虚功原理，单位载荷法，莫尔积分在线视频

各位同学大家好

今天我们来学习单位载荷法

由于单位载荷法

它是基于虚功原理得到的

所以现在我们先给大家介绍一下虚功原理

首先我们来看一下一些基本概念

虚位移

所谓的虚位移就是约束许可的任意无限小的位移

也就是说是约束允许的

可能得无限小的位移

我们称之为虚位移

比如说我现在

如果是一个铰链掉一个杆的话

那约束许可的位移是什么呢

我们好比说底下这一端

那它的位移是什么

由于它可以围绕着上面铰链这样来回的转动

所以往这边一个微小的位移

和往这边微小的位移

是不是都是约束许可的

那我们可以看到这个方向

这个位移

这个方向位移

都是叫做这个杆这点的虚位移

那么实位移是什么

我们说实位移是构件在

实际载荷作用的时候所产生的位移

比如说我们现在给这个

上面铰接这样的一个杆

我们给它作用这样的力的话

它实际产生的位移是什么

是往这边来的是吧

这个位移是唯一确定的

它不仅满足这儿的约束条件

围绕那里转

同时还要满足动力学的条件

我们作用的力是往这边

所以它往这边来

啊这是唯一确定的

这个叫实位移

显然实位移也满足约束条件

因此

实位移就是虚位移之一

就刚刚我们看到了往这边是虚位移

往这边也是虚位移

那我们作用力呢可以看到是吧

实位移是虚位移里边的一个

这点很重要

好

我们再来看所谓的虚功

所谓的虚功

就是指的一个真实的力在虚位移上的功

我们就管它叫做虚功

所谓的虚功原理

我们说是可以证明出来时间原因

我们不具体讲它的证明的过程

但是我们可以把结论告诉大家

给定一个平衡的弹性结构

给它任意的一个虚位移的话

我们说作用在这个上面

外力的虚功

就应该等于结构内力的虚功

数学的语言来表示话就是这样

这是外力虚功等于内力虚功

这就是虚位移原理

那么我们来看一看

在构件内力的虚功是多少

构件受有内力的话

如果有轴力的话

它会有轴向的变形

如果取的是一个微段dx的话

那它这个时候引起的这个变形是多少

就是dδ

类似的这是什么

弯矩作用的时候

它有截面形成转角

这是剪切作用的时候变形的情况

这是什么

扭转的时候的情况

我们可以来计算一下

内力的虚功

内力就在这样的

位移上要做功了

轴力的时候Ndδ

类似的这儿弯曲的时候Mdθ

剪切的时候可以看到FS乘以dλ

这个时候是扭转的话

扭矩乘以这个扭转角dφ

这是什么

我们看到的都是微段DX上的

它的内力的这个虚功

对于整个构件而言

那它的内力的虚功

我们可以看到这应该是什么

沿着整个构件长度

这些微端上的这个对应的虚功

沿着整个长度进行求和

求和呢就是积分

所以我们看到了这个式子

就是我们所说的内力虚功的表达式

接下来我们来介绍所谓的单位载荷法

比如说现在呢我们看到这一个直角的一个构件

这边给它固定住了

这边是自由上面作用了一些载荷的情况

我们现在想要知道在A位置

A位置什么方向的它的位移呢

现在我们可以看到这一个什么

一条直线

小写的aa

我们想看A这个位置沿着这个方向

aa方向它的位移应该是多少

显然这个位移呢是在这些实际的载荷作用下

所产生的一个位移

是实位移

我们想要求这个实位移

aa方向的位移

我们给它记成Δ

我们给它记成Δ

我们想要知道这个Δ应该是多少

我们说可以力用

刚才我们介绍的这个虚功原理

要想对它进行分析

我们说需要有两套的这个加载的系统

一种呢就是原来的这个结构

在原来的实际的载荷作用下的一个情况

还有一个呢

就是原来的结构约束条件不变

这个时候注意了是在

你刚才是想求哪个位置的

哪个方向的位移

我们说是对A这个位置是吧

什么方向呢aa方向

它的位移感兴趣

那现在呢我们只在这个原有的结构上面

只在这个A位置

在aa方向上加一个单位力

由于我们求的是这个线位移

所以对应的这个单位力

我们加的就是这个方向的一个力

如果我们感兴趣的是

A这个截面的转角的话

那加的那个单位载荷

就是说你感兴趣的是转角的位移的话

那你就是转角的方向加单位力

这个单位力它就是一个广义的

那就是转角方向

加单位力叫什么

那显然就是加的弯矩

所以要看你感兴趣的那个位移

到底是线位移还是角位移

也就决定了这个单位载荷是加

这样的一个力还是加一个力偶

这样的两套的加载系统再说一遍

这边只是原有的结构

在我们所感兴趣的那个位置

那个位移的方向也是我们感兴趣的位移方向

沿着这个方向加一个单位的力

这是第一点

要注意要两套的加载系统

而后我们现在应用一下虚功原理

我们求的是这一点的实际的位移

那这个时候呢我们就把这个实际的位移

可以选择为是虚位移

是吧

我们刚才在介绍虚功原理的时候

介绍虚位移概念的时候

已经跟大家说了

实位移是虚位移之一

当然可以认为它是一个虚位移

那这个时候我们来看看

实际载荷产生的这个位移上面力

现在这个力是哪个力啊

是这个力单位力

它所做的这个虚功应该是多少

方向都是一样

所以它的这个功就是1乘上这个Δ

这个力显然是对于这个结构而言

是它所受到的外力

所以这个就是外力的虚功

那在这种情况下

显然结构里边也会产生什么

相应的内力

只在这个单位力作用的时候

结构里边所产生的内力

我们给它记成什么

记成带*的

好比说轴力N*弯矩M*啊等等

都是带*的

注意这是光是单位载荷作用的时候

结构里边所产生的内力

那按照虚功原理

这个外力的虚功

就应该等于这些内力

所做的虚功的和对吧

外力的虚功等于内力的虚功

而这些内力的虚功怎么算呀

刚才我们已经算过内力的虚功了

对吧

那么我们来看一下

这个时候内力的虚功

我们就可以看到

现在内力都是这个带*的啊

只是单位载荷作用的时候产生的这些内力

对应的这个时候的相应的这个位移

dδ dθ dλ dφ

所以我们可以看到啊

选择真实的位移为虚位移的时候

也就意味着这时候对应的这些个变形

也就是什么真实的变形

我们也可以把它作为结构的虚变形啊

是一样的

那我们讲呢它也是这个虚变形之一

现在内力虚功与外力虚功相等

刚才是1乘以Δ

现在呢这是内力的这个虚功

1⋅Δ不就是Δ吗

那这时候我们看到了啊

你要求的那点的

那个方向上的那个位移

我们就用这个公式就求出来了呀

现在

我们来看一下

这些dδ dθ这些应该等于什么

我们说了它是对应了什么

实际结构产生的真实的变形

是吧

因此这个时候我们看到这里的内力

都应该是什么

是结构

在原来的那个载荷作用的时候

所产生的它的真实的变形

引起来的这些个位移

所以这个N是真实的

结构里边在载荷作用的时候

真实的它的什么

这个时候的内力它不是N*

它就是N

有了这个关系

我们带到上面这个式子里边

我们就可以求得了真正的

求的那个感兴趣的位置

感兴趣的方向上的它的真实的位移

注意这个时候

这一项相对于其它项而言

往往它的作用是比较微弱的

所以我们经常就把这一项给它怎么样

忽略不计

所以这个时候我们就可以得到了这个公式

那么这个公式由莫尔先生总结出来的

所以我们就把它叫做莫尔积分

就叫做莫尔积分

我们可以看到对于一个真实的结构而言

那么它的所谓的拉压刚度弯曲刚度什么

扭转刚度

那我们说都是可以算出来的

还有呢在实际的载荷作用的时候

所产生的结构内部的这些个内力

我们也是可以求出来的

而后这个结构还是那个结构

约束也是那样的约束

只是在我们感兴趣的那个位移的方向上

加了单位的力以后

所产生的结构的内力

我们也可以分析计算出来

带到莫尔积分里边去

相应的你感兴趣的那个位移

就可以求出来了

这就是莫尔积分

对于桁架而言

我们注意到每一个杆它的内力

都是各个截面上都是一样的

所以对于桁架而言

你这关于长度积分

那跟这个没有关系

所以都可以提到外边去

就变成什么Ni而后Ni*

那关于长度积分

不就个杆的长度吗

相乘

底下呢它的杆我们讲都是什么

二力杆啊就是拉压刚度

所以这个就是什么

对于桁架啊怎么样来进行计算

就是由这个式子来进行

接下来我们就来看看这个单位载荷法的应用

也就是这个莫尔积分的应用

现在呢我们看到这里有一个悬臂梁

在它这一段有均部的载荷q作用向下

这一段的长度是a

整个梁的长度是l

梁的弯曲刚度已经知道了啊

是一个常数

求δB也就是B这个时候的它的挠度是多少

还要求什么

B截面的转角是多少

那么我们讲这个莫尔积分

显然这是什么

对应的是一个弯曲的情况

所以我们用到的就是什么

就是要用的MM*

而后Eidx沿着整个长度进行积分

就可以了

因为它就是弯曲的这个问题

现在呢我们就要先把这个M要给它求出来

x我们看到小于a的时候

我们用假想的截面这样截一下

截出来以后我们研究右半段啊

弯矩弧箭头向上是正方向

所以我们可以求出来这点的弯矩是什么

我们看到这个弯矩加上这个q

对它取矩那作用呢

只作用了这么一段上面

这么一段是多少

我们看到是a-x是吧

1/2 q乘以a-x的平方

方向跟它一致加起来等于0

所以M就应该是等于什么

我们可以看到负的1/2qa减x的平方

对于CB段

x大于a的时候

我们用截面法截一下

研究右半段

上面没有外力作用

当然内力是多少呢

是0

是吧

这个弯矩

实际载荷作用的时候

构件里的内力

我们求出来了

而后我们需要求M*

注意

我们首先是想求得B截面的挠度

也就是铅锤的位移

所以还是这个结构

我们另外一套加载系统

在感兴趣的位置

B截面感兴趣的方向是什么

竖直方向的位移

所以我们在竖直方向加了一个单位力

竖直方向位移

它是线位移

当然就是竖直方向就加了这样的一个力

只在这个单位力作用下

那么构件里边的它的弯矩表达式是什么

这个M*很简单

我们可以求出来

从这儿到这儿是X

我们截面截一下的话

研究右半边可以看到

所以这个弯矩也是什么弧箭头向下

也是负的是多少这个力臂

L减去X

所以它是负的L减去X

那么这个时候M*

我们也求出来带到莫尔积分里边去

沿着整个梁段进行积分

我们注意到从这儿到这儿

它的M是等于0

所以这两个相乘的话就是0

这一段积分不管用

所以积分只在哪有效

从A到C是有效的

x从0到a是吧

那么我们可以算出这个积分

把刚才的得到的M以及M*带进去

EI是常量提出去积分只在左边那一段

有效0到a多样式积分

很简单

求出来结果是它

在这里边

显然我们可以看到4L是大于a的

所以这一项大于0

那么这个呢也是大于0

所以我们得到的这个δB就是大于0

大于0的意思是什么

就是我们假设的单位的载荷是向下的

说明这个位移和单位载荷

方向是一致的

也是向下的

这是我们求得的

B这个截面向下的位移是多少

我们还要求B截面

这的转角是多少

有关它的弯矩表达式

刚才我们已经求得了

现在我们只是什么

由于要求的是这个截面的

它的什么

转角

转动的方向

我们讲这个力就应该是什么

对应的广义力就应该是弯矩了

假设这个B截面是顺时针

转动了

我们就在B截面这个地方

加了一个顺时针方向

位移方向的一个广义力是什么

就是一个单位的弯矩

我们用截面法截一下

可以看到这是一个力偶

它对于任意一点取矩

还是等于它的力偶矩

还是什么

弧箭头朝下的是负的

所以M*等于-1

我们把现在得到的M*

M呢还是刚才我们已经求出来了

带到莫尔积分里边去

也是注意到这一段的M是等于0

积分不起作用

所以积分只在这一段有效

可以看到积分上下从0到a进行积分

莫尔积分里边求出结果是什么

大于0

大于0的意思就是我们在这

假设的这个单位力偶这方向

是顺时针的

截面的转角

就跟这个顺时针方向是一致的

B截面在这样的载荷作用下

它在这儿的截面转动顺时针方向

转了多少

转了这么多

这个呢就是我们用单位载荷法

来分析的一个例子

接下来我们再来看

现在呢是一个桁架

它有12345 5个杆构成

整个的桁架看到这边定铰支座

这边是滚动铰支座

各杆

它的截面的

我们可以看到阿

拉压的刚度都是一样的是 EA

现在就要来求一求B点的水平和竖直位移

就是这个地方水平的和竖直的位移

刚才我们已经说了

对于这样的一个桁架而言

那么它的这个计算的公式是什么

我们可以看到说

是吧

所以呢我们要求出这个桁架

在实际载荷作用的时候

各个杆的内力应该是多少

第一步

而后如果我们要求水平位移

B点的水平位移的话

那么我们就得在B点水平方向上

加一个单位的力

还要求在这个单位力作用的时候

只在这个单位力作用的时候

各个杆的内力是多少

就是这个Ni*

而后带到这个里边才能求得这个结果

就是水平方向的位移

那现在呢我们来分析分析这些NI应该等于什么

对于这个我们可以看到

实际载荷作用的时候

如果我们分析这个A节点的话

我们把它所受到的外力加上去

2p

这边是p

我们设桁架的每个杆的受力

它是受到的拉

所以这是正方向

这是正方向受拉

很快我们可以看到那这个杆

AB杆的受力应该是什么

水平方向投影代数和等于0

我们可以看它加上这个时候

AB杆的受力应该等于0

所以它是应该等于什么

它是受压的

是-P而后同样的道理

竖直方向投影代数和等于0

我们可以看到2P

这个加上这个向下的这个力

一样的啊等于0

所以这个时候看到AC杆的受力也是怎么样

等于-2p也是受压的

我们为了简便起见

我们列了这样的一个表格

这表示各个杆

它杆的长度

我们可以看到这四个杆长度都是L

那这个斜着杆的这个长度

BC杆的长度是多少呢

我们可以看到应该是根号2L

现在我们求的这两个杆的它的内力了

一个是负P一个是-2P

我们为了要求这个BD杆的内力

我们看整体平衡

那这滚动角制作这的这个约束力应该是多少呢

对C点取矩可以看到2P试过它没有矩

P对它取矩

顺时针的力臂是L

而后这的约束力向上对它取矩

逆时针的力臂是多少

也是L所以我们可以看到这个力就是多少

就是P

就是P

现在呢我们来分析分析这个D节点

外力

这时候我们可以看到向上

有一个P

而后这个时候上面这个BC杆

我们设它受拉向上

这个CD杆我们认为受拉向左

所以根据平衡条件马上可以判断出来

这个力是多少呢

是0

这是哪个杆啊

我们看到是cd杆

所以cd杆我们看到它的内力是0

我们再看竖直方向

投影代数和等于0

所以P加上这个BD杆的内力等于0

所以BD杆的内力是多少

我们可以看到是-P

最后还有谁呢

还有BC杆受力我们不知道

那现在呢

我们就把这个B节点拿出来进行分析

刚才分析出来它是多少呢

我们讲这杆是负的

P是受压的

我们还知道这杆是什么

我们刚才在这儿已经分析了

也是-的是什么-P

我们再来看BC杆

也假设它受拉

所以我们可以看到根据平衡条件

我们马上可以得出来

那这个时候BC杆的这个受力是什么呢

实际上它的方向应该是怎么样的

应该是向上

这个呢是向右

所以跟它就平衡了

所以我们可以看到BC杆的受力是多少呢

是根号二倍的p

那各个杆实际载荷作用的时候

它的内力我们都求出来了

那接下来我们来看

B点水平方向

单位力作用的时候

各个杆的它的内力

我们来分析A节点

没有外力

所以这个是什么

我们可以看到它的力应该是0

这个呢也应该是0

很快就能判断出来

好啦那这是1的话

我们来看看d这的约束力是多少

对C点取矩可以看到

是吧

1乘以L

而它呢对它取矩也是这个力

力臂是L方向相反

所以我们可以看到

这儿的约束率就是多少就是1

就是1

现在我们来分析这个时候B节点的

它的这个受力的情况

这时我们可以看到水平有一个力外力

好啦

这时这两杆的受力是多少

我们可以看到

还有呢

这个BD杆我们也认为是受拉的向下

水平方向投影代数和等于0

我们很快可以判断出

这个力应该是多少呢

我们可以看到就是根号2

竖直方向投影带数和等于0

我们可以看到这杆的受力是多少呢

是 -1

所以我们就可以求得了

这个BC杆的*啊是BC杆的

我们可以看到在这个地方是什么

根号2

而后这个时候BD杆的

我们可以看到应该是什么-1

就求出来了

同样这个时候我们来分析D节点

D节点的话

那这个时候我们可以看到它外力在这

向上的是1

这个受拉的话啊是负的话

意味着这个杆是怎么样

意味着这个杆是怎么样

是受压的

那这呢我们讲的直接画的压的方向

是1

还有呢就是这个杆

假设它受拉

水平方向投影代数和等于0

我们可以看到这时候CD杆受力是多少

所以我们看CD杆N*是多少

是0

这样一来我们讲了水平方向

加单位力以后

各个杆的内力也就求出来了

因此B水平方向的位移

我们可以看到

把它们乘起来除以EA

这些乘起来的这个结果求和

我们可以看到

是这样子的一个结果

加起来NN*L乘完了0可能0

这是0

这个呢负负得正

所以PL这个三个乘起来是0

这根号二根号二根号二倍根号二PL

加起来

3.828PL除以EA

我们就可以得到了水平方向的

它的位移应该是多少

是大于0的

说明B点的位移

水平方向的位移就是怎么样的

是向右的

跟着单位力的方向是一样的

类似的我们要来求B处的

铅锤的位移的话

我们就要在这一点加一个单位的力

这时候这儿呢我们看到没有外力

所以这杆不受力

这杆不受力是多少

是0是0

那么我们来看它向上的话

那这点的约束率就应该是怎么样的

向下的

为什么呢对着取矩

可以看到它对它取矩的话

1乘以力臂是L

而后它向下对它取矩是反方向了

力臂也是L

所以这个是多少呢

我们看到这就是1这点的约束力

我们同样的来分析

B节点的话

现在呢外力在这是1

BC杆它的现在的内力我们设成拉

斜着方向出去

而后BD杆也认为它是怎么样呢

它是受拉的话

根据平衡条件我们就可以看到是什么

水平方向投影带数和等于0

那你说它是多少

所以是0

我们可以看到啊现在BC杆

可以看到在这里啊BC杆

单位载荷作用的时候

它是0

那这个是0

那这个是多少

这是1

我们可以看到它也是什么

是1

所以BD杆

BD杆现在是多少是1

AB和AC

AB和AC是0

还有最后是哪杆

是这杆我们分析一下D节点

外力我们可以看到这是向下的

是1

这个呢

这杆看到了

受拉是1水平的CD杆

我们也认为是受拉的话

那你说它是多少

水平方向投影带数和等于0

就是这杆的内力

所以我们可以看到cd杆

现在的这个内力是多少

是0

我们把N*N还有长乘起来

得到这样的结果

0乘上那些肯定是0

这个0乘上去还是0

一乘以-PL所以是-PL

00肯定乘完是0

所以求和-PL

再除以EA我们可以看到B方向的

它的位移就是-PL比上EA

负数什么意思

我们假设这一点的力是向上的

所以这一点的竖直方向的位移

跟假设的单位载荷的方向是怎么样相反的

也就是说B点的竖直方向位移是怎么样

向下的

这是我们用单位载荷法分析的桁架的

一个位置的它的两个方向的位移的情况

接下来我们再来看这个直角架

要求它A点的垂直位移和B截面的转角

这个直角架呢

我们看到水平方向

它的抗弯刚度是EI1

竖直方向的弯曲刚度是EI2

这边是固定了

它的长度是L

这边

长度是A

这一端是自由

在这儿作为一个铅垂向下的P力

那么A点呢有个铅垂向下的P力

是吧

现在呢我们要分析A点的这个

竖直方向的位移是多少

注意我们现在是用的单位载荷法

除了用原来的这套系统

我们来求整个直角架的

它的这个内力

弯矩的话没有问题

现在我们要求它的铅锤的位移

所以我们就在A这个位置

铅垂方向就加了什么

加的力

单位力

我们还要求只在这个单位力作用的时候

原来的这样一个结构

相应的内力应该是多少

这个时候我们来求一下这个时候弯矩

对于AB段

我们从这为坐标原点建力X1坐标

那么它对于这个截面的弯矩

我们看到是什么

是这样弧箭头向下的这个

弯矩就是什么-px1

而后这个p力对于竖直段

我们竖直段呢

从这为坐标原点啊向下取X2

而后用截面法截出来

可以看到这个P力

对这个地方取矩是怎么样

也是这样子

好了

那就是多少呢

我们认为是什么

可以看到

P乘上力臂是多少是A

我们认为这个方向呢好比说也是负的

所以就是-PA

同样的

现在呢在这个方向作用力是谁呀

作用力是1

一样的啊

你把P换成一不就也是对应的弯矩

也就知道了吗

所以-X1-A方向一致

那边是负

这边呢也是负

带入莫尔积分

两段

第一段0到A第二段0到L进行积分

每一段的弯矩

MM*这一段MM*

带进去积分

这一段呢弯曲刚度EI1这一段弯曲刚度EI2

积分求解多项式很简单

这个过程都不用多讲

结果在这里

大于0说明什么

说明我们假设的

单位载荷是向下

这个时候它求出来的这个方向的位移

大于0说明跟单位载荷方向是一致的

所以也就是向下的

好

我们还要求的是什么

说B截面的转角

那么既然是求转动的角度

那么我们就需要在B这个位置

转动的方向上

加单位的载荷就加一个单位的力矩

我们假设这点的截面的转角

是这样的一个逆时针方向的话

加了一个这样的单位的力矩

这边的实际载荷作用的弯矩

我们已经求出来了

不必再求

我们只求加了这个单位载荷以后

只在单位载荷作用下

这个结构对应位置的弯矩应该是多少

显然对于这一段

我们截面法截研究这半段的话

没有外力

当然弯矩是0

那么M*只在哪一段

只在这一段

我们用截面法截出来

那么这个时候我们看到这个弯曲是怎么样

是往那个方向的

不是往这个方向

刚才我们说往这个方向是负的

现在呢它是往这个方向了

你看看它从这往这边

所以这边弯矩是这个方向

那它就应该是怎么样的是正的

它是力偶对任一点的矩

还是等于它的力偶矩

所以我们看到啊

一定要注意这个正负的问题

现在我们把这个带入莫尔积分

显然这一段乘完了是0

这一段积分不起作用

只在这一段

积分起作用带进去

EI这一段是EI2

弯曲刚度

弯矩M*

dx2积分从0到L

结果是这个负是什么意思呢

我们刚才假设是什么

这个截面是这样子

逆时针转

实际的方向是怎么样呢

我们看到是负跟它方向相反

也就它是怎么样

顺时针转动的情况

我们再来看一个例子

现在是一个什么

是一个圆环

在这个地方

我们给它截开了

而后上半一点加了一个向上的力

这边向下这样

下半这边加了个向下的力

这样一对的P力

这个曲杆的弯曲刚度我们是知道的

圆环的半径是R

就来求在这一对P力作用下

这个切开的这个口

它的张开量是多少

那么大家注意一下

我们看到这个结构是关于

这个直径是怎么样是对称的

我们就研究一半好了

既然是对称的话

这个截面能这么转或这么转

不管是这么转也好

这么转也好

那它都不对称了

所以根据对称这个面是不可以转的

所以相对的约束条件

就是怎么样

是一个固定端约束

我们就来研究这一半

相当于在这加了这个力以后

那A点的向上的位移是多少

那么它们这个口子张开

就应该是它向上位移的什么

double一下

二倍

现在呢由于它是一个曲杆

所以我们选择的坐标选择极坐标

以这圆心为原点

而后这极坐标从这个

OA 方向为这个角度的0点

逆时针方向为φ角

现在我们就来求一求

P力作用的时候

这个θ截面

它的弯矩应该是多少

能写出来吧

那这个时候我们可以看到什么

对它取矩点到作用线的垂直矩离

作用线不在这嘛

所以这个垂直矩离就哪

就从这儿到这儿

是什么

我们可以看从这到这是R cosφ

所以剩下的这一部分

我们可以看到这是R（1-cosφ)

这是力臂乘上P

我们可以看到使得这个曲杆

它的曲率是减小的

如果我们认为这个是正的话

那现在我们来看

单位在和作用的时候

这个弯矩应该是怎样的

我们觉着它是向上位移了

所以在A这个地方加了个

向上的一个单位力

那么同样的道理

我们可以求得它对于这个截面的弯矩

应该是多少

就是把P换成谁啊换成1就可以了

就是R（1-cosφ)

带到莫尔积分里边去

我们就可以看到那个口子张开的

就是A向上的位移的多少倍

二倍

把这M(φ) M* (φ)带进去

ds等于什么

转换成dφ的话

那就应该是Rdφ

所以我们可以看到

这个积分就是它

这个呢我们可以看到

做平方有平方的项的时候

我们用倍角公式

所以这个积分也不难

很快可以算出来

应该等于这个

说明在这样一对P力的作用下

它的确是这口子是怎么样

是张开

张开了多少

张开了这么大

这个呢是我们又来分析了一个曲杆的

利用单位载荷法相应的这个位移的情况

通过这些例子

我们可以看到运用单位载荷法

必须使用两套加载系统

单位力加载感兴趣的位置

你在这个位置对哪个方向的位移感兴趣

那你这单位力还要

应该沿着那个方向去加

分别计算实际内力

与单位再和单独作用的时候的内力

并且注意它们的方向

这个时候你一定要判断

你自己来定哪个方向是正

不一定按照我们以前所说的

一定这个方向啊这个方向啊没关系

你自己确定正方向就OK

这个是正方向的话呢

这个方向就是什么是负的

而后把我们求得的这两个内力

带入莫尔积分里边

结果的正负就意味着

位移与单位在和方向的异同

这是我们所说的单位载荷法

有关单位再和的相关内容

我们就介绍到这里

谢谢大家