当前课程知识点:材料力学 >  第六章 弯曲变形 >  6-3 静不定  >  静不定

返回《材料力学》慕课在线视频课程列表

静不定 在线视频

下一节:叠加法

返回《材料力学》慕课在线视频列表

静不定 课程教案、知识点、字幕

各位同学大家好

今天我们来用积分法求解静不定梁的变形

我们以例题的形式来说明

大家来看

我们现在有一个静不定梁

这个梁两端给它固定住了

上面作用有向下的均布的载荷

这个载荷它的集度

大小是w0

我们要求这个梁的它的挠曲线的表达式

显然这个梁

它要分析它两端的约束力的话

我们可以看到这里有RA和RB

这边固定住不转

所以有反力偶MA和MB

由于RA和MA

我们现在求不出来

用二阶的挠曲微分方程来求截面的弯矩的话

显然是求不出来的

因此我们就用四阶的挠曲微分方程来进行求解

为什么

因为q是知道的啊

注意了

由于w0是向下的

所以q应该等于-w0

我们给它带到挠曲微分方程里面去

我们对它进行连续的积分

积分一次

再积分一次

再积分

好了

得到这样的一个结果

下面我们就要用它的边界条件

来确定相应的它的积分常数

我们来看看

左端它的边界条件

固定住了不能动

所以挠度是0

转角是0

由此我们可以确定出来这里的积分常数是吧

从这儿来看x等于0

前面这些都是0

这里面可以看到

就是挠度

那么因此在这儿等于0

C4我们可以看到等于0

很快可以确定出来了

那么转角在这儿也是得0

可以看一下

在这个地方转角等于0

x等于0

在这儿等于0

所以C3也等于0

而后还有C1 C2

我们来看右端的边界条件

x等于L的时候

挠度是0

转角也是0

固定住了

那么我们就来看看后边的这个情况

来确定C1 C2

它们应该都应该怎么样呢

应该在这个地方等于0

我们有两个方程

可以求出C1和C2来

得到的结果显示在这里

具体的求解大家都会

我们不多讲了

求出这些积分常数

当然代到这里面去

C1 C2等于什么

这C3 C4等于0了

那么它的这个挠曲线表达式就已经求出来了

如果只是按照题目的要求

只是求它挠曲线的表达式

我们的任务到现在就完成了

那现在我们想多做一点事情

多做什么事情呢

能不能求出这里的RA和MA来

能不能把这个静不定的问题给它解决了

那么我们来看一下

好还是说

这里假设它的约束力RA

它的反力偶MA

那这个时候

从这儿开始算起

是x的正方向了

从这儿到这儿是x

我们来看看这x截面上的

它的弯矩应该是多少啊

用截面法截开

从这儿截开

我们研究左半段的话

那这个地方的它的弯矩就是M(x)

对它取矩

我们可以看到RAx+Ma-W0x平方/2

所以我们可以看到弯矩的表达就有了

在这个基础上

我们对它进行积分

积分一次

有一个积分常数了

再积分一次

又有一个积分常数

那这个时候呢

我们还是要利用边界条件来对它进行分析

我们可以看到

这里面边界条件依然是什么

x等于0的时候不能移动

挠度为0不能转动

转角为0

因此我们可以确定出来

现在的这个积分常数C3 C4

在这儿我们可以看到

在这儿转角等于0

C3等于0

在这儿挠度等于0

C4等于0

我们可以确定出来了

另外我们还需要利用右端的边界条件

x=L的时候

它也是固定住的

挠度没有

转角没有

都应该等于0

因此我们从这儿可以确定出来

这里的RA和MA应该等于多少

那这C3 C4等于0的话

那C3等于0的话

我们可以看到x=L啊

代进去

就剩下MA和RA未知

这个地方也是一样

因此得到了下面两个方程

联立求解这两个方程

我们就可以得到RA和MA是多少了

看到了

那么RA MA得到的话

那这边相应的这个RB MB也就能求出来了

那这个时候我们可以看到

这个时候它的弯矩随着截面变化的情况

我们也能知道

可以画出它的弯矩图

同样的我们也可以画出它的剪力图

那这个时候可以看到

这是整个梁的

这个静不定梁的它的剪力图

这是它的什么弯矩图可以看到

在这个范围里面

我们可以看到弯矩是小于0的

在这个范围里面弯矩是大于0的

在这个范围里面弯矩又小于0

我们讲弯矩大于0它的变形应该是这样的

挠曲线它就是一个开口朝上的一条曲线

而弯矩小于0呢

它就应该是这样的变形

那挠曲线就应该是开口朝下的

所以在弯矩等于0的时候

刚好就是什么

挠曲线出现拐点

凹凸向发生变化的地方

那么这个呢

可以看到

我们用这个挠曲微分方程进行求解

还把一个静不定问题解决了

是吧

所以我们大家都是有很好的本事

能很好的解决这样的问题

这是我们看的第一个静不定梁的情况

下面我们再来看一个例子

我们看到这都是什么

我们讲定铰支座辊轴支座

这是一个双跨梁

上面有均布的载荷向下的

载荷集度的大小是w0

我们来用二阶的挠曲线微分方程

来求求这个梁它的挠曲线的表达式

现在我们来看每一跨是多长呢是L

怎么求解呀

如果我们对整个梁一起来分析的话

我们看看能不能写出它的弯矩的表达式

因为这里用的是什么

二阶的

大家来看在这儿有约束力

当然我们可以看到在A和C也有约束力

它们构成了平面的平行力系

两个独立平衡方程

三个未知量

所以它是一个静不定的梁

这样的双跨梁静不定的梁

显然我们无法把它们都求出来

我们只能知道对称性

它和它相等

所以整个梁的分析

整体从这儿到这儿一块儿分析

并不方便

刚才已经说了

说它因为有对称性

我们能不能就分析它的一半

分析一半就好像是一个什么

简支梁一样的

是不是

所以研究一半

好比说AB好不好

我们看看

载荷没有问题左端也没有问题

边界条件也好写

现在我们要好好考虑一下

B这个位置

如果我们分析一半的话

那它的边界条件和一般的这个

简支梁均布载荷作用时候的边界条件

是不是一样的啊

那如果没有这一半的话

我们讲就是普通的简支梁的情况 是吧

那这个时候呢

我们讲这个地方它的转动不受限制

所以这个地方的弯矩就应该等于0

能有一个这样的一个边界条件

但是它是怎么样呢

如果分析一半的话

我们是这个双跨梁里面截了一半来分析

那它的这个边界条件还存在吗

我们已经说了

整个梁关于中间是具有什么对称性的

既然它是关于中间这个位置具有对称性的话

大家想想B截面它的转角

没错

B截面的转角就应该是0

否则你想想往这么转

还有关于它对称的吗

左右对称吗

不对称了

往这边呢

也不对称

所以只可以B截面的转角等于0

这是和普通的那个简支梁

边界条件不一样的地方

这一点是非常重要的

所以我们可以看到

在B处的它的边界条件x=L的时候

那么挠度等于0

注意是截面的转角等于0

当然A截面的地方

x=0

它的挠度和弯矩都等于0

还跟之前是一样的

好啦

现在我们来看看它的这个挠曲微分方程

假如说它就是RA的话

我们可以写出来距离左端x这个截面上

它的弯矩应该是多少 对吧

研究左半段我们可以看到正方向M(x)

应该是多少

我们可以看到它就应该等于RAx-1/2w0x平方

所以我们给它带到挠曲微分方程里边去

就得到怎样的结果

我们开始了啊

积分一次得到这个结果

再积分一次是这个结果

每积分一次一个积分常数对吧

C1 C2

现在我们就要利用刚才所总结出来的

边界条件来求这些C1 C2以及RA

带入边界条件

x等于0的时候它的挠度等于0

因此我们可以得到了挠度等于0

这个时候我们可以看到

这是0

所以C2等于0求出来了

而后我们要看x等于L的时候

那么它的挠度等于0

同时

它的这个截面的转角也应该等于0

两个代进去

所以就得到了关于C1和RA两个方程

联立求解这两个方程

我们就可以求得C1和RA应该是多少

求得的结果我们写到这里

RA=3w0L/8

C1也求出来了

带到那个式子里面

我们就可以得到了

这个梁这半段的它的挠曲线表达式

或者讲挠曲线方程

由于对称性

我们也可以写出这半段的

是吧

这边是跟这边的变形是对称的

是对称的

那现在说RA求出来了

那你看看RB和RC是不是也能求出来了

显然对称性

我们可以看到这RC也应该跟RA是一样的

是吧3w0L/8

那这个时候RB是多少呢

我们根据平衡条件

我们可以得到它就应该等于5w0L/4

那我问大家

现在你能够分析一下

B截面的它的剪力是多少吗

那么显然这个时候

我们可以看到有集中力作用的话

作用在B位置的话

我们讲剪力图就会有什么呀

有突变 是吧

那突变的值就是谁呀

就是RB

所以B-面和B+面

它的剪力是不一样的

你自己试试画

这个剪力是怎样的

好吧 好

那这个就是我们今天看到的

我们利用挠曲微分方程

我们还求解出来了静不定梁的这个问题

不仅求得了它的变形的状况挠曲线方程

而且我们还求出来了它的约束力

能够得到它截面的内力包括剪力包括弯矩

好 这就是我们今天所给大家介绍的内容

谢谢大家

材料力学课程列表:

第一章 绪论

-1-1 材料力学的任务

--材料力学的任务

--第1-1节作业

-1-2 基本假设、内力、杆的基本变形

--基本假设、内力、杆的基本变形

--第1-2节作业

-1-3 弹性杆受力的普遍情况与课程内容简介

--弹性杆受力的普遍情况与课程内容简介

--第1-3节思考题讨论

第二章 拉伸、压缩与剪切

-2-1 应力,轴力与轴力图,杆横截面上的正应力

-- 应力,轴力与轴力图,杆横截面上的正应力

--第2-1节作业

- 2-2 应变,杆斜截面上的应力

--应变,杆斜截面上的应力

--第2-2节作业

- 2-3-1 材料的力学性能(一)

--材料的力学性能(一)

--第 2-3-1作业

- 2-3-2 材料的力学性能(二)

--材料的力学性能(二)

--第 2-3-2作业

-2-4-1 胡克定律、轴向变形和泊桑比

--胡克定律、轴向变形和泊桑比

--第 2-4-1作业

-2-4-2 安全系数,许用应力,许用载荷

--安全系数,许用应力,许用载荷

--第 2-4-2作业

-2-5-1 静不定(超静定)系统

--静不定(超静定)系统

--第 2-5-1作业

-2-5-2 静不定(超静定)系统(续)

--静不定(超静定)系统(续)

--第 2-5-2节作业

-2-6 热应力和变形

--热应力和变形

--第 2-6节作业

-2-7 剪切和挤压

--剪切和挤压

--第 2-7节作业

第三章 扭转

-3-1 扭转,扭矩

--扭转,扭矩

--第 3-1节作业

- 3-2 剪应变,剪应力互等,剪切胡克定律

--剪应变,剪应力互等,剪切胡克定律

--第 3-2节作业

-3-3 受扭转构件横截面上的剪应力

--受扭转构件横截面上的剪应力

--第 3-3节作业

- 3-4 扭转变形

--扭转变形

--第 3-4节作业

-3-5 扭转构件的设计 扭转静不定

--扭转构件的设计 扭转静不定

--第 3-5节作业

第4章 弯曲内力

-4-1 梁,平面弯曲,直接求解梁的内力

--梁,平面弯曲,直接求解梁的内力

-4-2 剪力图和弯矩图及一些规律

--剪力图和弯矩图(一)

--剪力图和弯矩图(二)

--第 4-2节作业

-4-3 积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图

--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图

--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图

--第 4-3 节作业

第五章 弯曲应力

-5-1 弯曲正应力

--弯曲正应力

--第 5-1节作业

-5-2 横截面关于中性轴的惯性矩

--横截面关于中性轴的惯性矩

--第 5-2节作业

-5-3 梁的设计

--梁的设计

--第 5-3节作业

-5-4 弯曲剪应力

--弯曲剪应力

--第 5-4节作业

第六章 弯曲变形

- 6-1 挠曲微分方程,边界条件

--挠曲微分方程,边界条件

--第 6-1节作业

-6-2 积分法

--积分法

--第 6-2节作业

-6-3 静不定

--静不定

--第 6-3 节作业

-6-4 叠加法

--叠加法

--第 6-4节作业

-6-5 简单静不定梁

--简单静不定梁

--第 6-5节作业

第七章 应力状态分析及强度理论

- 7-1 二向应力状态(薄壁压力容器)、三向应力状态

--二向应力状态(薄壁压力容器)、三向应力状态

--第 7-1节作业

-7-2 平面应力变换

--平面应力变换

--7-2 节作业

- 7-3 图解法-莫尔圆 广义胡克定律

--图解法-莫尔圆 广义胡克定律

--第 7-3节作业

-7-4 强度理论概述 断裂准则

--强度理论概述 断裂准则

--第 7-4节作业

-7-5 屈服准则

--屈服准则

--第 7-5节作业

-7-6 莫尔强度理论

--莫尔强度理论

--第 7-6节作业

第八章 组合变形

- 8-1 关于两个主轴的弯曲

--关于两个主轴的弯曲

--第 8-1节作业

-8-2 拉压与弯曲的组合变形,直接剪力与扭转剪切的组合

--拉压与弯曲的组合变形,直接剪力与扭转剪切的组合

--第 8-2节作业

-8-3 弹性设计

--弹性设计

--第 8-3节作业

-8-4 梁的弹性设计

--梁的弹性设计

--第 8-4节作业

-8-5 轴的强度设计(弯扭组合)

--轴的强度设计

--第 8-5节作业

-8-6 提高梁抗弯能力的措施

--提高梁抗弯能力的措施

--第 8-6节作业

第九章 压杆稳定

-9-1 屈曲 细长压杆的临界压力

--屈曲 细长压杆的临界压力

--第 9-1节作业

-9-2 欧拉公式的适用范围,临界应力与长细比,经验公式

--欧拉公式的适用范围,临界应力与长细比,经验公式

--第 9-2节作业

-9-3 提高压杆稳定性的措施

--提高压杆稳定性的措施

--第 9-3节作业

第十章 动载荷

-10-1. 冲击,动荷系数

--冲击,动荷系数

--第 10-1节作业

-10-2. 用动静法求应力和变形 冲击韧性

--用动静法求应力和变形 冲击韧性

--第 10-2节作业

第十一章 交变应力

- 11-1 交变应力、持久极限

--交变应力、持久极限

--第 11-1节作业

-11-2 影响持久极限的因素

--影响持久极限的因素

--第 11-2节作业

-11-3 疲劳强度

--疲劳强度

--第 11-3节作业

第十二章 能量法

-12-1 应变能

--应变能

--第 12-1节作业

-12-2 互换定理

--互换定理

--第 12-2节作业

-12-3 卡氏定理,应用

--卡氏定理,应用

--第 12-3节作业

- 12-4 卡氏定理应用:虚构载荷法

--卡氏定理应用:虚构载荷法

--第 12-4节作业

- 12-5 虚功原理,单位载荷法,莫尔积分

--虚功原理,单位载荷法,莫尔积分

--第 12-5节作业

-12-6 图乘法

--图乘法

--第12-6节作业

第十三章 静不定结构

- 13-1 静不定结构、正则方程(一次静不定)

--静不定结构、正则方程(一次静不定)

--第 13-1节作业

- 13-2 正则方程(高次静不定系统)

-- 正则方程(高次静不定系统)

--第 13-3 节作业

-13-3 利用对称性与反对称性分析静不定结构

--利用对称性与反对称性分析静不定结构

--第 13-4节作业

静不定 笔记与讨论

也许你还感兴趣的课程:

© 柠檬大学-慕课导航 课程版权归原始院校所有,
本网站仅通过互联网进行慕课课程索引,不提供在线课程学习和视频,请同学们点击报名到课程提供网站进行学习。