当前课程知识点:材料力学 > 第三章 扭转 > 3-4 扭转变形 > 扭转变形
各位同学大家好
今天我们来学习材料力学
有关扭转变形如何进行计算
对于我们可以看到
对于圆截面的轴受有扭转的时候
我们怎么样来算出这边截面
相对于这边截面转过了多少角呢
我们来看一下
在我们推导横截面上一点的
切应力的公式的时候
我们得到了θ等于T/GIp
已经得到了这样的关系
因此dφ就应该等于T/GIpdx
那也就是说相邻dx这么远的截面
相对产生了多少的扭转角
产生了这么大的扭转角
因此你要想求得
距离一定长度两个横截面之间
这个转角是多少呢
显然就应该在这个基础上进行求和
求和是什么意思啊
那么求和就意味着积分
如果碰到的
这个时候各个横截面它的扭矩不一样
各个横截面它的尺寸不一样
也就是说扭矩是截面位置的函数
它截面关于圆心的极惯性矩
也是截面位置的函数的话
我们必须采用这样的一种积分的方式
来计算这个扭转角
如果我们看到的这个圆轴
它受到的只是什么
它是等直的
同时两端作用了一个常的扭矩的话
意味着各个横截面它的扭矩是什么
是常量的时候
这些T还有Ip跟截面位置无关
所以我们可以看到扭转角的
计算公式就变成了Tl/GIP
这个时候呢
我们讲它的单位就是弧度
如果我们想变成我们习惯的
说它扭转这个角度
转了多少度啊
那么我们可以看到就是180除以π这么多度
好
这个就是我们如何进行扭转角的计算的公式
接下来我们来给大家说一点
工程上的一些的概念
我们在理论力学的学习的时候
我们看到
说要么就是什么
那么多的螺圈的拉压的弹簧
这个刚度是怎么来的
我们说在上一章
就讲过杆的刚度以及杆的柔度
那么在理论力学
我们还看到有些弹簧是什么
就是这种扭转的这个弹簧叫扭簧
工程上哪那么多扭簧啊
实际上是指的什么
这构件受了扭转
那么我们也可以得到相应的刚度是怎样的
根据刚度的这个物理意义
就是单位变形所需要施加的力是多少
现在是扭转
那它的变形呢
是扭转角
所以单位的扭转角所需要施加的这个力
这个力是广义力
是什么呢
是扭矩
所以就是T/φ
就应该等于什么
GIp/l
我们就记成kt
表示它的扭转的刚度
可以看到材料越好那刚度就越大
是吧
越不容易变形
那你这个截面极惯性矩越大的话
那它也越不容易变形
但是同样的一个杆
尺寸是一样
材料也是一样
一个是比较长
一个是比较短
那么哪个容易变形啊
显然长的时候你一扭可以看到变形
你拿个硬币那么薄的一个
你扭扭看
是吧
所以我们可以看到
跟l是成反比的
那么这是扭转刚度
当然了
它的倒数我们称之为什么
扭转柔度
单位的扭矩作用上去产生的这个转角是多少
所以表示的是柔软的程度
那么这是我们讲的构件的扭转的刚度和柔度
接下来我们就以一个例子来看一下
具体的构件受扭转之后它的变形的情况
现在呢
我们有一个圆截面的轴
右端给它固定
左端是自由的
这一段
比较细
它是什么
直径是25的实心的圆轴
而后这边这一段
我们看到呢
它是什么
管状的
它的内径是25
外径是50
求在这个位置作用1000N·m的扭矩
以及在这个位置作用150N·m的扭矩的时候
左端自由端这个截面的转角是多少
已知这个构件它的材料的
剪切弹性模量是80GPa
就是这样的一个情况
各段的长度在图上表示的也很清楚
我们刚才已经看到了
如果这个构件它是等直的话
两端受到扭矩的作用
各个截面上的扭矩值都是一样的话
那么我们可以看到它的
扭转角的计算公式等于Tl/GIp
是吧
是这样子的
那现在大家来看看
对于我们现在的这个构件
各截面上的扭矩值相同吗
可以看到这一段呢
从这一段到这一段呢
再从这一段到这一段
肯定有变化的
所以如果考察扭矩的话
我们需要给它分成几段
从这到这一段
从这到这一段
从这到这一段
要分成三段
那这样分成三段就可以了吗
材料都是一样的
好不用考虑
还要考虑什么
考虑Ip
也就是说考虑横截面的情况
那么我们就来看横截面发生变化的是哪一段呢
是从这到这
这一段
扭矩可能是一样的
但是横截面Ip发生了变化
是吧
极惯性矩发生了变化
所以我们还是要怎么样
再给它分段
也就是说从哪里分啊
从这里开始分
一共分成几段
分成这样的四段来考虑才是合适的
我们不用积分
直接按照什么
每一段的扭转角给它累加就可以了
是吧
这是我们分析的过程
接下来我们要进行相应的计算
为了要求出各段它截面上的扭矩
我们一开始要求出什么
所受到的所有的外力
比如说右端这的约束力是多少
那么我们按照扭矩的正方向来假设
这个时候根据平衡条件
我们就可以求得右端这的
这个约束的这个力偶是多少
那么根据平衡
向右为正
向左为负的话
那你就可以看到这边的TE减去TB减去TD
就应该等于0
所以TE就等于它们两者之和
等于1150N·m
所有的外力求出来
我们用截面法来求各段的它的这个扭矩值
对于AB段
我们用截面法从这截下来
研究左半段
对于左半段而言
我们可以看到上面没有外力
所以这个截面上的内力是多少啊
显然就是什么
就是0
那么这个时候呢
我们再来看BD段
我们用一个截面截开它
我们还是研究左半段
那么它的受力就是这样
这个截面上面的扭矩我们依然按照什么
按照正方向假设
也就是外法线方向来假设它
求出来是正它就是正
求出负就是负
我们可以不用二次判断
省却这个事情
那么这个时候呢
我们根据平衡条件就可以求得BD段的
那个各个截面的它的扭矩是多少
所以我们可以看到
第一段AB段是零
第二段我们可以看到
这个扭矩TBD就应该等于这个TB
可以看到就是150N·m
而后对于最后一段
截下来我们也可以研究左半段
也可以研究右半段
如果我们就研究右半段的话
那么我们可以看到结果是怎样的
这边只有外力是多少 1150
那这个截面呢
我们按照正方向来假设它的内力
外法线方向
所以向左
所以这个时候我们看到这个时候TDE
它的扭矩是多少呢
根据平衡条件我们可以看到就是多少 1150
各段的它的截面上的扭矩值我们都已经求得了
接下来我们要求什么
我们要求各段横截面的极惯性矩
那么我们可以来求一下
前面这一段实心的部分的
它的这个截面的极惯性矩
32分之πd的4次方
这d是多少
在这可以看到是25毫米
因此代进去求出来
38.3×10的3次方毫米的4次方
而后我们再来看从C到E都是一样的
CD段DE段
极惯性矩
32分之π(外径的4次方-内径的4次方)
把相关数据代进去
我们可以得到了575x10³mm4
这样一来
各段的极惯性矩
各段的这个扭矩值我们都算出来了
各段的长度这图上是很清楚的
而它的剪切模量题目已经告诉我们了
所以接下来我们就可以按照这样的四段
来进行求解
求和就是了
那么我们把具体的数据给它数值代进去
那我们注意到MPa是什么意思啊
MPa就是指的什么
也可以认为是N/mm²
是吧
显然也是什么
也是MPa的意思
那这个时候呢
我们就把这个牛顿米
换成牛顿毫米的话就要乘10³
所以这个时候的长度我们都是用的什么
可以看到也是毫米
那么我们把这个GPa
80GPa换成MPa10³
同时底下这时我们可以看到
极惯性矩都是用的毫米
所以求出来的结果
那它是一致的
这个时候求出来各段的扭转角
我们就求出来第一段没有
第二段是这么大
第三段
第四段
整个的和是多少
23.3x10-3rad
这个就是我们通过一个具体的例子
来进行的这个扭转角的这个计算的情况
在这里特别提醒大家
如果我们是按照Tl/GIp这个公式来算的话
它一定是什么
等直的
而且各截面扭矩是一个常量
材料也是相同的
那么我们直接可以按照
这个积分的结果这个公式来算
如果截面它的扭矩是变化的
是截面位置的函数
或者讲
它各个截面它关于圆心的
极惯性矩也是在变化的话
或者是材料不同的话
那么这个时候我们用什么
就得要什么
用这个积分的这个公式来进行计算
好
这就是我们今天给大家介绍的
有关受扭转构件的它的变形的计算
谢谢大家
-1-1 材料力学的任务
--材料力学的任务
--第1-1节作业
-1-2 基本假设、内力、杆的基本变形
--第1-2节作业
-1-3 弹性杆受力的普遍情况与课程内容简介
-2-1 应力,轴力与轴力图,杆横截面上的正应力
--第2-1节作业
- 2-2 应变,杆斜截面上的应力
--第2-2节作业
- 2-3-1 材料的力学性能(一)
--第 2-3-1作业
- 2-3-2 材料的力学性能(二)
--第 2-3-2作业
-2-4-1 胡克定律、轴向变形和泊桑比
--第 2-4-1作业
-2-4-2 安全系数,许用应力,许用载荷
--第 2-4-2作业
-2-5-1 静不定(超静定)系统
--第 2-5-1作业
-2-5-2 静不定(超静定)系统(续)
--第 2-5-2节作业
-2-6 热应力和变形
--热应力和变形
--第 2-6节作业
-2-7 剪切和挤压
--剪切和挤压
--第 2-7节作业
-3-1 扭转,扭矩
--扭转,扭矩
--第 3-1节作业
- 3-2 剪应变,剪应力互等,剪切胡克定律
--第 3-2节作业
-3-3 受扭转构件横截面上的剪应力
--第 3-3节作业
- 3-4 扭转变形
--扭转变形
--第 3-4节作业
-3-5 扭转构件的设计 扭转静不定
--第 3-5节作业
-4-1 梁,平面弯曲,直接求解梁的内力
-4-2 剪力图和弯矩图及一些规律
--第 4-2节作业
-4-3 积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--第 4-3 节作业
-5-1 弯曲正应力
--弯曲正应力
--第 5-1节作业
-5-2 横截面关于中性轴的惯性矩
--第 5-2节作业
-5-3 梁的设计
--梁的设计
--第 5-3节作业
-5-4 弯曲剪应力
--弯曲剪应力
--第 5-4节作业
- 6-1 挠曲微分方程,边界条件
--第 6-1节作业
-6-2 积分法
--积分法
--第 6-2节作业
-6-3 静不定
--静不定
--第 6-3 节作业
-6-4 叠加法
--叠加法
--第 6-4节作业
-6-5 简单静不定梁
--简单静不定梁
--第 6-5节作业
- 7-1 二向应力状态(薄壁压力容器)、三向应力状态
--第 7-1节作业
-7-2 平面应力变换
--平面应力变换
--7-2 节作业
- 7-3 图解法-莫尔圆 广义胡克定律
--第 7-3节作业
-7-4 强度理论概述 断裂准则
--第 7-4节作业
-7-5 屈服准则
--屈服准则
--第 7-5节作业
-7-6 莫尔强度理论
--莫尔强度理论
--第 7-6节作业
- 8-1 关于两个主轴的弯曲
--第 8-1节作业
-8-2 拉压与弯曲的组合变形,直接剪力与扭转剪切的组合
--第 8-2节作业
-8-3 弹性设计
--弹性设计
--第 8-3节作业
-8-4 梁的弹性设计
--梁的弹性设计
--第 8-4节作业
-8-5 轴的强度设计(弯扭组合)
--轴的强度设计
--第 8-5节作业
-8-6 提高梁抗弯能力的措施
--第 8-6节作业
-9-1 屈曲 细长压杆的临界压力
--第 9-1节作业
-9-2 欧拉公式的适用范围,临界应力与长细比,经验公式
--第 9-2节作业
-9-3 提高压杆稳定性的措施
--第 9-3节作业
-10-1. 冲击,动荷系数
--冲击,动荷系数
--第 10-1节作业
-10-2. 用动静法求应力和变形 冲击韧性
--第 10-2节作业
- 11-1 交变应力、持久极限
--第 11-1节作业
-11-2 影响持久极限的因素
--第 11-2节作业
-11-3 疲劳强度
--疲劳强度
--第 11-3节作业
-12-1 应变能
--应变能
--第 12-1节作业
-12-2 互换定理
--互换定理
--第 12-2节作业
-12-3 卡氏定理,应用
--卡氏定理,应用
--第 12-3节作业
- 12-4 卡氏定理应用:虚构载荷法
--第 12-4节作业
- 12-5 虚功原理,单位载荷法,莫尔积分
--第 12-5节作业
-12-6 图乘法
--图乘法
--第12-6节作业
- 13-1 静不定结构、正则方程(一次静不定)
--第 13-1节作业
- 13-2 正则方程(高次静不定系统)
--第 13-3 节作业
-13-3 利用对称性与反对称性分析静不定结构
--第 13-4节作业