弯曲正应力在线视频

各位同学大家好

今天我们来学习梁横截面上的正应力

如何进行计算

我们在此只考虑横截面具有对称性

而且外力那是作用于纵向对称平面内的情况

比如说我们现在这儿有一个梁可以看到

那它的这个横截面这里

我们可以看到有一个垂直的一个对称轴

对于整个梁而言

这个横截面上垂直的对称轴连起来就形成了

一个纵向的对称面

有的同学可能就说了

说那载荷怎么就只作用在这个纵向对称面里呢

我们说如果载荷的作用是关于纵向的对称面是

对称的话

我们说就可以给它简化到哪里

全部简化到了

纵向对称面里

你比如说

我们现在关于纵向对称面这边作用一个向下的力

在纵向对称面的那边对称的位置

也作用一个同样大小的向下的一个力的话

那么我们把这两个等值的方向都向下

作用位置关于中间的纵向对称面对称

这一对力我们给它向中间截面进行简化

给它平移到纵向对称面

平移过来

附加一个这个方向的力偶

这边的这个平移过来附加这个方向的力偶

那这两个力偶就是方向相反又等值了

就相互抵消

所以这个时候我们可以看到

所有载荷都作用到了纵向的对称面里面

是这样的一个情况

那大家再想一下

材料是一种材料

它结构又是关于纵向对称面对称的

载荷又作用在这个纵向的对称面里

那你说这个梁的这个轴线在这样的力的作用下

会产生什么变形

变成了一条曲线

这个曲线显然也就是落在了这个纵向对称面里边

我们把这样的一个弯曲变形就叫做平面弯曲

这个梁的轴线变形以后的这个曲线

我们就称之为挠曲线

或者叫做弹性曲线

我们再来看

说当这个梁段仅仅受到弯曲作用的时候

我们把这样的梁段称为纯弯梁

有的同学说

那这个纯弯梁存在吗

我们在上一章的时候

分析过这个简支梁

我们看到这个简支梁在左右对称的这个位置上

作用了两个向下的P力

那个时候我们画出它的简力图是这样

弯矩图是这样

大家来看中间这一段

剪力是零

弯矩不为零

所以对于中间这一段

我们看到横截面上的内力只有弯矩而没有简力的

所以这是在实际工程里存在的

那么这样的梁段我们就称之为纯弯梁

在后面的一些章节里边我们会看到

一般情况下

弯曲应力在细长的梁中是起着主导的作用的

因此我们在这里推导出的纯弯曲的公式

将直接用于各类的设计所以说很重要

现在 我们就来推导一下

梁横截面上的弯曲的正应力应该是多少

我们来看一下基本假设

我们说现在我们有一个这个梁

它具有 我们可以看到

横截面上有一个铅垂的对称轴

各个横截面它的形心的连线

我们说就构成了这个梁的轴线

现在我们就把梁的轴线作为x轴

而这个横截面上的对称轴作为y轴

第三个 跟着x轴y轴垂直的第三个轴作为z轴

我们建立了这样的直角坐标系

现在

我们来看一下

这时候梁受到弯曲以后变形的情况

为了说明情况起见

我们现在就有一个看到了

这是一个矩形截面的一个梁

显然它是有一个纵向的对称面

两端我们给它作用的弯矩

它是一个纯弯梁

为了看清楚它变形的情况

我们在它的这些表面上

横向的等距离的画了这样的环线

同时我们又在这梁的表面上沿着和轴线平行的方向

等距离的画了很多的纵向线

我们看看就在两端的弯矩作用下

这个纯弯梁它变形的情况

我们发现它变形变成现在这个图示的样子

我们看这些横向的环线

它那基本上是

我们可以看到还是保持为一个直的情况

我们因此大胆的猜测

它所代表的这个平面上面的

各个点可能就跟这个表面的这个

环向的这个线整体的

按照一个平面倾斜了一个角度

那么这个就是我们要说的

有关梁弯曲的时候的它的基本假设

也就是所谓的平面假设 垂直轴线的横截面

在弯曲的时候依然保持为平面

也就是说整个平面一起在弯曲的过程

梁弯曲变形过程当中

整体微微的倾斜了一个角度

好

那么接下来

我们就从几何关系

物理关系以及静力关系来推导出

横截面上正应力的表达式

首先我们来看看几何关系

也就是几何方程

我们在x截面的地方

距离dx截出来一个微段

在这儿可以看到

我们来看这个微段的情况

两端我们看到底下这个图

两端作用弯矩

它是一个纯弯梁

显然如果我们画内力图的话

我们可以看到

每个截面上的内力就只有弯矩

大家都是多少都是这个MZ

各个截面的弯矩都是一样的

我们来看看这个徽段

dx这个徽段随着梁的变形的情况

按照刚才的平面假设

我们可以看到

这两个横截面我们可以看到都微微的怎么样呢

都整体转了一个小的角度

我们把这两个平面所夹的这个角

由于距离很近

是dx

那么因此对应的这个角度我们就记成了dθ

把它记成dθ

现在呢我们来让大家想一下啊

都是dx这样一段

材料是一样的

尺寸也都一样

两边的这个横截面上的内力也都是这个弯矩Mz

大家想想

只要是等距离是dx这么长的话

那么这两个面之间的夹角就都是多少

都是dθ

这边也是一样dθ

那我们来看看这个时候

没变形的时候这个梁的轴线

现在呢变成这样的一条平面曲线了

那这个平面曲线是个什么平面曲线呢

一样的dθ

对了显然这一条挠曲线它变成了一个什么

变成了一条圆弧曲线

我们把这个圆弧曲线它所对应的曲率半径

我们给它记成ρ

那现在让我们来看看轴线上这一段纤维

这个ef

我们看看它变成了多长

显然这一段纤维的长度就变成ρ乘以dθ

变成了这么长

那么根据数学的关系

我们可以知道

dθ除以ds

那就应该等于什么

应该等于曲率半径分之一

也就是说这条曲线它的曲率

我们记成κ

对这个发音呢就是卡帕

跟那个著名的运动服装的品牌发音是一样的

显然这个时候我们可以看到

这个卡帕——弹性曲线的这个曲率

在纯弯曲的时候

它是一个常数

ρ也好κ也好

它是一个常数

那现在我们要看什么呢我们现在来看

距离这个轴线位置在y这个地方

这一条纤维变成有多长

显然这条纤维gh所在的这条纤维

它的曲率半径就变成了多少了呢

那显然比这个ρ要小多少呢

要小了y

所以它所在的这个圆弧曲线的曲率半径就变成了ρ-y

两个面之间的夹角还是多少还是dθ

所以这一条纤维的长度我们可以看到

曲率半径（ρ-y）乘以这个角度dθ

那现在我们就来看看

由于梁这样弯曲变形了

这个gh和ef这两条纤维长度的差是多少

那由此我们可以看到

它们长度的差我们记成dū

显然就应该等于(ρ-y)dθ-ρdθ

就等于-ydθ那这是什么

这是指的整个这个曲线那长度的改变

我们现在要找的什么

我们现在要找的希望是沿着轴线x方向的变形是多少

我们材料力学都是研究的小变形的情况

所以由于变形很小

我们就把这个dū曲线的这条纤维长度的改变

就近似为是它轴向纤维的改变

同样的本来原来的那个弧长ds也可以近似为

就是这一段的长就是dx

也就我们所说的弧长和弦长是近似相等的

这样一来我们就可以算出

来梁这个时候的它的纵向的应变应该是多少了

那么εx就应该等于轴向的长度的改变du

除以原来的长度dx

把刚才的这个近似的这个情况带进来

就近似等于dū/ds

就应该等于(-dθ)/(1/k dθ)等于-κy

这是由曲率来表示的

当然我们也可以用曲率半径来表示

所以εx又可以写成为是-y/ρ

那现在我们就可以看到了

这个时候横截面距离这个

我们讲的是等于-κy

那个地方的正应变应该是多少

注意ρ是一个常量纯弯梁

所以这个应变就是跟谁有关系啊就是跟y成正比

那现在我们就可以想到了

有了应变那么就应该跟谁有关系啊

就跟应力有关系

我们注意到现在是纯弯梁

横截面上只有弯矩

没有剪力

没有剪力也就没有剪应力

所以现在我们可以看到

横截面上一点只有正应力

所以它是处于单向的应力状态

因此我们可以运用胡克定律

这个时候我们写出来

这个对应的应力应该是多少

σx=Eεx

把刚才我们得到εx代进来

所以就等于-Eκy或者是写成-Ey/ρ

所以我们可以看到横截面上一点的正应力

跟谁有关呢梁确定的话

材料确定弹性模量是个常数

这个纯弯梁

那么我们讲了它的曲率半径也是一个常量

所以横截面上的正应力只跟谁有关系了

就跟这个位置

这个每一点它的y坐标是成正比

所以我们可以画出来横截面上正应力的分布

如果这个弯矩是正的是这样子的话

那么我们来看看y大于零的话

那么显然这个应该是什么样小于零的

所以我们可以看到y大于零的啊

上面这边这部分各个点

它是什么样它的应力是什么样小于0的

是受压的所以我们画的内法线方向

同样的道理我们来看看下面这部分是什么

y小于零负负得正

我们可以看到这底下这一部分在弯矩为正的时候

那么它是怎样应力是什么是正的外法线方向

特别强调的是什么

我们看看y相同的话

那么它各个点的正应力应该是怎么样

应该是一样的

所以我们看在这儿y坐标是一样的话

那么我们可以看到

这一条线上

横截面上我们可以看这一条线上

那么它的y坐标相同

它的正应力应该是怎么样应该是一样的

这是我们看到了正应力的这个表达式

但是现在有一个什么问题啊

那这个ρ到底是多少啊

还是不知道没关系

我们还有静力关系

那我们再看看静力关系能不能帮助我们确定

由于是纯弯梁横截面上只有弯矩

那横截面上的轴力是多少没有是零

所以我们就利用这个关系

我们来看看

能有一个什么样的结论

没有轴力Fx=0

但是你可以看到各处有分布的

有分布的这样的轴向的应力

但是它们的和在这个方向的投影应该等于0

现在我们来看一下

我们在y坐标这个地方我们取了一个小面积dA

由于这个面积足够小

这个微元足够小

所以在这个小面积上的所有的轴向应力

近似都是相同的都是σx

应力是指的单位面积上的受力σx

那现在面积是多大呢是dA

就表示了这么大面积上它的轴向的力是多少

对于整个横截面

对于整个横截面

我们就应该在整个横截面上进行求和

求和是什么意思啊不就是积分嘛

所以在整个面上进行积分

那显然这就是我们所说的这个Fx

就应该等于零

因此我们可以得到了

把刚才σx=-Eκy代进来

因此我们可以看到有这个式子注意啦

E是这个时候材料的弹性模量

跟这个小面积dA没有关系

所以提到积分外这个κ

我们讲纯弯梁是一个常量也跟这个dA没关系

提到积分外边等于0

那么弯曲的话它就是有曲率的

所以Eκ不等于0

所以只有谁等于0啊

后边的这个积分等于0

来看看这个式子

是不是挺眼熟的

大家想起什么来啦

想起形心的计算公式

显然这个积分等于什么

就等于横截面的面积和横截面

形心的y坐标的乘积

也就是它等于0那么它等于0

横截面积不等于0

所以就意味着什么

横截面形心的y坐标等于0

那么这也就是说的原点

我们刚才建的那个坐标系的那个原点

它到横截面形心的距离是0

也就是说这个原点就是在哪里

就是在横截面的形心上

好 那我们注意到σx刚才说了等于什么σx=-Eκy

那我们来看看

在这个地方y坐标等于0意味着什么

意味着在这一条线上

也就我们所说的z坐标这条线上的各个点

它的正应力都是多少都是零

而后如果弯矩大于零的话

我们可以看到上面各个点

它的应力都是小于零受压的

下面各个点

它的应力都是大于0受拉的

刚好这个z坐标上各个点它的应力是零

所以我们就把它叫做什么

叫做横截面的中性轴

对于整个梁而言

我们可以看到

每个横截面上有一个中性轴

对于整个梁而言

它就会怎么样这有一个面

在这个面上各个点

我们可以看到

它的轴向应力

也就说对应的横截面上的正应力都是多少

都是零

它又是什么我们看到是拉

压应力的分界点

所以我们把这个面儿就叫做什么

就叫做中性层

叫做中性层

以后我们就知道了

那你说中性轴在哪里呀

我们刚才看到了

有这个式子是吧

也就是说

中性轴一定是过横截面的形心的

中性轴它是横截面上拉压正应力的分界点

那现在呢

我们知道有中性轴

有中性层对吧

但是呢这个正应力

你的计算你的κ是多少

或者讲你的曲率半径是多少啊

我们现在是不是还是不知道啊

没关系

我们还有静力的关系

我们再来看

我们来看这个梁段

那么在这边截面上

左边这个截面上我们可以看到它有什么

它有内力弯矩Mz

而这个截面我们看到x这个截面上有正应力σx

梁平衡

当然任意截出来一段也是平衡的

所以呢我们就研究它平衡

好比说对O点取矩平衡了

就应该等于0

那么我们来看到

左端这个取矩的话

它是一个力偶对任一点的矩还是等于它力偶矩

所以Mz 是正的

然后我们再来看看这个横截面上

这个分布的力对O点的矩应该是多少

那么我们也是在上面距离中性轴y的地方

取了一个微元面积dA

那这个小面积上各个点的正应力

我们近似都是一样的

所以这个时候我们可以看到

这个地方的应力应该是

大小是Eκy

这个方向我们可以看到是压应力

乘以面积

乘以dA就从应力乘以面积变成了力

然后这个力它再对O点取矩

我们可以看到力臂是多少呢

力臂就是y

所以再乘上力臂y

整个面对O点取矩

那么就意味着它求和

求和意味什么

积分

所以沿着整个面进行积分

那么我们看到它们的和应该等于0

现在我们看这个积分式子里面

Eκ

跟刚才一样

和dA无关

我们可以提到积分符号外边去

所以我们得到了

那么我们把这个 dA这个积分记成iz

那现在这个κ就出来了

对不对

那现在我们可以看到

这个时候这个κ我们就可以写出来了

就求出来了

应该等于什么呢

我们可以看到应该等于

就求出来了

那这iz是什么呢

我们看到这个y是什么意思

我们讲y的绝对值它的大小

就是指的横截面上一点到中性轴的距离

所以这就意味着

横截面上各个点到中心轴距离的平方

在整个截面上进行积分

我们把它叫做截面关于中性轴的惯性矩

类似于我们说的那个转动惯量

这是纯粹几何的

所以我们管它叫截面关于中性轴的惯性矩

它的单位我们可以看到

长度的平方再乘上面积

所以它是什么

那这个时候κ知道了

我们讲这个时候横截面上的正应力

我们不就能算出来了吗

这个σx等于什么

那我们把这个κ代进来

很快可以看到

就应该等于

那么显然这是跟y是成正比的

那哪里最大呀我们看一下

显然这个y最大的时候

这个横截面上的正应力是最大的

也就是说横截面上距离中性轴最远的地方

那个正应力的值是最大的

大家来看一下

如果这个梁它所受的外力大的话

也就说它的那个弯矩大的话

那么这个横截面上的正应力怎么样

就大跟Mz成正比的

横截面上一点到中性轴的距离远的话

那么它的应力是大的

还有我们可以看到

跟横截面关于中性轴的惯性矩是成反比的

那你想这个截面比较大的话

那么这个Iz就比较大

那么这个横截面上的应力就小

还有呢

你可以看看这个y的这个情况

如果这个横截面上各个点距离中性轴都比较远的话

那么这个时候它关于中性轴的惯性矩就是大的

那么横截面上各个点的正应力就比较小

好比说同样的一个同样面积的

同样面积尺寸的这样的梁的话

但是一种

好比说就是这样的一个情况

好比说一个矩形截面

还有同样的这样的面积

我们给它变成什么样

变得窄一点

变的这样高一点

这是中心轴的话

那把它变窄一点

往外分布分布

显然这种情况

第二种情况

比第一种情况关于中心轴的惯性矩就大

那么相应的应力就变小

梁的承载能力就意味着提高了

所以你看看我们房间的这个房梁混凝土

钢筋混凝土那房梁

它的横截面都是矩形的

那么这个呢我们也可以给它写成什么样

我们也可以给它写成

我们称之为这个截面的抗弯模量

显然就是米的三次方这样的单位

那么请大家记住这个公式

横截面上

梁横截面上应力的计算公式

接下来我们来看一个例子

现在我们有一个悬臂梁

它受有均布的向下的载荷

梁的长度是一米

这个载荷集度是六千牛每米

材料选用的是 10#槽钢

那么我们查询槽钢表可以查出来

它关于中性轴的惯性矩

不用我们算了

查表都可以查到

我们书的附录都是有的

是多少 25.6cm的四次方

让我们来求一求这个梁的最大的拉压应力

应该是多少

由于它是一个槽钢

我们可以看到

这个10#槽钢

它的中性轴在这个地方

距离两端的这个尺寸是不一样的

距离这一端是1.52cm

距离这边儿这一端是3.28cm

而且呢

它这个槽钢的这个布置是这样的方式

现在我们首先是要干什么

来看看这个梁到底在哪个截面上它的弯矩是最大的

不然我们讲危险截面在哪里呀

很简单

我们很快可以画出它的弯矩图

最大的弯矩在哪里呢

我们可以看到

就在固定端截面

最大的弯矩是多少

我们把数值带进去

很快可以算出是3000(N•m)

那在这个截面上我们可以看到这个弯矩是这样子的

q向下弯矩图是这样的是负的

弯矩是负的话

那你看看哪边是拉哪边是压

你比划比划你也能判断出来

上面拉下面压

或者我们就用公式来代的话

注意到上边y是大于零的

但是弯矩是小于零的

负负得正所以受拉也一样

现在我们就把这个拉压应力来计算出来

最大的在危险截面右端截面

固定端截面有最大的弯矩

那么上端它是什么样它是受拉的

那么中性轴到上端的距离是多少啊

刚才我们已经看到了是什么是1.52cm

给它变成米

Iz是25.6cm的四次方我们给它换成m的四次方

所以10的-8次方

进行计算算出是多少

178X10六次方Pa

也就是178MPa

也就是178MPa

那么对于横截面下侧

它是受压的

所以最大的压应力我们也可以算出来了

就把这个y从1.52换成3.28就可以了

我们可以看到最大的压应力是多少

385 MPa

这个就是我们用刚才推导出来的正应力的公式

对这个悬臂梁最大拉压应力的计算

这个就是我们今天给大家介绍的

梁弯曲的时候正应力怎么样来进行计算

通过刚才的分析

我们可以看到

横截面过形心的那个横轴是中性轴

是横截面拉压应力的分界线

梁横截面上一点的正应力

就由这个公式

我们可以看到

与中性轴平行的线上各点的正应力

我们看到是相同的

这个就是我们今天给大家介绍的

梁横截面上一点的正应力应该如何进行计算

它的公式的推导在这里

这就是今天的知识点内容

谢谢大家