当前课程知识点:材料力学 > 第八章 组合变形 > 8-5 轴的强度设计(弯扭组合) > 轴的强度设计
各位同学大家好
今天我们来学习有关轴的弹性设计
通常圆轴说会受到扭矩与横向力的作用
你比如说我们现在所遇到的这个传动轴
那么可能从这边会输入了动力
比如说通过皮带轮输出来了
而后通过这个地方我们讲它可能是齿轮连接啊
或者是链轮连接等等
又输出去了一部分动力
这个地方也是类似的又输出去了
当然轴它是装在轴承上的啊
因此我们可以看到这个轴啊
又受到扭距
又有横向力会产生弯矩
一般情况下
这个轴里边所产生的应力
主要受到扭距与弯距的影响
而剪力产生的这个应力跟他们相比的话
是可以忽略不计的
所以我们在这里剪力的影响就忽略掉
那么我们来看看
对于一个截面上
我们看到会有什么呢
会有扭距
还会呢
我们可以看到它可能横向有这个方向力
还有这个方向的力
所以呢它还有关于什么
两个方向
横截面两个正交方向上都有什么
都有弯矩
那这个时候危险点在哪里呢
由于它的截面是圆截面
所以我们可以看到
它不会出现所谓斜弯曲的状况
那么我们就把这两个弯距
直接给它叠加就行了
是吧我们按照适量合成
我们可以看到这个弯矩
合成以后就是这样子
扭距引起来的
我们说表面上一圈各个点
它的剪应力是最大的
所以光考察扭矩的话
危险点是表面上一圈这些点
那如果我们在考察这个弯矩引起来的呢
这个应力的大小呢
我们可以看到
弯矩是这样
离中性轴最远的两个点
具有最大的正应力
两者叠加起来
所以我们可以看到啊
这样的两个位置是怎么样
扭矩引起的剪应力是最大的
同时弯矩引起来的
或者拉或者压这个应力是最大的
所以这是它的两个危险点
我们以这个危险点为例
来看一下它的单元体
那么在这呢扭矩是这个方向
扭距是这个方向
因此我们可以看到
这个面上扭矩是这样的方向
正方向
我们可以看到在这个面上在这一点
那么转圈
所以它是向下的
有剪应力
剪应力互等嘛
当然这个面这个方向的剪应力
还有呢
弯距我们看到是这个方向的
所以这边是受拉
这边呢是受压
正应力可以看到
这是一个什么
这是一个平面应力状态
是我们之前讲的梁那个危险点
第三类危险点对吧
平面应力状态
通常机器的这个传动轴
或者一些主轴
它是机器里的非常重要的一个零部件
因此我们选择这个轴的材料
通常是选择韧性的材料
强度准则嘛
那么我们也应该对应的选择韧性材料的
比如说第三强度理论或者第四强度理论
韧性材料
所以我们说应用的强度理论
就是有关韧性材料的那个强度准则
就是第三强度理论或者第四强度理论
也就我们所说的什么
最大剪应力理论
或者畸变能密度理论
我们看到这个危险点的
它的单元体是这样
是平面的应力状态
有关这个问题
我们在前两个知识点已经讨论过了
那么按照第三强度理论的话
那么它的强度准则
就是正应力的平方加上四倍的
剪应力的平方开方
应该小于等于
许用的正应力
按照第四强度理论
这里的四变成了三
小于等于许用的正应力
对于这个轴我们可以看到
它的最大的正应力
我们可以求出来就是什么
弯矩
除以截面关于中性轴的
惯性矩
乘以它到中性轴的最远的距离是多少呢
就是半径
而这个时候受有扭距的话
那它的这个剪应力最大的时候
这一圈是吧
那么这一点的剪应力是多少呢
我们看到扭矩乘以这一点到圆心的距离
就是半径除以截面关于圆心的极惯性矩
这是剪应力
注意到ip和i是double的关系
所以我们这个时候呢
把这个I提出来
同时把这个
R也提出去
那就变成了根号下M平方加上T平方
除以I除以R是吧
为什么这里的这个四和这里的
两倍的I一平方这四就约掉了
所以有这样的一个结果
那么这个截面关于中性轴的惯性矩
与点到中性轴的最远距离
比值我们又叫做什么
截面的抗弯截面模量
或者讲弯曲模量
所以就变成M平方加上T平方
开方除以W
所以对于
又有扭矩又有弯矩作用的圆截面的轴
我们讲如果用第三强度理论的话
那么它的强度准则就是这个式子
同样的道理
我们看到这儿是四
这是三
它们之间的这个关系是什么
可以看到是3/4的关系
所以这个地方就变成什么
0.75了
这是什么
这是我们按照第四强度理论得到的
有关圆截面轴的
它的强度设计的这个准则
第三强度理论来的
第四强度理论来的
好啦
接下来我们就来看一下
具体的有关它的尺寸的设计
我们注意到圆截面的
它的抗弯模量是32分之πd的三次方
所以这个d至少应该是多少呢
我们代到刚才的那个公式里边儿
给它换算一下
那个项调换一下位置
我们可以得到32
根号M平方加T平方
然后π 许用正应力
开三次方
如果我们现在知道的不是许用的正应力
而是得到的是许用的剪应力的话
注意到它们两者的关系
也是二倍的关系的话
所以这里的32就变成什么
16
这里是许用的剪应力
同样的
对于第四强度理论
我们得到的横截面
这个圆轴直径的设计公式就变成这样
所不同的就是这个扭距的地方变成多少
0.75
就OK了
这是我们具体的尺寸的这个设计的公式
也已经放在这里了
接下来我们就来看一个具体的一个例子
这个例子呢是来自一个国外的
Popov的这个英文教材里边的一个例子
用第三强度理论设计滚子链
这滚子链是1.75英寸
这样的一个滚子链
传动轴的直径
已知功率20马力的减速箱
通过联轴器驱动
传动轴以63转的转速在那里转动
每一链轮会输出十个马力的功率
这个轴的材料的许用的剪应力
是6ksi
我们结合这里可以看到这是什么
这是电动机通过链轴器
带动这个轴在这里转
而后在这个地方我们可以看到
会输出功率
通过链轮
在这个地方也通过链轮输出功率
输出去了
这是什么
我们可以看到这是B
这个地方的链轮
它是竖直方向
布置的
而这个地方我们看到这C这个位置
在这个地方
它是怎么样
链轮是水平向后这样布置的
那么这里边可能有的同学
可能就不理解的是什么
这ksi是什么意思
这个ksi就是指的什么
千磅每平方英寸
也就是每平方英寸的面积上
作用了一千磅的力
这样的单位就是叫ksi
所以这个就是6ksi
那个磅大概是多少呢
不到中国我们用市斤是吧
500克
它呢不到我们的九两
这就是一磅的这样的重量
英寸呢当然我们知道英寸多少
就这么长是吧
25.4毫米
所以你心里就应该知道
这个单位应该是如何了
我们要分析这个轴的话
对吧要对他的这个
滚子链的轴的直径进行设计的话
我们必须要知道它的受力的情况
它的危险截面在哪里是吧
对于这个危险截面
我们选用强度理论来设计它的尺寸
好
我们来看这里
这里呢说有什么
这个十个马力的这个功率输出去了
那这个链轮我们可以看到这有受力
所以我们要算出这个地方的受力
应该是多少
也就是说这个地方的横向受力是多少
我们就要看C链轮这个地方
水平的横向的受力应该是多少
这是我们要进行计算的
按照这个功率转速与传动的力矩的公式
我们可以得到这样的一个结果
这里的63000就是指的
功率用马力
而后转速是用转数来表示的时候
这个系数是63000
就如同我们之前讲的那个9549
那个系数的意思是一样的
这是系数换算过来的
那么我们来看一下
这应该是等于多少这个扭矩
从这儿我们可以看到是输入了扭矩是吧
那么输入的是多少的功率呢
是20马力的功率
转数是63
所以为什么给63就让大家计算方便
算出来
这个时候他传递的扭距是多少
2万磅英寸
是这么大的一个扭矩
而后从这儿输出去一半
从这儿又输出去一半
所以它输出去一半
这变成多少了
就变成10
再输出一半10
就从这往后就变成零了
好
这时候我们其实是可以画出它的什么
扭矩图
而后我们再根据各部分受的扭矩的情况
链轮那儿的受力我们就可以计算出来了
在这个地方我们可以看到
这个地方尺寸告诉我们了
10.632
那么这个时候扭矩呢我们看到是十
除以这个半径
除以半径我们可以看到这个力应该是多少
1.88千磅
同样道理
在这个地方水平的这个力
我们也可以算出来
这也是10
这是一半输出去是10
除以这个半径是多少
这里面也已经告诉我们了
是多少
7.313
这是直径除以二就变成半径
算出来这个地方的力
横向力是2.73千磅
那么一个是这个方向的横向力
另一个呢是向后的横向力
我们就根据它实际的
这个受力的情况
我们可以计算出这里的约束力是多少
这里的约束力是多少
而后画它的弯矩图
那么我们可以画出它的扭矩图和弯矩图
从一开始这轴进来
我们看到它先输入了是
20马力的话
那么对应的这个地方的扭矩
我们可以看到是20是吧
而后输出去10的话
从这到这就变成10又输去10的话
从这到这儿就是零
所以我们画出这个轴的它的扭矩图
像底下那个图所示的那样
好了
那现在我们需要画的是什么
弯矩图
由于两个横向力的方向不一样
一个是竖直方向的
一个是水平方向的
所以我们就在铅垂面和水平面
分别来画它的弯矩图
就相当于铅垂面只有一个向上的
一个集中力
而在水平面上在C位置
有一个向后的一个集中力作用
所以它的这个弯矩图都是这样
像山型的
三角形的
这个就是水平面里的
那你说危险截面在哪里
我们可以看到
如果从扭矩的角度来看的话
从这儿到这儿是危险截面
如果结合上弯矩呢
我们可以看到这个面弯矩比较大
扭矩也是很大的最大
那这个面我们看到弯矩比较大
但是看它的扭距就变成了10
两个结合起来
一个是
这儿弯矩值比较大
六点几
那么在这儿我们看到它出来是四点几
而在这呢是三点几
这我们可以看到更大一些
这两个方向是相互垂直的
我们把这个时候水平面的
弯矩图和竖直面的弯矩图
我们画的一个立体的
大家来看一下
这个最大值是九点几是吧
那么这个地方呢是它的一半小一点
这个呢是六点几
这是它的一半三点几
你想想两者的平方和
两者的平方和哪个大一点
显然在这个C截面上
两个的平方和要大于这两个平方和
更何况这底下
它的扭距还是最大的
所以危险截面就是这个截面
那么我们就可以按照刚才我们得到的
这个圆轴的它的设计公式
来进行它的直径尺寸的设计了
那么d就应该大于等于16π
许用剪应力
根号M平方加上T平方
别忘了题目要求我们用第三强度理论
所以应该是这个公式
开三次方
那么我们需要把弯矩和扭矩算出来
扭矩没问题
刚才说了是在这里是20
弯矩那就应该是在这里的
水平的最大弯距和对应的这个位置的
铅垂面的这个弯距
在这一点是3.13
所以它就是3.13的平方加上9.1的平方
再加上扭距的平方开方
算出来492
代到这个里边去
同时要注意到它是6
开三次方
我们算出来结果是什么
2.66英寸
这个就是这个传动轴
它的尺寸
至少应该是多少
应该是这么大
比这个再大一点
那就当然是更安全的了
你去查一些机械设计手册
按照它的尺寸的一些系列
你去相对的进行一些圆整
找出来比它稍微大一点的那个数字就可以了
这个就是我们
用一个实例来讲的一个有关
轴的强度设计的计算过程
今天我们就是给大家介绍了
圆轴的强度设计
我们说圆轴横截面上危险点
它是一个平面应力状态
所以我们按照第三强度理论或者第四强度理论
推导出了相应的尺寸的设计公式
为什么用第三和第四强度理论
因为这个机器的传动轴它是非常重要的零部件
我们往往采用的是韧性的材料
好
今天的知识点的内容就介绍到这里
谢谢大家
-1-1 材料力学的任务
--材料力学的任务
--第1-1节作业
-1-2 基本假设、内力、杆的基本变形
--第1-2节作业
-1-3 弹性杆受力的普遍情况与课程内容简介
-2-1 应力,轴力与轴力图,杆横截面上的正应力
--第2-1节作业
- 2-2 应变,杆斜截面上的应力
--第2-2节作业
- 2-3-1 材料的力学性能(一)
--第 2-3-1作业
- 2-3-2 材料的力学性能(二)
--第 2-3-2作业
-2-4-1 胡克定律、轴向变形和泊桑比
--第 2-4-1作业
-2-4-2 安全系数,许用应力,许用载荷
--第 2-4-2作业
-2-5-1 静不定(超静定)系统
--第 2-5-1作业
-2-5-2 静不定(超静定)系统(续)
--第 2-5-2节作业
-2-6 热应力和变形
--热应力和变形
--第 2-6节作业
-2-7 剪切和挤压
--剪切和挤压
--第 2-7节作业
-3-1 扭转,扭矩
--扭转,扭矩
--第 3-1节作业
- 3-2 剪应变,剪应力互等,剪切胡克定律
--第 3-2节作业
-3-3 受扭转构件横截面上的剪应力
--第 3-3节作业
- 3-4 扭转变形
--扭转变形
--第 3-4节作业
-3-5 扭转构件的设计 扭转静不定
--第 3-5节作业
-4-1 梁,平面弯曲,直接求解梁的内力
-4-2 剪力图和弯矩图及一些规律
--第 4-2节作业
-4-3 积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--第 4-3 节作业
-5-1 弯曲正应力
--弯曲正应力
--第 5-1节作业
-5-2 横截面关于中性轴的惯性矩
--第 5-2节作业
-5-3 梁的设计
--梁的设计
--第 5-3节作业
-5-4 弯曲剪应力
--弯曲剪应力
--第 5-4节作业
- 6-1 挠曲微分方程,边界条件
--第 6-1节作业
-6-2 积分法
--积分法
--第 6-2节作业
-6-3 静不定
--静不定
--第 6-3 节作业
-6-4 叠加法
--叠加法
--第 6-4节作业
-6-5 简单静不定梁
--简单静不定梁
--第 6-5节作业
- 7-1 二向应力状态(薄壁压力容器)、三向应力状态
--第 7-1节作业
-7-2 平面应力变换
--平面应力变换
--7-2 节作业
- 7-3 图解法-莫尔圆 广义胡克定律
--第 7-3节作业
-7-4 强度理论概述 断裂准则
--第 7-4节作业
-7-5 屈服准则
--屈服准则
--第 7-5节作业
-7-6 莫尔强度理论
--莫尔强度理论
--第 7-6节作业
- 8-1 关于两个主轴的弯曲
--第 8-1节作业
-8-2 拉压与弯曲的组合变形,直接剪力与扭转剪切的组合
--第 8-2节作业
-8-3 弹性设计
--弹性设计
--第 8-3节作业
-8-4 梁的弹性设计
--梁的弹性设计
--第 8-4节作业
-8-5 轴的强度设计(弯扭组合)
--轴的强度设计
--第 8-5节作业
-8-6 提高梁抗弯能力的措施
--第 8-6节作业
-9-1 屈曲 细长压杆的临界压力
--第 9-1节作业
-9-2 欧拉公式的适用范围,临界应力与长细比,经验公式
--第 9-2节作业
-9-3 提高压杆稳定性的措施
--第 9-3节作业
-10-1. 冲击,动荷系数
--冲击,动荷系数
--第 10-1节作业
-10-2. 用动静法求应力和变形 冲击韧性
--第 10-2节作业
- 11-1 交变应力、持久极限
--第 11-1节作业
-11-2 影响持久极限的因素
--第 11-2节作业
-11-3 疲劳强度
--疲劳强度
--第 11-3节作业
-12-1 应变能
--应变能
--第 12-1节作业
-12-2 互换定理
--互换定理
--第 12-2节作业
-12-3 卡氏定理,应用
--卡氏定理,应用
--第 12-3节作业
- 12-4 卡氏定理应用:虚构载荷法
--第 12-4节作业
- 12-5 虚功原理,单位载荷法,莫尔积分
--第 12-5节作业
-12-6 图乘法
--图乘法
--第12-6节作业
- 13-1 静不定结构、正则方程(一次静不定)
--第 13-1节作业
- 13-2 正则方程(高次静不定系统)
--第 13-3 节作业
-13-3 利用对称性与反对称性分析静不定结构
--第 13-4节作业