两个位置的它的什么

它的挠度

这种我们直接查表就可以知道

这挠度都是多少

没问题

这种情况呢

我们直接查表可以求得B这的挠度是多少

而这A处的挠度呢

就应该是B处的挠度

还要叠加B点截面转角乘以这个长度 是吧

还有吗

这个情况

只在B处有一个向上约束力的时候

这一部分是有弯曲变形的

而这一部分是刚性的位移

所以我们查表

直接可以得到这一点的B点的挠度

还可以得到B截面的转角

那么A的挠度就应该是B的挠度

再叠加上B的转角乘以这个距离

当然最后这种情况直接查表就可以得到

我们把得到的这个yA和yB叠加起来

让它等于零

两个变形协调条件

好 由上面的分析我们可以看到

使用叠加原理求解静不定梁的话

那么多余约束的选择

可能直接决定了你这个求解的这个过程

到底是相对的简单

还是比较繁复

选择的合适的话

相对来讲它是简单的

叠加原理的应用

正确画出拆解的这个图

以及叠加的分析图是非常重要的

所以第一步做好了

就决定你后边结果是否正确

如果你一开始这些受力的这些

拆解的图你都没有做好

或者讲你这个拆解做好了

但是这个变形的

这个叠加这部分分析也没有做好的话

那最后的结果呢

也会不正确

所以这一部分是非常重要的

正确画出这个受力的拆解

以及相应的变形的这个叠加分析图

是非常重要的

有关应用叠加原理求解静不定梁

我们就介绍到这里

谢谢大家

材料力学课程列表:

第一章 绪论

-1-1 材料力学的任务

--材料力学的任务

--第1-1节作业

-1-2 基本假设、内力、杆的基本变形

--基本假设、内力、杆的基本变形

--第1-2节作业

-1-3 弹性杆受力的普遍情况与课程内容简介

--弹性杆受力的普遍情况与课程内容简介

--第1-3节思考题讨论

第二章 拉伸、压缩与剪切

-2-1 应力,轴力与轴力图,杆横截面上的正应力

-- 应力,轴力与轴力图,杆横截面上的正应力

--第2-1节作业

- 2-2 应变,杆斜截面上的应力

--应变,杆斜截面上的应力

--第2-2节作业

- 2-3-1 材料的力学性能(一)

--材料的力学性能(一)

--第 2-3-1作业

- 2-3-2 材料的力学性能(二)

--材料的力学性能(二)

--第 2-3-2作业

-2-4-1 胡克定律、轴向变形和泊桑比

--胡克定律、轴向变形和泊桑比

--第 2-4-1作业

-2-4-2 安全系数,许用应力,许用载荷

--安全系数,许用应力,许用载荷

--第 2-4-2作业

-2-5-1 静不定(超静定)系统

--静不定(超静定)系统

--第 2-5-1作业

-2-5-2 静不定(超静定)系统(续)

--静不定(超静定)系统(续)

--第 2-5-2节作业

-2-6 热应力和变形

--热应力和变形

--第 2-6节作业

-2-7 剪切和挤压

--剪切和挤压

--第 2-7节作业

第三章 扭转

-3-1 扭转,扭矩

--扭转,扭矩

--第 3-1节作业

- 3-2 剪应变,剪应力互等,剪切胡克定律

--剪应变,剪应力互等,剪切胡克定律

--第 3-2节作业

-3-3 受扭转构件横截面上的剪应力

--受扭转构件横截面上的剪应力

--第 3-3节作业

- 3-4 扭转变形

--扭转变形

--第 3-4节作业

-3-5 扭转构件的设计 扭转静不定

--扭转构件的设计 扭转静不定

--第 3-5节作业

第4章 弯曲内力

-4-1 梁,平面弯曲,直接求解梁的内力

--梁,平面弯曲,直接求解梁的内力

-4-2 剪力图和弯矩图及一些规律

--剪力图和弯矩图(一)

--剪力图和弯矩图(二)

--第 4-2节作业

-4-3 积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图

--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图

--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图

--第 4-3 节作业

第五章 弯曲应力

-5-1 弯曲正应力

--弯曲正应力

--第 5-1节作业

-5-2 横截面关于中性轴的惯性矩

--横截面关于中性轴的惯性矩

--第 5-2节作业

-5-3 梁的设计

--梁的设计

--第 5-3节作业

-5-4 弯曲剪应力

--弯曲剪应力

--第 5-4节作业

第六章 弯曲变形

- 6-1 挠曲微分方程,边界条件

--挠曲微分方程,边界条件

--第 6-1节作业

-6-2 积分法

--积分法

--第 6-2节作业

-6-3 静不定

--静不定

--第 6-3 节作业

-6-4 叠加法

--叠加法

--第 6-4节作业

-6-5 简单静不定梁

--简单静不定梁

--第 6-5节作业

第七章 应力状态分析及强度理论

- 7-1 二向应力状态(薄壁压力容器)、三向应力状态

--二向应力状态(薄壁压力容器)、三向应力状态

--第 7-1节作业

-7-2 平面应力变换

--平面应力变换

--7-2 节作业

- 7-3 图解法-莫尔圆 广义胡克定律

--图解法-莫尔圆 广义胡克定律

--第 7-3节作业

-7-4 强度理论概述 断裂准则

--强度理论概述 断裂准则

--第 7-4节作业

-7-5 屈服准则

--屈服准则

--第 7-5节作业

-7-6 莫尔强度理论

--莫尔强度理论

--第 7-6节作业

第八章 组合变形

- 8-1 关于两个主轴的弯曲

--关于两个主轴的弯曲

--第 8-1节作业

-8-2 拉压与弯曲的组合变形,直接剪力与扭转剪切的组合

--拉压与弯曲的组合变形,直接剪力与扭转剪切的组合

--第 8-2节作业

-8-3 弹性设计

--弹性设计

--第 8-3节作业

-8-4 梁的弹性设计

--梁的弹性设计

--第 8-4节作业

-8-5 轴的强度设计(弯扭组合)

--轴的强度设计

--第 8-5节作业

-8-6 提高梁抗弯能力的措施

--提高梁抗弯能力的措施

--第 8-6节作业

第九章 压杆稳定

-9-1 屈曲 细长压杆的临界压力

--屈曲 细长压杆的临界压力

--第 9-1节作业

-9-2 欧拉公式的适用范围,临界应力与长细比,经验公式

--欧拉公式的适用范围,临界应力与长细比,经验公式

--第 9-2节作业

-9-3 提高压杆稳定性的措施

--提高压杆稳定性的措施

--第 9-3节作业

第十章 动载荷

-10-1. 冲击,动荷系数

--冲击,动荷系数

--第 10-1节作业

-10-2. 用动静法求应力和变形 冲击韧性

--用动静法求应力和变形 冲击韧性

--第 10-2节作业

第十一章 交变应力

- 11-1 交变应力、持久极限

--交变应力、持久极限

--第 11-1节作业

-11-2 影响持久极限的因素

--影响持久极限的因素

--第 11-2节作业

-11-3 疲劳强度

--疲劳强度

--第 11-3节作业

第十二章 能量法

-12-1 应变能

--应变能

--第 12-1节作业

-12-2 互换定理

--互换定理

--第 12-2节作业

-12-3 卡氏定理,应用

--卡氏定理,应用

--第 12-3节作业

- 12-4 卡氏定理应用:虚构载荷法

--卡氏定理应用:虚构载荷法

--第 12-4节作业

- 12-5 虚功原理,单位载荷法,莫尔积分

--虚功原理,单位载荷法,莫尔积分

--第 12-5节作业

-12-6 图乘法

--图乘法

--第12-6节作业

第十三章 静不定结构

- 13-1 静不定结构、正则方程(一次静不定)

--静不定结构、正则方程(一次静不定)

--第 13-1节作业

- 13-2 正则方程(高次静不定系统)

-- 正则方程(高次静不定系统)

--第 13-3 节作业

-13-3 利用对称性与反对称性分析静不定结构

--利用对称性与反对称性分析静不定结构

--第 13-4节作业

简单静不定梁笔记与讨论

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