叠加法在线视频

各位同学大家好

现在我们来学习用叠加原理

现在我们来学习用叠加原理

分析梁的变形

分析梁的变形

我们说当材料处于线弹性的时候

我们说当材料处于线弹性的时候

我们说当材料处于线弹性的时候

它的受力和它的变形之间就是线性的关系

它的受力和它的变形之间就是线性的关系

所以我们研究的系统它就是一个线性系统

可以使用叠加原理来进行分析

可以使用叠加原理来进行分析

比如我们看到的现在的这个梁

它的受力

它的受力

看到了这个简支梁它的受力有这里有个集中力P1

这里有个集中力P2还有均匀分布的在和

这里有个集中力P2还有均匀分布的载荷

这里有个集中力P2还有均匀分布的在和

他的变形的分析

它的变形的分析

他的变形的分析

我们就可以认为是首先P1弦作用

我们就可以认为是首先P1先作用

而后叠加P2再作用

而后叠加P2在作用

再叠加上均布载荷的作用

再叠加上均布载荷的作用

再叠加上均布载荷的作用

我们说叠加原理也可以理解为

力的独立作用原理

力的独立作用原理

力的独立作用原理

本来是分布载荷P1P2共同作用

使这个梁产生了弯曲的变形

使这个梁产生了弯曲的变形

它们共同的结果是这个挠度

它们共同的结果是这个挠度

那么我们可以认为是什么

那么我们可以认为是什么

每一个力每一个力还有这部分力

每一个力每一个力还有这部分力

它们单独作用之后

他们单独作用之后

结果的叠加

结果的叠加

这就是所谓的线性系统

可以使用叠加原理

可以使用叠加原理

可以使用叠加原理

在力学上我们可以认为是叫力的独立作用原理

这种情况是很容易理解的

关键是下面的这种情况

关键是下面的这种情况

我们怎么样来对它进行分析

我们怎么样来对它进行分析

我们怎么样来对它进行分析

这个叠加原理大家要好好想一想

比如说现在我们看到的这个构建是怎么样

比如说现在我们看到的这个构件是怎么样

是这样的一个直角的构建

是这样的一个直角的构件

A端给它固定住

A端给它固定住

这头是自由的C端是自由的

这头是自由的C端是自由的

在C端作用的一个水平向右的集中力

在C端作用了一个水平向右的集中力

在C端作用的一个水平向右的集中力

我们现在就非常关心这个C位置

它的水平的位移是多大

它的水平的位移是多大

那么我们来看一下

那么我们来看一下

那么我们来看一下

在C这个位置做用水平力以后

在C这个位置作用水平力以后

在C这个位置做用水平力以后

AB这一段会不会有变形

AB这一段会不会有变形

我们来看AB的受力

我们来看AB的受力

我们来看AB的受力

我们说当分析构件受力的时候

那么静力学是可以用的

那么静力学是可以用的

是吧

是吧

我们把这个力给它平行的移到B点去

我们把这个力给它平行的移到B点去

按照力线平移定理

移过来以后

那要附加一个力偶附加的力偶

就等于原力对新作用点的矩

就等于原力对新作用点的矩

所以就是什么就是P乘上这个距离

所以就是什么就是P乘上这个距离

这个距离我们看到是a

这个距离我们看到是A

所以我们看到对于AB段就有什么

所以我们看到对于AB段就有什么

有轴力还有什么还有弯矩

有轴力还有什么还有弯矩

那么这个时候弯矩的作用让它会产生什么

那么这个时候弯矩的作用让它会产生什么

那么这个时候弯矩的作用让它会产生什么

弯曲变形了

弯曲变形了

弯曲变形了

那它弯曲变形的话我们看它是什么

那它弯曲变形的话我们看它是什么

这头是什么

这头是什么

是固定端就相当于什么

悬臂梁所以它的变形应该是怎么样的

应该是这样的一种变形的情况

对吧

因此我们可以看到它变形这样子过来了

因此我们可以看到它变形这样子过来了

如果这个时候

如果这个时候

BC段我们认为是刚性的话

它跟B截面紧紧地焊接在一起的话

它跟B截面紧紧地焊接在一起的话

那这个时候它又不变形它是刚性的

这个时候我们看B截面它已经怎么样

这个时候我们看B截面它已经怎么样

随着AB段梁的

随着AB段梁的

随着AB段梁的

这种变形挠曲变形

这种变形挠曲变形

我们可以看到这个时候B截面已经怎么样

我们可以看到这个时候B截面已经怎么样

转了一定的角度了

转了一定的角度了

这个时候BC段跟它垂直

所以BC段就应该是垂直的这样过来的

这个时候C点显然已经什么

这个时候C点显然已经什么

水平的移动了一段距离

水平的移动了一段距离

水平的移动了一段距离

那这段距离是多少

那这段距离是多少

那这段距离是多少

我们可以看到它还是保持直的话

我们可以看到它还是保持直的话

我们可以看到它还是保持直的话

是整体的产生的一个刚性的位移

是整体的产生了一个刚性的位移

是整体的产生的一个刚性的位移

这个刚性的位移我们可以看到

这个刚性的位移我们可以看到

如果这个截面的转角是什么

是 θB的话

是 θB的话

是 θB的话

那这时候整体的这水平位移就是多少

那这时候整体的这水平位移就是多少

我们可以看到这应该是

我们可以看到这应该是

θB乘以这段长度乘以A对吧

θB乘以这段长度乘以a对吧

这是什么这是由于B截面倾斜了

这是什么这是由于B截面倾斜了

带动了这个时候BC的有一个刚性的位移

带动了这个时候BC的有一个刚性的位移

带动了这个时候BC的有一个刚性的位移

这时BC还是直的

这是BC还是直的

但是别忘了现在bc也要考虑它的弹性

但是别忘了现在BC也要考虑它的弹性

所以它还有一个什么也有一个弯曲的变形

所以它还有一个什么也有一个弯曲的变形

所以它还有一个什么也有一个弯曲的变形

为什么

为什么

这个P力作用上来这不是什么

这个P力作用上来这不是什么

横向的力吗

横向的力吗

横向的力吗

所以它还有一个弯曲的变形

所以它还有一个弯曲的变形

所以它还有一个弯曲的变形

那这个弯曲的变形应该怎么算

那这个弯曲的变形应该怎么算

那这个弯曲的变形应该怎么算

我们要来考察一下

我们要来考察一下

AB段B对于BC的约束作用

AB段B对于BC的约束作用

因为它们连在了一起

因为它们连在了一起

因为它们连在了一起

所以它不会在这里怎么样

所以它不会在这里怎么样

所以它不会在这里怎么样

裂开了是不是

裂开了是不是

也不会在这什么错动了

也不会在这什么挫动了

所以AB段对于BC段在B位置的约束

所以AB段对于BC段在B位置的约束

又不能移也不能什么裂开

这样相对的有转角

这样相对的有转角

所以这种相对的约束就是一个什么

所以这种相对的约束就是一个什么

没错就是一个固定的约束

没错就是一个固定的约束

没错就是一个固定的约束

所以我们可以看那对于BC段的变形

所以我们可以看那对于BC段的变形

就相当于这是固定住了

就相当于这是固定住了

就相当于这是固定住了

就相当于这是固定住了

而后在直的这个状态又发生了一个弯曲的变形

然后在值的这个状态又发生了一个弯曲的变形

所以这时候C点到哪里就到了这里

所以这时候C点到哪里就到了这里

我们可以来分别计算这两部分应该是多少

我们可以来分别计算这两部分应该是多少

我们可以来分别计算这两部分应该是多少

而后再把它加起来

就是C点的水平位移

就是C点的水平位移

我们可以看到

我们可以看到

第一部分是随着B截面转动

第一部分是随着B截面转动

整个BC像钢铁一样转动了一个角度的

整个BC像钢铁一样转动了一个角度的

这个叫什么

这个叫什么

这个叫什么

θB乘以a这是刚性位移引起来的

θB乘以A这是刚性位移引起来的

C点的水平位移

C点的水平位移

C点的水平位移

然后再是BC自身的变形所引起来的

然后再是BC自身的变形所引起来的

然后再是BC自身的变形所引起来的

C点的水平位移

C点的水平位移

相当于悬臂梁一样

相当于悬臂梁一样

相当于悬臂梁一样

所以就Pa3/3EI

所以就是

所以就Pa3/3EI

那么这个θB我们可以通过这里的分析

那么这个θB我们可以通过这里的分析

那么这个θB我们可以通过这里的分析

它是谁它是在这个

它是谁它是在这个

MB的作用下产生的转角我们可以算出来

MB的作用下产生的转角我们可以算出来

这个时候我们可以看到这个M乘以L比上EI

这个时候我们可以看到这个M乘以L比上EI

然后乘以A

然后乘以a

在这里边显然我们是把谁忽略不计了

我们把AB段的什么身长是忽略不计的

我们把AB段的什么身长是忽略不计的

所以它就应该是这两部分的和

所以它就应该是这两部分的和

所以这样的分析可能是我们未来说更多见的

你要注意这样的一个情况

这是我们看的两个例子

这是我们看的两个例子

接下来我们看一下书上给我们列了一个表

接下来我们看一下书上给我们列了一个表

表六一

表六一

表六一

就是悬臂梁

就是悬臂梁

还有简支梁

在各种载荷情况下

在各种载荷情况下

梁上一点的它的挠度

梁上一点的它的挠度

以及它的对应的转角应该是多少

列出了这样的表格

以及这个时候相应的梁

它的最大的挠度

最大的转角应该是多少

列出来了

我们可以看到这什么悬壁梁

这个时候受的这个载荷是什么呀是不是不同

这还有什么均布载荷的情况

另外还有我们列出来的可以看到那什么简支梁

不同的载荷的情况

它对应的这个它的挠度

以及转角的表达式都有了

还有后边的简支梁各种载荷情况的结果

只是列出来悬臂梁和简支梁的情况

我们可以通过查这些表格

来快速的比较快速的计算出

相应的一些梁受了一些载荷

那么它的这个变形的情况如何

接下来我们看一些例子

我们说叠加原理

还可以非常有效地用来进行什么

分析静不定梁它的变形的情况

而且我们还可以进一步求出来

这些个约束力是怎么样的

比如说我们曾经见过的

上一讲我们看到的这个双跨梁的情况

现在我们把这个B这个约束作为多余约束

它对梁的作用我们以它的约束反力来表示

所以就变成了一个什么

简支梁在这样的均布载荷

以及在这的集中力作用下的一个结果

这个悬臂梁在均布载荷作用下

中点的它的这个变形的情况

我们一查表很快就可以知道了

同样的简支梁在这个集中力作用的时候

它中点的挠度是多少

我们查表也很快可以算出来

那么它们叠加起来就应该是这个情况

对吧

那么这个情况是什么我们看到在这地方

这个多余约束作用的地方

它是约束住了

它那个地方是不允许有挠度的

所以这个地方产生的挠度是向下是负的话

那这个向上就是正的它俩叠加起来

就应该满足这个地方的原有的边界条件

或者讲约束条件

所以我们可以写出来

B点的挠度等于这个挠度

和这一点挠度之和等于什么

这不能动等于0

这叫什么

这不就是变形协调条件吗

显然在这个里边

我们讲会有这个RB

也就说这个方程里边会出现未知量RB

那么由它我们可以把它求出来

它求出来两端的约束力也就都求出来了

是吧

利用平衡方程也就都求出来了

那这个就是我们利用的叠加原理

可以有效的分析静不定梁

接下来

我们就来看看叠加原理的具体的应用的情况

现在我们有一个悬臂梁

上面有均布的载荷

载荷集度是q

这个时候在自由端还有一个向上的集中力P作用

我们来求一求这个梁自由端

它截面的挠度和转角是多少

量的弯曲刚度

已经知道了是一个常量

显然这个梁它在这儿这个整体变形的情况

就等于q单独作用的时候的情况

叠加上P单独作用的情况

是吧

现在我们就分别来考虑P和q的作用

对于P单独作用的时候

我们可以查刚才我们所说的那个6.1表

我们可以查出来

第二栏里边我们可以查出来它对应的

挠度转角应该是多少最大的这个挠度出现的地方

是吧

我们可以看到应该在这个地方

这个时候那表里边画的这个集中力是向下的

所以它出的这个结果这可能就是负的

那我们现在是向上了

所以要注意这个

我们在这儿的这个结果就应该是正的

对应的这个转角也是正的

直接查表可以得出来

接下来还要看什么还要看q单独作用的情况

我们也可以在书上的6.1那个表里边

我们查的第四栏可以看到是什么

悬臂梁均布载荷作用的情况

它向下

所以这个时候我们可以看到

转角还有挠度都是负的

因此我们看到我们现在q也是向下

所以依然也都是负的

结果在这里

那q和P共同作用就等于它们单独作用的什么

结果的和

最后我们用叠加原理把两者叠加起来

就可以得到了这个时候B截面的转角

B截面的它的挠度应该是多少

这就是什么叠加原理

那么我们再来看这个例子

这是一个悬臂梁

自由端作为一个垂直向下的一个集中力的作用

而后注意了整个量的长度是2a

它只在什么右半段靠近自由端这半段

作用有向下的均匀分布的一个载荷作用

让我们来求求这个梁的最大的挠度

和最大的截面转角

大家一想就知道了

那头固定这头是自由的

所以它的这个变形的情况是什么

我们很快的可以知道应该是什么样

应该是这样的一个结果

因此在自由端它会有什么

最大的挠度和最大的转角

那现在大家去到书上6.1那个表去看看

那悬壁梁有部分这样的均布载荷作用的情况吗

说没有那怎么办

没关系好在它是线性系统

对吧

所以我们可以考察成什么

可以给它考虑成现在集中力作用的情况

而后怎么样呢

我们把这个什么给它补全了

补全的话等于这一半这个作用是怎么样的

是你多加的

所以你还要把这一部分还要怎么样还要去掉

去掉就等于什么加上什么负的

所以再叠加上这个复的这种情况

跟它反方向那载荷一叠加不是这部分就没了吗

就相当于这样的一个情况

所以原有的这个梁的受载的情况

就可以给它拆分成这儿

有一个集中力

而后整个均匀向下

分部的载荷

还有从固定端开始的均匀分布的向上的载荷的作用

三部分的叠加

这种情况我们知道它挠度转角是多少没问题

这个情况我们直接查表也可以

求得

这种情况呢

我们查表能够得到什么

我们能得到的是什么

是在这个地方它的挠度

它的截面的转角应该是多少

是吧

那大家来看这个时候第三种情况

右半段

有内力吗

比如说我们从这截面法截出来研究右半段

没有外力

当然内力是零

没有内力它有变形吗

没有变形

所以现在右半段

它会有一个什么

是整体的刚性的位移

这个整体的刚性位移是什么我们可以看到

首先它是随着这个截面向上

一起位移了一部分

但是这个截面并不是说始终是这样子的

一个截面

由于它弯曲变形

所以这个截面除了有个挠度之外

这个截面还怎么样

这样的转动了

所以这个时候这边自由端

它的位移的情况就是

首先跟着它平行的移动了这么多

是吧

到了这个地方

然后这个截面又转动了

由于转动引起来它又往上位移了这么多

因此我们可以看到这种情况下

这个时候自由端

这个截面B截面

在这种情况下它的挠度就应该等于什么

等于C处的挠度

再叠加上C截面转角再乘以什么

这一段长度

所以我们可以看到就应该等于yc+θ3 a

三部分叠加我们就可以算出它的结果了

那么这个时候我们可以看到P单独作用的时候

我们查表可以看到说等于PL^2/2EI

这是转角

现在l是多少2a

带进去所以是它

然后我们查表是什么PL^3/3EI

l是多少2a

结果就是它

注意方向由于P是向下的

所以都是什么负的

我们再来看q

作用在整个AB梁的时候

那么我们那时候查表可以看到是qL^3/6EI

l是两2a进去所以是它

那q开始时候都是什么

这时候我们可以看到是补全了

全部是向下的

所以它是负的

同样的qL^4/8EI

向下负的l是2a结果是它

我们再来看

只是靠近固定端一半的地方

作用有向上的q的时候

那么我们查表可以得到了

这个地方类似的是什么qL^3/6EI

l是什么

我们可以看到是a

挠度呢qL^4/8EI

l是多少是a

结果是这样

那吗我们再来看这个地方

它的这个挠度

那么我们可以看到yc+θ3×a

带进去结果出来是这么多

三种情况我们都分析完了

现在就是怎么样直接的叠加了

我们注意到最后这一段

它没有变形

它依然是保持一个直的状态

所以这个时候我们可以看到

这个地方的转角和C截面应该是怎么样一样的

对吧

那么因此最大的转角θ1θ2θ3三者叠加

我们最后的结果是这样

为什么都变成了是qa

我们在一开始已经告诉大家

看到那个P它就等于qa带进去出现这样的结果

最后挠度y1y2y3加起来

结果是这样

是负的意思就是什么

挠度负的说明它的位移是怎么样向下的

转角负的是怎么样

它的转动是怎么样

是顺时针方向的可以看到

这个就是我们要灵活的

应用那个书上给我们的6.1表格

比如说这个载荷的情况

靠近固定端的时候有这样分布载荷

我们能查表得出来

如果那边是空的的话

怎么办呢

对我们给它补齐了

而后加上反方向就等于减掉了是吧

这就是一种灵活应用的一个典范

希望这样的做法对大家有帮助

我们再来看一个例子

现在可以看到了这是什么我们可以看到

是一个外伸梁的情况

在外伸的那一段上作用有向下的均布载荷

载荷集度是q

整个梁

它的弯曲刚度是一样的

是一个常数

现在我们要求这个外伸梁

在C截面的挠度以及在B截面的转角

现在同学可能就有疑问了

一看6.1表

哪里有外伸梁

没有外伸梁现在大家想想

我们能不能利用那个6.1表的那个结果来分析它

首先一个问题是什么

我们外伸段作用有这样的载荷的话

大家想想AB段有没有变形

那么我们来看AB段的受力的话

对吧

我们讲分析构件受力的话

那静力学依然是可以用的

那么我们把现在的这个q力给它向B点简化

能够变成什么样

我们看一下

它向B点简化我们得到一个主矢

就是所有力的矢量和

所以就是q乘以a

是这个大的Q还有所有力要对于B点取矩

就是主矩了

应该是多少它对B点取矩qa^2/2的平方

是吧

这个就是我们得到的主矩

这就是我们所说的向B点简化的情况

那现在我们看到了这个集中力

作用在支座这个位置

它显然就从这儿传到基础上就去了

不会引起梁的弯曲变形

那现在我们来看这个弯矩呢

你想想

这边这样弯它的话

这边显然怎么样是不是鼓起来变形了

对这就是现在它AB段的挠曲线的情况

这时候它这么变形的话

显然这个时候B截面它是有什么

是不是有转角它有转角

如果BC是刚性的话

它就会随着B转动的情况产生了什么

整体的刚性位移

整体的刚性位移

所以这个地方现在的这个挠度就应该等于什么θB乘以 a

引起的挠度

那现在说了整个梁的它都是要有什么

EI的

也都是要考虑它的弹性的

也就是说BC也是要发生什么弯曲变形的

对吧

你看横截面上它是有弯矩的

所以这一点也是要弯曲变形的

它的弯曲变形应该是在什么基础上

是在这个直的基础上再弯曲变形

那我们分析这一段的这个变形的时候

那这儿的边界条件是怎样的

AB对于BC的约束又是怎样的

我们看到它因为连续

所以在B截面你的B-截面或者是B+截面

那这个时候我们可以看到两者是怎么样的

不能错动的

也没有这样或这样裂开的

所以这B+B-面呢它们应该是紧密的一直待在一起

不能分开的

也就是说这挠度应该一样

对吧

不能有相对的这种错动

所以相对挠度得零

还有你这两个面不能这样分开

也没有相对的转角

没有转角没有挠度这相当于什么

对了

相当于一个固定端约束

那么就相当于一个小悬臂梁

在均匀分布载荷作用下它变形的情况

那么因此累加起来

这部分变形就应该是这样的

那么这悬臂梁的分析我们就分析这

但是计算就很好了

我们查表每一部分的计算就很好计算了

是吧

接下来我们就把每一部分的计算给它算出来

那么对于悬臂梁均布载荷作用的时候qL^4/8EI

l是多少那一段

我们看到了是多少是a向下

所以是负的

那么这个时候由于相对的固定

所以B截面转角是零

而后我们再来看看

再根据这个表作用有力偶了是吧

那平均分布的q向B点简化

我们可以看到还有一个M

那么查表这M我们看到是这个方向的

是吧

而我们得的M是什么

是顺时针的

所以要注意这个方向问题

那这个时候我们得到了这一点转角是多少

这里已经给我们了

三分之ML这时候我们可以看到

应该等于它

好了把这M

等于1/2QA平方带进去

所以我们可以看到是它往这个方向

所以应该是负的

这个时候它引起来的

C截面

刚才那个C截面

整体的这个时候刚性位移

还要乘以一个a所以得到了这个挠度

我们现在就可以把这两种结果给它叠加起来

因此得到了

C截面的它的挠度

也就整个梁的最大的挠度叠加起来

是这么多

它是向下的

然后θB呢

我们可以看到就是谁

就是由于在B那个地方有什么了

有力偶了引起了

B点有个转角是这么大

后边你这个这个C那个地方的那个那个转角

你也可以再继续怎么样

在悬臂的那个地方再去叠加

也可以算得C截面的转角

题目只是让我们求B截面转角就OK了

这个就是我们利用书上的6.1表

只有悬臂梁和简支梁的情况

我们经过这样的一个分析发现

它依然可以用来分析谁分析外伸梁

那么通过这些例子的分析

我们可以看到

使用叠加原理

首先是对各类载荷进行拆解

其次是各载荷结果的叠加

特别注意刚性位移的情况

另外有一个思考题留给大家

大家来看现在是一个简支梁

它只是在中间的某一段上

有一个变化分布的一个什么

分布载荷q(x)

那问问大家我们能不能利用叠加法

来对它进行求解呢

大家想一想

好大家来看

如果是在X位置

我们取了dx这样的一个微段

那这上面作用的载荷

是不是可以类似为一个什么集中力

而这个集中力是多大

显然就是什么

就是q在X位置的值乘以多少乘上dx

是吧

是不是相当于在这儿有一个这么大的一个什么

集中力的作用啊

在X位置有这么大的一个集中力作用的话

那你想引起梁上面的这个挠度是多少

我们查表能不能求出来

对吧

那现在又是什么情况现在载荷

是只是在这作用吗

它是从这儿作用在这儿的

我们可以怎么样

是不是用叠加叠加起来

要求和这个求和又是个什么过程

对积分的过程

这是告诉大家

求解这个问题的一个思路

具体的求解请大家课后去练习

今天有关利用叠加原理

对梁的变形情况的分析就介绍到这里

谢谢大家