当前课程知识点:材料力学 > 第五章 弯曲应力 > 5-1 弯曲正应力 > 弯曲正应力
各位同学大家好
今天我们来学习梁横截面上的正应力
如何进行计算
我们在此只考虑横截面具有对称性
而且外力那是作用于纵向对称平面内的情况
比如说我们现在这儿有一个梁可以看到
那它的这个横截面这里
我们可以看到有一个垂直的一个对称轴
对于整个梁而言
这个横截面上垂直的对称轴连起来就形成了
一个纵向的对称面
有的同学可能就说了
说那载荷怎么就只作用在这个纵向对称面里呢
我们说如果载荷的作用是关于纵向的对称面是
对称的话
我们说就可以给它简化到哪里
全部简化到了
纵向对称面里
你比如说
我们现在关于纵向对称面这边作用一个向下的力
在纵向对称面的那边对称的位置
也作用一个同样大小的向下的一个力的话
那么我们把这两个等值的方向都向下
作用位置关于中间的纵向对称面对称
这一对力我们给它向中间截面进行简化
给它平移到纵向对称面
平移过来
附加一个这个方向的力偶
这边的这个平移过来附加这个方向的力偶
那这两个力偶就是方向相反又等值了
就相互抵消
所以这个时候我们可以看到
所有载荷都作用到了纵向的对称面里面
是这样的一个情况
那大家再想一下
材料是一种材料
它结构又是关于纵向对称面对称的
载荷又作用在这个纵向的对称面里
那你说这个梁的这个轴线在这样的力的作用下
会产生什么变形
变成了一条曲线
这个曲线显然也就是落在了这个纵向对称面里边
我们把这样的一个弯曲变形就叫做平面弯曲
这个梁的轴线变形以后的这个曲线
我们就称之为挠曲线
或者叫做弹性曲线
我们再来看
说当这个梁段仅仅受到弯曲作用的时候
我们把这样的梁段称为纯弯梁
有的同学说
那这个纯弯梁存在吗
我们在上一章的时候
分析过这个简支梁
我们看到这个简支梁在左右对称的这个位置上
作用了两个向下的P力
那个时候我们画出它的简力图是这样
弯矩图是这样
大家来看中间这一段
剪力是零
弯矩不为零
所以对于中间这一段
我们看到横截面上的内力只有弯矩而没有简力的
所以这是在实际工程里存在的
那么这样的梁段我们就称之为纯弯梁
在后面的一些章节里边我们会看到
一般情况下
弯曲应力在细长的梁中是起着主导的作用的
因此我们在这里推导出的纯弯曲的公式
将直接用于各类的设计所以说很重要
现在 我们就来推导一下
梁横截面上的弯曲的正应力应该是多少
我们来看一下基本假设
我们说现在我们有一个这个梁
它具有 我们可以看到
横截面上有一个铅垂的对称轴
各个横截面它的形心的连线
我们说就构成了这个梁的轴线
现在我们就把梁的轴线作为x轴
而这个横截面上的对称轴作为y轴
第三个 跟着x轴y轴垂直的第三个轴作为z轴
我们建立了这样的直角坐标系
现在
我们来看一下
这时候梁受到弯曲以后变形的情况
为了说明情况起见
我们现在就有一个看到了
这是一个矩形截面的一个梁
显然它是有一个纵向的对称面
两端我们给它作用的弯矩
它是一个纯弯梁
为了看清楚它变形的情况
我们在它的这些表面上
横向的等距离的画了这样的环线
同时我们又在这梁的表面上沿着和轴线平行的方向
等距离的画了很多的纵向线
我们看看就在两端的弯矩作用下
这个纯弯梁它变形的情况
我们发现它变形变成现在这个图示的样子
我们看这些横向的环线
它那基本上是
我们可以看到还是保持为一个直的情况
我们因此大胆的猜测
它所代表的这个平面上面的
各个点可能就跟这个表面的这个
环向的这个线整体的
按照一个平面倾斜了一个角度
那么这个就是我们要说的
有关梁弯曲的时候的它的基本假设
也就是所谓的平面假设 垂直轴线的横截面
在弯曲的时候依然保持为平面
也就是说整个平面一起在弯曲的过程
梁弯曲变形过程当中
整体微微的倾斜了一个角度
好
那么接下来
我们就从几何关系
物理关系以及静力关系来推导出
横截面上正应力的表达式
首先我们来看看几何关系
也就是几何方程
我们在x截面的地方
距离dx截出来一个微段
在这儿可以看到
我们来看这个微段的情况
两端我们看到底下这个图
两端作用弯矩
它是一个纯弯梁
显然如果我们画内力图的话
我们可以看到
每个截面上的内力就只有弯矩
大家都是多少都是这个MZ
各个截面的弯矩都是一样的
我们来看看这个徽段
dx这个徽段随着梁的变形的情况
按照刚才的平面假设
我们可以看到
这两个横截面我们可以看到都微微的怎么样呢
都整体转了一个小的角度
我们把这两个平面所夹的这个角
由于距离很近
是dx
那么因此对应的这个角度我们就记成了dθ
把它记成dθ
现在呢我们来让大家想一下啊
都是dx这样一段
材料是一样的
尺寸也都一样
两边的这个横截面上的内力也都是这个弯矩Mz
大家想想
只要是等距离是dx这么长的话
那么这两个面之间的夹角就都是多少
都是dθ
这边也是一样dθ
那我们来看看这个时候
没变形的时候这个梁的轴线
现在呢变成这样的一条平面曲线了
那这个平面曲线是个什么平面曲线呢
一样的dθ
对了显然这一条挠曲线它变成了一个什么
变成了一条圆弧曲线
我们把这个圆弧曲线它所对应的曲率半径
我们给它记成ρ
那现在让我们来看看轴线上这一段纤维
这个ef
我们看看它变成了多长
显然这一段纤维的长度就变成ρ乘以dθ
变成了这么长
那么根据数学的关系
我们可以知道
dθ除以ds
那就应该等于什么
应该等于曲率半径分之一
也就是说这条曲线它的曲率
我们记成κ
对这个发音呢就是卡帕
跟那个著名的运动服装的品牌发音是一样的
显然这个时候我们可以看到
这个卡帕——弹性曲线的这个曲率
在纯弯曲的时候
它是一个常数
ρ也好κ也好
它是一个常数
那现在我们要看什么呢我们现在来看
距离这个轴线位置在y这个地方
这一条纤维变成有多长
显然这条纤维gh所在的这条纤维
它的曲率半径就变成了多少了呢
那显然比这个ρ要小多少呢
要小了y
所以它所在的这个圆弧曲线的曲率半径就变成了ρ-y
两个面之间的夹角还是多少还是dθ
所以这一条纤维的长度我们可以看到
曲率半径(ρ-y)乘以这个角度dθ
那现在我们就来看看
由于梁这样弯曲变形了
这个gh和ef这两条纤维长度的差是多少
那由此我们可以看到
它们长度的差我们记成dū
显然就应该等于(ρ-y)dθ-ρdθ
就等于-ydθ那这是什么
这是指的整个这个曲线那长度的改变
我们现在要找的什么
我们现在要找的希望是沿着轴线x方向的变形是多少
我们材料力学都是研究的小变形的情况
所以由于变形很小
我们就把这个dū曲线的这条纤维长度的改变
就近似为是它轴向纤维的改变
同样的本来原来的那个弧长ds也可以近似为
就是这一段的长就是dx
也就我们所说的弧长和弦长是近似相等的
这样一来我们就可以算出
来梁这个时候的它的纵向的应变应该是多少了
那么εx就应该等于轴向的长度的改变du
除以原来的长度dx
把刚才的这个近似的这个情况带进来
就近似等于dū/ds
就应该等于(-dθ)/(1/k dθ)等于-κy
这是由曲率来表示的
当然我们也可以用曲率半径来表示
所以εx又可以写成为是-y/ρ
那现在我们就可以看到了
这个时候横截面距离这个
我们讲的是等于-κy
那个地方的正应变应该是多少
注意ρ是一个常量纯弯梁
所以这个应变就是跟谁有关系啊就是跟y成正比
那现在我们就可以想到了
有了应变那么就应该跟谁有关系啊
就跟应力有关系
我们注意到现在是纯弯梁
横截面上只有弯矩
没有剪力
没有剪力也就没有剪应力
所以现在我们可以看到
横截面上一点只有正应力
所以它是处于单向的应力状态
因此我们可以运用胡克定律
这个时候我们写出来
这个对应的应力应该是多少
σx=Eεx
把刚才我们得到εx代进来
所以就等于-Eκy或者是写成-Ey/ρ
所以我们可以看到横截面上一点的正应力
跟谁有关呢梁确定的话
材料确定弹性模量是个常数
这个纯弯梁
那么我们讲了它的曲率半径也是一个常量
所以横截面上的正应力只跟谁有关系了
就跟这个位置
这个每一点它的y坐标是成正比
所以我们可以画出来横截面上正应力的分布
如果这个弯矩是正的是这样子的话
那么我们来看看y大于零的话
那么显然这个应该是什么样小于零的
所以我们可以看到y大于零的啊
上面这边这部分各个点
它是什么样它的应力是什么样小于0的
是受压的所以我们画的内法线方向
同样的道理我们来看看下面这部分是什么
y小于零负负得正
我们可以看到这底下这一部分在弯矩为正的时候
那么它是怎样应力是什么是正的外法线方向
特别强调的是什么
我们看看y相同的话
那么它各个点的正应力应该是怎么样
应该是一样的
所以我们看在这儿y坐标是一样的话
那么我们可以看到
这一条线上
横截面上我们可以看这一条线上
那么它的y坐标相同
它的正应力应该是怎么样应该是一样的
这是我们看到了正应力的这个表达式
但是现在有一个什么问题啊
那这个ρ到底是多少啊
还是不知道没关系
我们还有静力关系
那我们再看看静力关系能不能帮助我们确定
由于是纯弯梁横截面上只有弯矩
那横截面上的轴力是多少没有是零
所以我们就利用这个关系
我们来看看
能有一个什么样的结论
没有轴力Fx=0
但是你可以看到各处有分布的
有分布的这样的轴向的应力
但是它们的和在这个方向的投影应该等于0
现在我们来看一下
我们在y坐标这个地方我们取了一个小面积dA
由于这个面积足够小
这个微元足够小
所以在这个小面积上的所有的轴向应力
近似都是相同的都是σx
应力是指的单位面积上的受力σx
那现在面积是多大呢是dA
就表示了这么大面积上它的轴向的力是多少
对于整个横截面
对于整个横截面
我们就应该在整个横截面上进行求和
求和是什么意思啊不就是积分嘛
所以在整个面上进行积分
那显然这就是我们所说的这个Fx
就应该等于零
因此我们可以得到了
把刚才σx=-Eκy代进来
因此我们可以看到有这个式子注意啦
E是这个时候材料的弹性模量
跟这个小面积dA没有关系
所以提到积分外这个κ
我们讲纯弯梁是一个常量也跟这个dA没关系
提到积分外边等于0
那么弯曲的话它就是有曲率的
所以Eκ不等于0
所以只有谁等于0啊
后边的这个积分等于0
来看看这个式子
是不是挺眼熟的
大家想起什么来啦
想起形心的计算公式
显然这个积分等于什么
就等于横截面的面积和横截面
形心的y坐标的乘积
也就是它等于0那么它等于0
横截面积不等于0
所以就意味着什么
横截面形心的y坐标等于0
那么这也就是说的原点
我们刚才建的那个坐标系的那个原点
它到横截面形心的距离是0
也就是说这个原点就是在哪里
就是在横截面的形心上
好 那我们注意到σx刚才说了等于什么σx=-Eκy
那我们来看看
在这个地方y坐标等于0意味着什么
意味着在这一条线上
也就我们所说的z坐标这条线上的各个点
它的正应力都是多少都是零
而后如果弯矩大于零的话
我们可以看到上面各个点
它的应力都是小于零受压的
下面各个点
它的应力都是大于0受拉的
刚好这个z坐标上各个点它的应力是零
所以我们就把它叫做什么
叫做横截面的中性轴
对于整个梁而言
我们可以看到
每个横截面上有一个中性轴
对于整个梁而言
它就会怎么样这有一个面
在这个面上各个点
我们可以看到
它的轴向应力
也就说对应的横截面上的正应力都是多少
都是零
它又是什么我们看到是拉
压应力的分界点
所以我们把这个面儿就叫做什么
就叫做中性层
叫做中性层
以后我们就知道了
那你说中性轴在哪里呀
我们刚才看到了
有这个式子是吧
也就是说
中性轴一定是过横截面的形心的
中性轴它是横截面上拉压正应力的分界点
那现在呢
我们知道有中性轴
有中性层对吧
但是呢这个正应力
你的计算你的κ是多少
或者讲你的曲率半径是多少啊
我们现在是不是还是不知道啊
没关系
我们还有静力的关系
我们再来看
我们来看这个梁段
那么在这边截面上
左边这个截面上我们可以看到它有什么
它有内力弯矩Mz
而这个截面我们看到x这个截面上有正应力σx
梁平衡
当然任意截出来一段也是平衡的
所以呢我们就研究它平衡
好比说对O点取矩平衡了
就应该等于0
那么我们来看到
左端这个取矩的话
它是一个力偶对任一点的矩还是等于它力偶矩
所以Mz 是正的
然后我们再来看看这个横截面上
这个分布的力对O点的矩应该是多少
那么我们也是在上面距离中性轴y的地方
取了一个微元面积dA
那这个小面积上各个点的正应力
我们近似都是一样的
所以这个时候我们可以看到
这个地方的应力应该是
大小是Eκy
这个方向我们可以看到是压应力
乘以面积
乘以dA就从应力乘以面积变成了力
然后这个力它再对O点取矩
我们可以看到力臂是多少呢
力臂就是y
所以再乘上力臂y
整个面对O点取矩
那么就意味着它求和
求和意味什么
积分
所以沿着整个面进行积分
那么我们看到它们的和应该等于0
现在我们看这个积分式子里面
Eκ
跟刚才一样
和dA无关
我们可以提到积分符号外边去
所以我们得到了
那么我们把这个 dA这个积分记成iz
那现在这个κ就出来了
对不对
那现在我们可以看到
这个时候这个κ我们就可以写出来了
就求出来了
应该等于什么呢
我们可以看到应该等于
就求出来了
那这iz是什么呢
我们看到这个y是什么意思
我们讲y的绝对值它的大小
就是指的横截面上一点到中性轴的距离
所以这就意味着
横截面上各个点到中心轴距离的平方
在整个截面上进行积分
我们把它叫做截面关于中性轴的惯性矩
类似于我们说的那个转动惯量
这是纯粹几何的
所以我们管它叫截面关于中性轴的惯性矩
它的单位我们可以看到
长度的平方再乘上面积
所以它是什么
那这个时候κ知道了
我们讲这个时候横截面上的正应力
我们不就能算出来了吗
这个σx等于什么
那我们把这个κ代进来
很快可以看到
就应该等于
那么显然这是跟y是成正比的
那哪里最大呀我们看一下
显然这个y最大的时候
这个横截面上的正应力是最大的
也就是说横截面上距离中性轴最远的地方
那个正应力的值是最大的
大家来看一下
如果这个梁它所受的外力大的话
也就说它的那个弯矩大的话
那么这个横截面上的正应力怎么样
就大跟Mz成正比的
横截面上一点到中性轴的距离远的话
那么它的应力是大的
还有我们可以看到
跟横截面关于中性轴的惯性矩是成反比的
那你想这个截面比较大的话
那么这个Iz就比较大
那么这个横截面上的应力就小
还有呢
你可以看看这个y的这个情况
如果这个横截面上各个点距离中性轴都比较远的话
那么这个时候它关于中性轴的惯性矩就是大的
那么横截面上各个点的正应力就比较小
好比说同样的一个同样面积的
同样面积尺寸的这样的梁的话
但是一种
好比说就是这样的一个情况
好比说一个矩形截面
还有同样的这样的面积
我们给它变成什么样
变得窄一点
变的这样高一点
这是中心轴的话
那把它变窄一点
往外分布分布
显然这种情况
第二种情况
比第一种情况关于中心轴的惯性矩就大
那么相应的应力就变小
梁的承载能力就意味着提高了
所以你看看我们房间的这个房梁混凝土
钢筋混凝土那房梁
它的横截面都是矩形的
那么这个呢我们也可以给它写成什么样
我们也可以给它写成
我们称之为这个截面的抗弯模量
显然就是米的三次方这样的单位
那么请大家记住这个公式
横截面上
梁横截面上应力的计算公式
接下来我们来看一个例子
现在我们有一个悬臂梁
它受有均布的向下的载荷
梁的长度是一米
这个载荷集度是六千牛每米
材料选用的是 10#槽钢
那么我们查询槽钢表可以查出来
它关于中性轴的惯性矩
不用我们算了
查表都可以查到
我们书的附录都是有的
是多少 25.6cm的四次方
让我们来求一求这个梁的最大的拉压应力
应该是多少
由于它是一个槽钢
我们可以看到
这个10#槽钢
它的中性轴在这个地方
距离两端的这个尺寸是不一样的
距离这一端是1.52cm
距离这边儿这一端是3.28cm
而且呢
它这个槽钢的这个布置是这样的方式
现在我们首先是要干什么
来看看这个梁到底在哪个截面上它的弯矩是最大的
不然我们讲危险截面在哪里呀
很简单
我们很快可以画出它的弯矩图
最大的弯矩在哪里呢
我们可以看到
就在固定端截面
最大的弯矩是多少
我们把数值带进去
很快可以算出是3000(N•m)
那在这个截面上我们可以看到这个弯矩是这样子的
q向下弯矩图是这样的是负的
弯矩是负的话
那你看看哪边是拉哪边是压
你比划比划你也能判断出来
上面拉下面压
或者我们就用公式来代的话
注意到上边y是大于零的
但是弯矩是小于零的
负负得正所以受拉也一样
现在我们就把这个拉压应力来计算出来
最大的在危险截面右端截面
固定端截面有最大的弯矩
那么上端它是什么样它是受拉的
那么中性轴到上端的距离是多少啊
刚才我们已经看到了是什么是1.52cm
给它变成米
Iz是25.6cm的四次方我们给它换成m的四次方
所以10的-8次方
进行计算算出是多少
178X10六次方Pa
也就是178MPa
也就是178MPa
那么对于横截面下侧
它是受压的
所以最大的压应力我们也可以算出来了
就把这个y从1.52换成3.28就可以了
我们可以看到最大的压应力是多少
385 MPa
这个就是我们用刚才推导出来的正应力的公式
对这个悬臂梁最大拉压应力的计算
这个就是我们今天给大家介绍的
梁弯曲的时候正应力怎么样来进行计算
通过刚才的分析
我们可以看到
横截面过形心的那个横轴是中性轴
是横截面拉压应力的分界线
梁横截面上一点的正应力
就由这个公式
我们可以看到
与中性轴平行的线上各点的正应力
我们看到是相同的
这个就是我们今天给大家介绍的
梁横截面上一点的正应力应该如何进行计算
它的公式的推导在这里
这就是今天的知识点内容
谢谢大家
-1-1 材料力学的任务
--材料力学的任务
--第1-1节作业
-1-2 基本假设、内力、杆的基本变形
--第1-2节作业
-1-3 弹性杆受力的普遍情况与课程内容简介
-2-1 应力,轴力与轴力图,杆横截面上的正应力
--第2-1节作业
- 2-2 应变,杆斜截面上的应力
--第2-2节作业
- 2-3-1 材料的力学性能(一)
--第 2-3-1作业
- 2-3-2 材料的力学性能(二)
--第 2-3-2作业
-2-4-1 胡克定律、轴向变形和泊桑比
--第 2-4-1作业
-2-4-2 安全系数,许用应力,许用载荷
--第 2-4-2作业
-2-5-1 静不定(超静定)系统
--第 2-5-1作业
-2-5-2 静不定(超静定)系统(续)
--第 2-5-2节作业
-2-6 热应力和变形
--热应力和变形
--第 2-6节作业
-2-7 剪切和挤压
--剪切和挤压
--第 2-7节作业
-3-1 扭转,扭矩
--扭转,扭矩
--第 3-1节作业
- 3-2 剪应变,剪应力互等,剪切胡克定律
--第 3-2节作业
-3-3 受扭转构件横截面上的剪应力
--第 3-3节作业
- 3-4 扭转变形
--扭转变形
--第 3-4节作业
-3-5 扭转构件的设计 扭转静不定
--第 3-5节作业
-4-1 梁,平面弯曲,直接求解梁的内力
-4-2 剪力图和弯矩图及一些规律
--第 4-2节作业
-4-3 积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--第 4-3 节作业
-5-1 弯曲正应力
--弯曲正应力
--第 5-1节作业
-5-2 横截面关于中性轴的惯性矩
--第 5-2节作业
-5-3 梁的设计
--梁的设计
--第 5-3节作业
-5-4 弯曲剪应力
--弯曲剪应力
--第 5-4节作业
- 6-1 挠曲微分方程,边界条件
--第 6-1节作业
-6-2 积分法
--积分法
--第 6-2节作业
-6-3 静不定
--静不定
--第 6-3 节作业
-6-4 叠加法
--叠加法
--第 6-4节作业
-6-5 简单静不定梁
--简单静不定梁
--第 6-5节作业
- 7-1 二向应力状态(薄壁压力容器)、三向应力状态
--第 7-1节作业
-7-2 平面应力变换
--平面应力变换
--7-2 节作业
- 7-3 图解法-莫尔圆 广义胡克定律
--第 7-3节作业
-7-4 强度理论概述 断裂准则
--第 7-4节作业
-7-5 屈服准则
--屈服准则
--第 7-5节作业
-7-6 莫尔强度理论
--莫尔强度理论
--第 7-6节作业
- 8-1 关于两个主轴的弯曲
--第 8-1节作业
-8-2 拉压与弯曲的组合变形,直接剪力与扭转剪切的组合
--第 8-2节作业
-8-3 弹性设计
--弹性设计
--第 8-3节作业
-8-4 梁的弹性设计
--梁的弹性设计
--第 8-4节作业
-8-5 轴的强度设计(弯扭组合)
--轴的强度设计
--第 8-5节作业
-8-6 提高梁抗弯能力的措施
--第 8-6节作业
-9-1 屈曲 细长压杆的临界压力
--第 9-1节作业
-9-2 欧拉公式的适用范围,临界应力与长细比,经验公式
--第 9-2节作业
-9-3 提高压杆稳定性的措施
--第 9-3节作业
-10-1. 冲击,动荷系数
--冲击,动荷系数
--第 10-1节作业
-10-2. 用动静法求应力和变形 冲击韧性
--第 10-2节作业
- 11-1 交变应力、持久极限
--第 11-1节作业
-11-2 影响持久极限的因素
--第 11-2节作业
-11-3 疲劳强度
--疲劳强度
--第 11-3节作业
-12-1 应变能
--应变能
--第 12-1节作业
-12-2 互换定理
--互换定理
--第 12-2节作业
-12-3 卡氏定理,应用
--卡氏定理,应用
--第 12-3节作业
- 12-4 卡氏定理应用:虚构载荷法
--第 12-4节作业
- 12-5 虚功原理,单位载荷法,莫尔积分
--第 12-5节作业
-12-6 图乘法
--图乘法
--第12-6节作业
- 13-1 静不定结构、正则方程(一次静不定)
--第 13-1节作业
- 13-2 正则方程(高次静不定系统)
--第 13-3 节作业
-13-3 利用对称性与反对称性分析静不定结构
--第 13-4节作业