当前课程知识点:材料力学 > 第七章 应力状态分析及强度理论 > 7-5 屈服准则 > 屈服准则
同学们大家好
今天我们来学习第三和第四强度理论
以及几个强度理论的对比
我们来学习第三
第四强度理论
它们是材料的屈服准则
我们来介绍第一种的材料屈服准则
最大剪应力理论
也称之为Tresca屈服条件
有些翻译成中文叫屈雷斯加
就是Tresca
也叫第三强度理论
它认为最大剪应力是引起屈服的主要原因
也就是不论它是何种的应力状态
只要最大剪应力达到极限值就屈服
我们来看看单向应力状态
在单向的应力状态
也就是拉压问题的时候
我们已经做过相关的分析
那么我们取横截面上一点
我们画它单元体的话
那么我们可以看到轴向应力等于 ±σ1
也就是说它要么拉
要么压
而y方向的应力以及剪应力都是等于0的
这个时候我们也知道它在45度斜截面上
会出现最大的剪应力
45度
是多少呢
是这个拉压正应力
横截面上拉压正应力的一半
拉压正应力值的一半
是这样子的
剪应力达到临界
就意味着横截面上正应力达到临界
比如说达到了什么
达到了屈服
因为现在我们讲的是屈服准则嘛
所以这个临界的这个正应力
就是达到了屈服应力
任意应力状态下
我们之前曾经讨论过
比如说三向应力
是吧
那这个时候呢
我们可以看到σ 1
σ 2以及σ 3
这里面我们所说的它的三个主应力是指的什么
σ 1>σ 2>σ 3
是这样的排列的
它最大
它在中间
它最小
这个时候我们通过两两画应力圆的的话
我们发现最大的剪应力
是最大的主应力和最小主应力它们差的一半
那么也就说
屈服准则
这个最大的剪应力就是它达到的临界值
σ s/2
把1/2都去掉
所以就是σ 1-σ 3=σ s
这就是说它已经屈服了
我们考虑安全系数
所以得到了第三强度理论对应的强度条件
σ 1-σ 3≤[σ]
这就是第三强度理论对应的强度条件
一定记住
σ 1
σ 3是指的什么
它一点的它的最大的主应力和最小的主应力
这就是我们所说的第三强度理论
对应的强度条件
如果我们看一下是某一点它的应力状态是
处于二向应力状态的话
也就是所谓的平面应力状态的话
比如说σ 1≠0
σ 2≠0
σ 3=0
那么我们来看看对应的它的这个情况是怎样的
看第一种情况
说|σ 1 |>|σ 2 |
注意我们在这儿说的是什么
它们两首先是同号
也就是说
它们要么都大于0
要么都小于0
所谓同号的情况
如果|σ 1 |>|σ 2 |的话
这个时候我们可以看到
屈服准则就是什么
|σ 1 |=σ s
为什么呢
那么它的绝对值是大于它的话
那就意味着这个时候它两个又同号
说明是什么
说明这个就是第一主应力
这是第二主应力
而σ 3=0是第三主应力
都是大于零的
因此呢
第一主应力减去第三主应力不就是它嘛
应该等于屈服应力
所以得到它
如果σ 1的绝对值小于σ 2的绝对值的话
那它们又是同号的话
那就意味着是什么
那就意味着σ 2和σ 1都是怎么样
小于0的情况
那这个时候呢
我们可以看到第一主应力就是谁了
就是σ 3了
而后最小的主应力就是谁了
那就应该是σ 2
所以按照最大的主应力
和最小主应力的差就变成谁啦
就变成我们可以看到0-σ 2
不就σ 2的绝对值嘛
它达到了屈服应力
它开始屈服
这个在这个应力圆这个图上
表示的是非常的明显的
好
那接下来我们再来看看这种情形
σ 1和σ 2异号
那刚才我们说的σ 3=0
那就是中间的那个主应力了
所以按照屈服准则
我们可以看到
σ 1最大的主应力
和σ 2最小的主应力
它们差值的一半就是最大的剪应力
它们的差值
注意这个是小于0
这是大于0
所以就是什么
两者绝对值了
一半
好
对应的屈服准则
我们讲了它就应该怎么样呢
应该是等于σ s/2
那么综合以上两条以及单向应力的情况
我们可以看到
最大是σ s/2
我们可以得到放在一起写成一个式子的话
我们就可以写成这样的一个情况
特别注意
这里是指的什么呀
σ 1和σ 2是指的对应的最大与最小的主应力
我们现在之所以写成σ 1和σ 2
是为了要什么
后边我们要在一个平面上去来画
相应的这样的对应的这样的曲线去
好
对应的屈服准则|σ 1-σ 2 |=σ s
再次强调这里的σ 1和σ 2是指的
最大主应力和最小主应力
我们可以给它变成无量纲的形式
大家都除以σ s
所以把这个绝对值去掉就变成这样了
那么这个时候呢
我们就以这样的两个坐标方向
也就是得到的一个主应力平面的话
显然
这就代表了这个主应力平面上的什么
我们可以看到
从这儿到这儿
一个六边形
一个六边形
大家想看看
对于某一个单向应力状态的话
我们可以看到可能是这个情况
对吧
或者是这个情况
要看它的拉和压
那么就是那两条直线是什么
我们可以看到
这样的直线
如果它一正一负的话
那就代表了什么
代表了这样两条直线
所以呢
一起呢我们可以看到构成这样的一个
这样的六条线构成一个这样的六边形
我们讲
某一点的这个应力状态不管怎么样
我们总可以通过变换得到它的主单元体
得到它的主应力
所以那样的这个应力总可以表示成
这个主应力平面上的一个点
如果我们看到某一处它的这个应力
它的主应力得到的是这个平面上的一个点的话
它落在了这个六边形的范围之内的话
我们讲它就没有达到临界
没有屈服
如果我们得到的它的主应力
是这个主应力平面上的一个点
这个点达到这个六边形的这个边界的话
在这个边界上的话
我们讲它就是这个临界状态
就已经怎么样
达到了屈服
所以我们希望它在这个范围里边
实验表明
这个屈服准则特别适用于韧性材料
接下来我们再来介绍一个屈服条件
屈服准则
所谓的最大畸变能密度理论
也称为Von Mises屈服条件
也叫做第四强度理论
这里边可能就要问了
说什么叫做畸变能
什么叫畸变能密度
我们来看一下
受力以后构件受力以后
或者讲材料受力以后
那么它就会产生相应的变形
有相应的应变
那这个时候里边就聚集了什么
就聚集了能量
比如说线弹性范围的话
那它就有什么
弹性势能了
好
单位体积的弹性能就称为应变能密度
包括两部分
畸变能或者讲形状改变比能和体积改变能密度
包括两部分
那现在呢
我们讲的是哪一个呢
是畸变能密度
这个理论认为畸变能密度是引起屈服的主要的原因
也就是说你不管是什么样的应力状态
只要畸变能密度达到了极限值的话
它就屈服了
由于我们现在还没有介绍
这个畸变能或者讲弹性能怎么样进行计算
所以它的推导我们现在就不做推导了
那么在我们后边章节学了
怎么样来计算弹性能的话
那么我们就能够很方便的能够推导出这个
它的相应的这个屈服准则
我们可以把结论告诉大家
可以看到
三个主应力两两差的平方的和
就应该等于2倍的屈服应力的平方
这个就是我们所说的畸变能密度理论它的屈服条件
如果考虑安全系数的话
得到了第四强度理论所对应的强度条件
就是这个式子
注意它是什么
小于等于许用应力
我们也做一下类似刚才的
第三强度理论的那些个讨论
比如说对于某一个平面应力状态
如果σ 3=0的话
那这个式子我们就可以给它转变成无量纲的形式
就成了这样
同样的在σ 2/σ s
以及σ 1/σ s 所构成的这个主应力平面上
我们可以看到它就表征了一个什么
反正二次曲线
什么二次曲线呢
它是一个椭圆
它是一个椭圆
也就是说某一点
好比说危险点它的这个应力
你总可以给它变换成什么
主应力的情况
是吧
可以得到了对应的主应力
总可以表示为这个平面上
注意这是主应力平面上
它上面的一个点
如果这个点是落在了这个椭圆的范围之内的话
那么我们讲它就不是等于1
而是怎么样
小于1
它就不会屈服
但是如果这个点落在了
这个椭圆这个边界上的话
我们讲这就是取等号1了
也就意味着它已经达到什么
屈服了
这个理论我们讲实验表明是非常适用于韧性材料的
所以是屈服准则
大家想一想
你看这个椭圆这些点
如果把这些点连起来的话
那你看看是什么
是不是这个六边形啊
跟谁呀
跟第三强度理论
是吧
就一样了
好
四种强度条件
我们说可以给它写成统一的形式
σ r≤[σ]
那这里的σ r我们称为相当应力
如果我们使用的是断裂准则
比如说用的第一强度理论的话
那么σ r1=σ 1
如果用的第二强度理论的话
那么这个σ r呢
我们记成σ r2
就是σ r2=σ 1-ν(σ 2+σ 3 )
第三强度理论最大剪应力理论
σ r3就是最大和最小两个主应力的差
这个呢就是我们所说的
第四强度理论的它的相当应力
所以呢
你要记清楚这些关系的话
那么整个强度条件我们
可以写成这样的一个统一的形式
接下来我们来看一个例子
还是这个锅炉
就是我们之前讲的例7-1的这个锅炉
说采用的材料是Q235钢
它的许用应力是160MPa
让我们来校核这个锅炉它的这个壁的强度够不够
我们在前面例7-1题里面
我们已经求出它的环向
的应力以及轴向的应力
已经求出来了啊
好
那么第三个方向
也就是径向的
我们说近似等于0
所以它处于二向应力状态
那这个时候
我们说Q235钢它是一个韧性材料
锅炉是一个压力容器
我们说它一旦出事的时候
就像爆炸一样
后果很严重
所以我们现在采用的是什么
第三强度理论
我们可以看到它的最大的主应力是80
最小的主应力是谁呀
是0
千万别把这个丢了啊
那这个时候我们看到代到第三强度理论
σ 1-σ 3
等于什么
我们可以看到就是80MPa
而许用值是多少呢
160MPa
是小于许用数值的
所以我们说它是安全的
没有问题
刚才我提醒大家了啊
你那个椭圆有几个点连起来
那不就是那个第三强度理论的那个六边形吗
是吧
所以我们现在就把几种强度条件来作一个对比
首先就是我们刚才说了啊
第三强度理论这六边形和
和第四强度理论刚好呢是这个椭圆
在这些点上
这六个点我们可以看到
第三和第四这个屈服的话
这个准则是一致的
如果我们得到某一点的它的应力状态
变成了这个主应力的情况下的时候
我们讲它就可以变成这个主平面
主应力平面上的一个点
比如说这个点
到了这里
按照第三强度理论的话
我们说它已经怎么样
开始进入屈服了
如果按照第四强度理论呢
它还在椭圆的这个范围之内
还没有达到屈服
所以两者比较的话
我们可以看到谁是偏于保守的
对了
第三强度理论是偏于保守的
所以为什么刚才我们那个锅炉
比较危险的地方
我们用的什么
偏于保守的这个强度理论
那么一般不那么
这个这个使用情况比较
相对受力比较简单的情况
不是那么严重的地方
我们可以用第四强度理论
这是第三和第四强度理论的一个比较
另外呢这里边我们还画了一个图
这个图是什么
实际上这是一个
第三
第四强度理论以及第一强度理论
和实验数据的一个对比的情况
在这里我们可以看到
这个十字的这个是什么
我们可以看到是铸铁实验的情况
结果可以看到
你看这十字都在哪里
基本上沿着这条线
我们再看底下这个圈圈
和这个点儿还有这个三角是什么
分别是钢
还有铜
还有什么
我们可以看到还有铝
那么它们呢可以看到分布在这个地方
所以我们可以看到
对于铸铁它分布基本是沿着这个来的
这是什么
我们讲这是第一强度理论
铸铁
脆性材料
所以适用于这个断裂的准则
是吧
再看这些钢啊
铝啊
铜啊
它们都是什么
这个范围
是吧
那这个呢就跟屈服是有关
为什么
这三种材料都是韧性材料
你看跟这个第三强度理论也好
还是第四强度理论也好
是很符合的
这是我们进行的一些的对比的情况
下面我们来看一下实际的例子
这个是一个什么
好比说这个构件我们可以看到了
根据右手法则
根据右手法则
它实际上什么
是这样受了扭转了
受了扭转了
那这个时候我们来看看它的单元体
如果按横截面上来取的话
那么我们讲由于它是扭转
所以横截面上
只有什么
对了只有剪应力
那它的主单元体在哪呢
我们曾经说过应力圆
是吧
那么我们可以看到这是什么
只有剪应力
只有剪应力的话
那你说这些点在哪呢
就应该是在什么
一个是在这边
一个是在这边
是吧
对吧
这是负的
这是什么
这是正的
所以我们可以看到
这个负的在这
这个正的在这
所以我们画出这个应力圆应该是这样的
是吧
这两个面差了90度
所以在应力圆上我们可以看到这个就差180度
那不就直径上的两个点嘛
那这时候我们很快可以得出来
这主应力都是多少啊
所以我们可以看到σ 1=τ
是吧
σ 2 =- τ
一拉一压
那这个时候我们可以看到
这个对应的这个面应该是多少
这是什么
这是我们讲的这个面儿
向这个方向转了什么
这是90度
在这儿呢
45度转过来
就是什么
就是第一主应力面的位置
所以我们可以看到
这个画出它的主单元体
45度方向
那这个时候呢
我们给它受扭转
所以这边第一主应力
而后这边第二主应力是负的嘛
所以是受压的
好了
构件我们只是作用了这样的扭矩在上面
我们来看看这是一个什么
一个什么样的一个材料呢
我们看到这个一个钢材的情况
这个是什么
铸铁的螺栓
看看破坏
这个
刚才的这个情况我们看到了你这个螺栓受了扭转
你看这个从这儿坏的
它就是沿着横截面坏的
那沿着横截面坏意味着什么
我们来看看是因为什么
是因为这个时候它有了最大的剪应力而产生破坏的
那钢材嘛
它韧性材料
你看看它最大剪应力引起它的破坏
这不就是什么
韧性材料嘛
第三强度理论
是吧
而这个呢是什么
刚说了是铸铁的螺栓
同样的我们给它这样受扭转了
可以看到它是沿着什么
这方向
看到了
什么方向
差不多45度的方向
45度方向是什么
我们可以看到45度的方向
这是什么方向
最大拉应力的方向
所以它脆性的断裂就这样断
再来看这是什么
一个岩心
也是受扭转
可以看到它跟轴线方向
或者讲跟横截面方向也是差不多成了45度方向
因为在这个面上有最大的正应力
最大的拉应力
这岩心
岩石嘛
脆性材料
也这样破坏
跟这个类似的
这是我们实际的这样的这个实验的结果
所以跟我们讲的强度理论是非常吻合的
好
有关第三和第四强度理论以及
四个常用强度理论的对比我们就介绍到这里
谢谢大家
-1-1 材料力学的任务
--材料力学的任务
--第1-1节作业
-1-2 基本假设、内力、杆的基本变形
--第1-2节作业
-1-3 弹性杆受力的普遍情况与课程内容简介
-2-1 应力,轴力与轴力图,杆横截面上的正应力
--第2-1节作业
- 2-2 应变,杆斜截面上的应力
--第2-2节作业
- 2-3-1 材料的力学性能(一)
--第 2-3-1作业
- 2-3-2 材料的力学性能(二)
--第 2-3-2作业
-2-4-1 胡克定律、轴向变形和泊桑比
--第 2-4-1作业
-2-4-2 安全系数,许用应力,许用载荷
--第 2-4-2作业
-2-5-1 静不定(超静定)系统
--第 2-5-1作业
-2-5-2 静不定(超静定)系统(续)
--第 2-5-2节作业
-2-6 热应力和变形
--热应力和变形
--第 2-6节作业
-2-7 剪切和挤压
--剪切和挤压
--第 2-7节作业
-3-1 扭转,扭矩
--扭转,扭矩
--第 3-1节作业
- 3-2 剪应变,剪应力互等,剪切胡克定律
--第 3-2节作业
-3-3 受扭转构件横截面上的剪应力
--第 3-3节作业
- 3-4 扭转变形
--扭转变形
--第 3-4节作业
-3-5 扭转构件的设计 扭转静不定
--第 3-5节作业
-4-1 梁,平面弯曲,直接求解梁的内力
-4-2 剪力图和弯矩图及一些规律
--第 4-2节作业
-4-3 积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--第 4-3 节作业
-5-1 弯曲正应力
--弯曲正应力
--第 5-1节作业
-5-2 横截面关于中性轴的惯性矩
--第 5-2节作业
-5-3 梁的设计
--梁的设计
--第 5-3节作业
-5-4 弯曲剪应力
--弯曲剪应力
--第 5-4节作业
- 6-1 挠曲微分方程,边界条件
--第 6-1节作业
-6-2 积分法
--积分法
--第 6-2节作业
-6-3 静不定
--静不定
--第 6-3 节作业
-6-4 叠加法
--叠加法
--第 6-4节作业
-6-5 简单静不定梁
--简单静不定梁
--第 6-5节作业
- 7-1 二向应力状态(薄壁压力容器)、三向应力状态
--第 7-1节作业
-7-2 平面应力变换
--平面应力变换
--7-2 节作业
- 7-3 图解法-莫尔圆 广义胡克定律
--第 7-3节作业
-7-4 强度理论概述 断裂准则
--第 7-4节作业
-7-5 屈服准则
--屈服准则
--第 7-5节作业
-7-6 莫尔强度理论
--莫尔强度理论
--第 7-6节作业
- 8-1 关于两个主轴的弯曲
--第 8-1节作业
-8-2 拉压与弯曲的组合变形,直接剪力与扭转剪切的组合
--第 8-2节作业
-8-3 弹性设计
--弹性设计
--第 8-3节作业
-8-4 梁的弹性设计
--梁的弹性设计
--第 8-4节作业
-8-5 轴的强度设计(弯扭组合)
--轴的强度设计
--第 8-5节作业
-8-6 提高梁抗弯能力的措施
--第 8-6节作业
-9-1 屈曲 细长压杆的临界压力
--第 9-1节作业
-9-2 欧拉公式的适用范围,临界应力与长细比,经验公式
--第 9-2节作业
-9-3 提高压杆稳定性的措施
--第 9-3节作业
-10-1. 冲击,动荷系数
--冲击,动荷系数
--第 10-1节作业
-10-2. 用动静法求应力和变形 冲击韧性
--第 10-2节作业
- 11-1 交变应力、持久极限
--第 11-1节作业
-11-2 影响持久极限的因素
--第 11-2节作业
-11-3 疲劳强度
--疲劳强度
--第 11-3节作业
-12-1 应变能
--应变能
--第 12-1节作业
-12-2 互换定理
--互换定理
--第 12-2节作业
-12-3 卡氏定理,应用
--卡氏定理,应用
--第 12-3节作业
- 12-4 卡氏定理应用:虚构载荷法
--第 12-4节作业
- 12-5 虚功原理,单位载荷法,莫尔积分
--第 12-5节作业
-12-6 图乘法
--图乘法
--第12-6节作业
- 13-1 静不定结构、正则方程(一次静不定)
--第 13-1节作业
- 13-2 正则方程(高次静不定系统)
--第 13-3 节作业
-13-3 利用对称性与反对称性分析静不定结构
--第 13-4节作业