当前课程知识点:材料力学 > 第六章 弯曲变形 > 6-3 静不定 > 静不定
各位同学大家好
今天我们来用积分法求解静不定梁的变形
我们以例题的形式来说明
大家来看
我们现在有一个静不定梁
这个梁两端给它固定住了
上面作用有向下的均布的载荷
这个载荷它的集度
大小是w0
我们要求这个梁的它的挠曲线的表达式
显然这个梁
它要分析它两端的约束力的话
我们可以看到这里有RA和RB
这边固定住不转
所以有反力偶MA和MB
由于RA和MA
我们现在求不出来
用二阶的挠曲微分方程来求截面的弯矩的话
显然是求不出来的
因此我们就用四阶的挠曲微分方程来进行求解
为什么
因为q是知道的啊
注意了
由于w0是向下的
所以q应该等于-w0
我们给它带到挠曲微分方程里面去
我们对它进行连续的积分
积分一次
再积分一次
再积分
好了
得到这样的一个结果
下面我们就要用它的边界条件
来确定相应的它的积分常数
我们来看看
左端它的边界条件
固定住了不能动
所以挠度是0
转角是0
由此我们可以确定出来这里的积分常数是吧
从这儿来看x等于0
前面这些都是0
这里面可以看到
就是挠度
那么因此在这儿等于0
C4我们可以看到等于0
很快可以确定出来了
好
那么转角在这儿也是得0
可以看一下
在这个地方转角等于0
x等于0
在这儿等于0
所以C3也等于0
而后还有C1 C2
我们来看右端的边界条件
x等于L的时候
挠度是0
转角也是0
固定住了
那么我们就来看看后边的这个情况
来确定C1 C2
它们应该都应该怎么样呢
应该在这个地方等于0
我们有两个方程
可以求出C1和C2来
得到的结果显示在这里
具体的求解大家都会
我们不多讲了
求出这些积分常数
当然代到这里面去
C1 C2等于什么
这C3 C4等于0了
那么它的这个挠曲线表达式就已经求出来了
如果只是按照题目的要求
只是求它挠曲线的表达式
我们的任务到现在就完成了
那现在我们想多做一点事情
多做什么事情呢
能不能求出这里的RA和MA来
能不能把这个静不定的问题给它解决了
那么我们来看一下
好还是说
这里假设它的约束力RA
它的反力偶MA
那这个时候
从这儿开始算起
是x的正方向了
从这儿到这儿是x
我们来看看这x截面上的
它的弯矩应该是多少啊
用截面法截开
从这儿截开
我们研究左半段的话
那这个地方的它的弯矩就是M(x)
对它取矩
我们可以看到RAx+Ma-W0x平方/2
所以我们可以看到弯矩的表达就有了
在这个基础上
我们对它进行积分
积分一次
有一个积分常数了
再积分一次
又有一个积分常数
那这个时候呢
我们还是要利用边界条件来对它进行分析
我们可以看到
这里面边界条件依然是什么
x等于0的时候不能移动
挠度为0不能转动
转角为0
因此我们可以确定出来
现在的这个积分常数C3 C4
在这儿我们可以看到
在这儿转角等于0
C3等于0
在这儿挠度等于0
C4等于0
我们可以确定出来了
另外我们还需要利用右端的边界条件
x=L的时候
它也是固定住的
挠度没有
转角没有
都应该等于0
因此我们从这儿可以确定出来
这里的RA和MA应该等于多少
那这C3 C4等于0的话
那C3等于0的话
我们可以看到x=L啊
代进去
就剩下MA和RA未知
这个地方也是一样
因此得到了下面两个方程
联立求解这两个方程
我们就可以得到RA和MA是多少了
看到了
那么RA MA得到的话
那这边相应的这个RB MB也就能求出来了
那这个时候我们可以看到
这个时候它的弯矩随着截面变化的情况
我们也能知道
可以画出它的弯矩图
同样的我们也可以画出它的剪力图
那这个时候可以看到
这是整个梁的
这个静不定梁的它的剪力图
这是它的什么弯矩图可以看到
在这个范围里面
我们可以看到弯矩是小于0的
在这个范围里面弯矩是大于0的
在这个范围里面弯矩又小于0
我们讲弯矩大于0它的变形应该是这样的
挠曲线它就是一个开口朝上的一条曲线
而弯矩小于0呢
它就应该是这样的变形
那挠曲线就应该是开口朝下的
所以在弯矩等于0的时候
刚好就是什么
挠曲线出现拐点
凹凸向发生变化的地方
那么这个呢
可以看到
我们用这个挠曲微分方程进行求解
还把一个静不定问题解决了
是吧
所以我们大家都是有很好的本事
能很好的解决这样的问题
这是我们看的第一个静不定梁的情况
下面我们再来看一个例子
我们看到这都是什么
我们讲定铰支座辊轴支座
这是一个双跨梁
上面有均布的载荷向下的
载荷集度的大小是w0
我们来用二阶的挠曲线微分方程
来求求这个梁它的挠曲线的表达式
现在我们来看每一跨是多长呢是L
怎么求解呀
如果我们对整个梁一起来分析的话
我们看看能不能写出它的弯矩的表达式
因为这里用的是什么
二阶的
大家来看在这儿有约束力
当然我们可以看到在A和C也有约束力
它们构成了平面的平行力系
两个独立平衡方程
三个未知量
所以它是一个静不定的梁
这样的双跨梁静不定的梁
显然我们无法把它们都求出来
我们只能知道对称性
它和它相等
所以整个梁的分析
整体从这儿到这儿一块儿分析
并不方便
刚才已经说了
说它因为有对称性
我们能不能就分析它的一半
分析一半就好像是一个什么
简支梁一样的
是不是
所以研究一半
好比说AB好不好
我们看看
载荷没有问题左端也没有问题
边界条件也好写
现在我们要好好考虑一下
B这个位置
如果我们分析一半的话
那它的边界条件和一般的这个
简支梁均布载荷作用时候的边界条件
是不是一样的啊
那如果没有这一半的话
我们讲就是普通的简支梁的情况 是吧
那这个时候呢
我们讲这个地方它的转动不受限制
所以这个地方的弯矩就应该等于0
能有一个这样的一个边界条件
但是它是怎么样呢
如果分析一半的话
我们是这个双跨梁里面截了一半来分析
那它的这个边界条件还存在吗
我们已经说了
整个梁关于中间是具有什么对称性的
既然它是关于中间这个位置具有对称性的话
大家想想B截面它的转角
没错
B截面的转角就应该是0
否则你想想往这么转
还有关于它对称的吗
左右对称吗
不对称了
往这边呢
也不对称
所以只可以B截面的转角等于0
这是和普通的那个简支梁
边界条件不一样的地方
这一点是非常重要的
所以我们可以看到
在B处的它的边界条件x=L的时候
那么挠度等于0
注意是截面的转角等于0
当然A截面的地方
x=0
它的挠度和弯矩都等于0
还跟之前是一样的
好啦
现在我们来看看它的这个挠曲微分方程
假如说它就是RA的话
我们可以写出来距离左端x这个截面上
它的弯矩应该是多少 对吧
研究左半段我们可以看到正方向M(x)
应该是多少
我们可以看到它就应该等于RAx-1/2w0x平方
所以我们给它带到挠曲微分方程里边去
就得到怎样的结果
我们开始了啊
积分一次得到这个结果
再积分一次是这个结果
每积分一次一个积分常数对吧
C1 C2
现在我们就要利用刚才所总结出来的
边界条件来求这些C1 C2以及RA
带入边界条件
x等于0的时候它的挠度等于0
因此我们可以得到了挠度等于0
这个时候我们可以看到
这是0
所以C2等于0求出来了
而后我们要看x等于L的时候
那么它的挠度等于0
同时
它的这个截面的转角也应该等于0
两个代进去
所以就得到了关于C1和RA两个方程
联立求解这两个方程
我们就可以求得C1和RA应该是多少
求得的结果我们写到这里
RA=3w0L/8
C1也求出来了
带到那个式子里面
我们就可以得到了
这个梁这半段的它的挠曲线表达式
或者讲挠曲线方程
由于对称性
我们也可以写出这半段的
是吧
这边是跟这边的变形是对称的
是对称的
那现在说RA求出来了
那你看看RB和RC是不是也能求出来了
显然对称性
我们可以看到这RC也应该跟RA是一样的
是吧3w0L/8
那这个时候RB是多少呢
我们根据平衡条件
我们可以得到它就应该等于5w0L/4
那我问大家
现在你能够分析一下
B截面的它的剪力是多少吗
那么显然这个时候
我们可以看到有集中力作用的话
作用在B位置的话
我们讲剪力图就会有什么呀
有突变 是吧
那突变的值就是谁呀
就是RB
所以B-面和B+面
它的剪力是不一样的
你自己试试画
这个剪力是怎样的
好吧 好
好
那这个就是我们今天看到的
我们利用挠曲微分方程
我们还求解出来了静不定梁的这个问题
不仅求得了它的变形的状况挠曲线方程
而且我们还求出来了它的约束力
能够得到它截面的内力包括剪力包括弯矩
好 这就是我们今天所给大家介绍的内容
谢谢大家
-1-1 材料力学的任务
--材料力学的任务
--第1-1节作业
-1-2 基本假设、内力、杆的基本变形
--第1-2节作业
-1-3 弹性杆受力的普遍情况与课程内容简介
-2-1 应力,轴力与轴力图,杆横截面上的正应力
--第2-1节作业
- 2-2 应变,杆斜截面上的应力
--第2-2节作业
- 2-3-1 材料的力学性能(一)
--第 2-3-1作业
- 2-3-2 材料的力学性能(二)
--第 2-3-2作业
-2-4-1 胡克定律、轴向变形和泊桑比
--第 2-4-1作业
-2-4-2 安全系数,许用应力,许用载荷
--第 2-4-2作业
-2-5-1 静不定(超静定)系统
--第 2-5-1作业
-2-5-2 静不定(超静定)系统(续)
--第 2-5-2节作业
-2-6 热应力和变形
--热应力和变形
--第 2-6节作业
-2-7 剪切和挤压
--剪切和挤压
--第 2-7节作业
-3-1 扭转,扭矩
--扭转,扭矩
--第 3-1节作业
- 3-2 剪应变,剪应力互等,剪切胡克定律
--第 3-2节作业
-3-3 受扭转构件横截面上的剪应力
--第 3-3节作业
- 3-4 扭转变形
--扭转变形
--第 3-4节作业
-3-5 扭转构件的设计 扭转静不定
--第 3-5节作业
-4-1 梁,平面弯曲,直接求解梁的内力
-4-2 剪力图和弯矩图及一些规律
--第 4-2节作业
-4-3 积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--第 4-3 节作业
-5-1 弯曲正应力
--弯曲正应力
--第 5-1节作业
-5-2 横截面关于中性轴的惯性矩
--第 5-2节作业
-5-3 梁的设计
--梁的设计
--第 5-3节作业
-5-4 弯曲剪应力
--弯曲剪应力
--第 5-4节作业
- 6-1 挠曲微分方程,边界条件
--第 6-1节作业
-6-2 积分法
--积分法
--第 6-2节作业
-6-3 静不定
--静不定
--第 6-3 节作业
-6-4 叠加法
--叠加法
--第 6-4节作业
-6-5 简单静不定梁
--简单静不定梁
--第 6-5节作业
- 7-1 二向应力状态(薄壁压力容器)、三向应力状态
--第 7-1节作业
-7-2 平面应力变换
--平面应力变换
--7-2 节作业
- 7-3 图解法-莫尔圆 广义胡克定律
--第 7-3节作业
-7-4 强度理论概述 断裂准则
--第 7-4节作业
-7-5 屈服准则
--屈服准则
--第 7-5节作业
-7-6 莫尔强度理论
--莫尔强度理论
--第 7-6节作业
- 8-1 关于两个主轴的弯曲
--第 8-1节作业
-8-2 拉压与弯曲的组合变形,直接剪力与扭转剪切的组合
--第 8-2节作业
-8-3 弹性设计
--弹性设计
--第 8-3节作业
-8-4 梁的弹性设计
--梁的弹性设计
--第 8-4节作业
-8-5 轴的强度设计(弯扭组合)
--轴的强度设计
--第 8-5节作业
-8-6 提高梁抗弯能力的措施
--第 8-6节作业
-9-1 屈曲 细长压杆的临界压力
--第 9-1节作业
-9-2 欧拉公式的适用范围,临界应力与长细比,经验公式
--第 9-2节作业
-9-3 提高压杆稳定性的措施
--第 9-3节作业
-10-1. 冲击,动荷系数
--冲击,动荷系数
--第 10-1节作业
-10-2. 用动静法求应力和变形 冲击韧性
--第 10-2节作业
- 11-1 交变应力、持久极限
--第 11-1节作业
-11-2 影响持久极限的因素
--第 11-2节作业
-11-3 疲劳强度
--疲劳强度
--第 11-3节作业
-12-1 应变能
--应变能
--第 12-1节作业
-12-2 互换定理
--互换定理
--第 12-2节作业
-12-3 卡氏定理,应用
--卡氏定理,应用
--第 12-3节作业
- 12-4 卡氏定理应用:虚构载荷法
--第 12-4节作业
- 12-5 虚功原理,单位载荷法,莫尔积分
--第 12-5节作业
-12-6 图乘法
--图乘法
--第12-6节作业
- 13-1 静不定结构、正则方程(一次静不定)
--第 13-1节作业
- 13-2 正则方程(高次静不定系统)
--第 13-3 节作业
-13-3 利用对称性与反对称性分析静不定结构
--第 13-4节作业