扭转变形 在线视频

各位同学大家好

今天我们来学习材料力学

有关扭转变形如何进行计算

对于我们可以看到

对于圆截面的轴受有扭转的时候

我们怎么样来算出这边截面

相对于这边截面转过了多少角呢

我们来看一下

在我们推导横截面上一点的

切应力的公式的时候

我们得到了θ等于T/GIp

已经得到了这样的关系

因此dφ就应该等于T/GIpdx

那也就是说相邻dx这么远的截面

相对产生了多少的扭转角

产生了这么大的扭转角

因此你要想求得

距离一定长度两个横截面之间

这个转角是多少呢

显然就应该在这个基础上进行求和

求和是什么意思啊

那么求和就意味着积分

如果碰到的

这个时候各个横截面它的扭矩不一样

各个横截面它的尺寸不一样

也就是说扭矩是截面位置的函数

它截面关于圆心的极惯性矩

也是截面位置的函数的话

我们必须采用这样的一种积分的方式

来计算这个扭转角

如果我们看到的这个圆轴

它受到的只是什么

它是等直的

同时两端作用了一个常的扭矩的话

意味着各个横截面它的扭矩是什么

是常量的时候

这些T还有Ip跟截面位置无关

所以我们可以看到扭转角的

计算公式就变成了Tl/GIP

这个时候呢

我们讲它的单位就是弧度

如果我们想变成我们习惯的

说它扭转这个角度

转了多少度啊

那么我们可以看到就是180除以π这么多度

好

这个就是我们如何进行扭转角的计算的公式

接下来我们来给大家说一点

工程上的一些的概念

我们在理论力学的学习的时候

我们看到

说要么就是什么

那么多的螺圈的拉压的弹簧

这个刚度是怎么来的

我们说在上一章

就讲过杆的刚度以及杆的柔度

那么在理论力学

我们还看到有些弹簧是什么

就是这种扭转的这个弹簧叫扭簧

工程上哪那么多扭簧啊

实际上是指的什么

这构件受了扭转

那么我们也可以得到相应的刚度是怎样的

根据刚度的这个物理意义

就是单位变形所需要施加的力是多少

现在是扭转

那它的变形呢

是扭转角

所以单位的扭转角所需要施加的这个力

这个力是广义力

是什么呢

是扭矩

所以就是T/φ

就应该等于什么

GIp/l

我们就记成kt

表示它的扭转的刚度

可以看到材料越好那刚度就越大

是吧

越不容易变形

那你这个截面极惯性矩越大的话

那它也越不容易变形

但是同样的一个杆

尺寸是一样

材料也是一样

一个是比较长

一个是比较短

那么哪个容易变形啊

显然长的时候你一扭可以看到变形

你拿个硬币那么薄的一个

你扭扭看

是吧

所以我们可以看到

跟l是成反比的

那么这是扭转刚度

当然了

它的倒数我们称之为什么

扭转柔度

单位的扭矩作用上去产生的这个转角是多少

所以表示的是柔软的程度

那么这是我们讲的构件的扭转的刚度和柔度

接下来我们就以一个例子来看一下

具体的构件受扭转之后它的变形的情况

现在呢

我们有一个圆截面的轴

右端给它固定

左端是自由的

这一段

比较细

它是什么

直径是25的实心的圆轴

而后这边这一段

我们看到呢

它是什么

管状的

它的内径是25

外径是50

求在这个位置作用1000N·m的扭矩

以及在这个位置作用150N·m的扭矩的时候

左端自由端这个截面的转角是多少

已知这个构件它的材料的

剪切弹性模量是80GPa

就是这样的一个情况

各段的长度在图上表示的也很清楚

我们刚才已经看到了

如果这个构件它是等直的话

两端受到扭矩的作用

各个截面上的扭矩值都是一样的话

那么我们可以看到它的

扭转角的计算公式等于Tl/GIp

是吧

是这样子的

那现在大家来看看

对于我们现在的这个构件

各截面上的扭矩值相同吗

可以看到这一段呢

从这一段到这一段呢

再从这一段到这一段

肯定有变化的

所以如果考察扭矩的话

我们需要给它分成几段

从这到这一段

从这到这一段

从这到这一段

要分成三段

那这样分成三段就可以了吗

材料都是一样的

好不用考虑

还要考虑什么

考虑Ip

也就是说考虑横截面的情况

那么我们就来看横截面发生变化的是哪一段呢

是从这到这

这一段

扭矩可能是一样的

但是横截面Ip发生了变化

是吧

极惯性矩发生了变化

所以我们还是要怎么样

再给它分段

也就是说从哪里分啊

从这里开始分

一共分成几段

分成这样的四段来考虑才是合适的

我们不用积分

直接按照什么

每一段的扭转角给它累加就可以了

是吧

这是我们分析的过程

接下来我们要进行相应的计算

为了要求出各段它截面上的扭矩

我们一开始要求出什么

所受到的所有的外力

比如说右端这的约束力是多少

那么我们按照扭矩的正方向来假设

这个时候根据平衡条件

我们就可以求得右端这的

这个约束的这个力偶是多少

那么根据平衡

向右为正

向左为负的话

那你就可以看到这边的TE减去TB减去TD

就应该等于0

所以TE就等于它们两者之和

等于1150N·m

所有的外力求出来

我们用截面法来求各段的它的这个扭矩值

对于AB段

我们用截面法从这截下来

研究左半段

对于左半段而言

我们可以看到上面没有外力

所以这个截面上的内力是多少啊

显然就是什么

就是0

那么这个时候呢

我们再来看BD段

我们用一个截面截开它

我们还是研究左半段

那么它的受力就是这样

这个截面上面的扭矩我们依然按照什么

按照正方向假设

也就是外法线方向来假设它

求出来是正它就是正

求出负就是负

我们可以不用二次判断

省却这个事情

那么这个时候呢

我们根据平衡条件就可以求得BD段的

那个各个截面的它的扭矩是多少

所以我们可以看到

第一段AB段是零

第二段我们可以看到

这个扭矩TBD就应该等于这个TB

可以看到就是150N·m

而后对于最后一段

截下来我们也可以研究左半段

也可以研究右半段

如果我们就研究右半段的话

那么我们可以看到结果是怎样的

这边只有外力是多少 1150

那这个截面呢

我们按照正方向来假设它的内力

外法线方向

所以向左

所以这个时候我们看到这个时候TDE

它的扭矩是多少呢

根据平衡条件我们可以看到就是多少 1150

各段的它的截面上的扭矩值我们都已经求得了

接下来我们要求什么

我们要求各段横截面的极惯性矩

那么我们可以来求一下

前面这一段实心的部分的

它的这个截面的极惯性矩

32分之πd的4次方

这d是多少

在这可以看到是25毫米

因此代进去求出来

38.3×10的3次方毫米的4次方

而后我们再来看从C到E都是一样的

CD段DE段

极惯性矩

32分之π（外径的4次方-内径的4次方）

把相关数据代进去

我们可以得到了575x10³mm4

这样一来

各段的极惯性矩

各段的这个扭矩值我们都算出来了

各段的长度这图上是很清楚的

而它的剪切模量题目已经告诉我们了

所以接下来我们就可以按照这样的四段

来进行求解

求和就是了

那么我们把具体的数据给它数值代进去

那我们注意到MPa是什么意思啊

MPa就是指的什么

也可以认为是N/mm²

是吧

显然也是什么

也是MPa的意思

那这个时候呢

我们就把这个牛顿米

换成牛顿毫米的话就要乘10³

所以这个时候的长度我们都是用的什么

可以看到也是毫米

那么我们把这个GPa

80GPa换成MPa10³

同时底下这时我们可以看到

极惯性矩都是用的毫米

所以求出来的结果

那它是一致的

这个时候求出来各段的扭转角

我们就求出来第一段没有

第二段是这么大

第三段

第四段

整个的和是多少

23.3x10-3rad

这个就是我们通过一个具体的例子

来进行的这个扭转角的这个计算的情况

在这里特别提醒大家

如果我们是按照Tl/GIp这个公式来算的话

它一定是什么

等直的

而且各截面扭矩是一个常量

材料也是相同的

那么我们直接可以按照

这个积分的结果这个公式来算

如果截面它的扭矩是变化的

是截面位置的函数

或者讲

它各个截面它关于圆心的

极惯性矩也是在变化的话

或者是材料不同的话

那么这个时候我们用什么

就得要什么

用这个积分的这个公式来进行计算

好

这就是我们今天给大家介绍的

有关受扭转构件的它的变形的计算

谢谢大家