积分法求剪力和弯矩，利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图在线视频

好各位同学大家好

今天我们继续学习梁的内力图的画法

我们将以梁的内力

以分布载荷的微积分关系

来说明剪力图和弯矩图的画法

我们来看

现在我们有一个梁

简支梁

它上面作用了分布的载荷

以梁的轴线为x方向

这个垂直方向作为y方向

我们建立了这样的直角坐标系

上面的分布载荷q(x)

以向上为正向下为负

好我们现在来考察

在x位置处截取一段dx

这么样的一个微段

来看这些内力是如何的

好我们把这个微段给它放大

放到了这里在x截面上

它的内力左端面向上为正

弯矩弧箭头向上为正

右端面向下为正

剪力弧箭头向上弯矩为正

这上面作用了分布的载荷q(x)

由于微段这个长度的改变dx

所以这边的内力相应的

就有一个增量

我们分别记成Fs+dFs

这里的M+dM

由于我们选择的微段很小

所以上面的分布载荷q(x)

我们就认为是均匀地分布的

这种近似的处理是可以的

接下来我们来看整个梁处于平衡的话

那么我们说这个微段也是处于平衡的

根据平衡条件我们可以看到

所有的力

在y方向上投影的代数和等于0

所以我们可以看到

这里Fs(x)-[ Fs(x)+d Fs(x)]+q (x)dx=0

注意到这里的Fs(x)

如果我们把中括号去掉的话

那这一项就会相互抵消

因此我们可以得到了

这样的一个结果dFs(x)/ dx=q(x)

也就是说

剪力随着截面位置的变化率

就应该等于分布载荷

剪力关于x的一次导数就应该等于q(x)

按照数学上曲线的性质

我们可以看到

q(x)就决定了剪力图的斜率

也决定了剪力图的它的递增递减性

如果这个q(x)是向上的话

也就是说它大于零的话

那么剪力图就应该递增的

反之就应该是递减的

好这是我们得到了第一个内力

和分布载荷的这样的一个微分关系

我们再来看平衡条件

如果对A点取矩的话

我们可以看到这个时候

右边的这个面上的有弯矩M(x)+d M(x)

逆时针方向是正的

而后这个面上的剪力是过A点的

对它没有矩

左边这个面

对它是有矩的力臂是多少dx

方向我们可以看到是顺时针的

所以是负的

-fs(x)dx

而后这个面上的左端面上的弯矩

也是顺时针的所以是负的

减去M(x)

还有分布载荷我们可以看到

对它也是有矩的

分布载荷的大小我们可以看到

应该q(x)乘上dx

它的合力作用在中间位置上

所以力臂是二分之一dx

平衡等于零

那在这里我们把这个方括号去掉的话

我们可以看到M(x)和这个M(x)是抵消了

同时我们注意到这项

这里有dx是一个小量

这又一个dx是一个小量

所以它是一个高阶小量

我们把它忽略不计

忽略不计

那么因此我们可以得到了

下面的这样的一个关系式

d m(x)/dx= Fs(x)

也就是说弯矩关于x的导数

一阶导数就应该等于剪力

那也就是说

剪力的正负就决定了弯矩图的

它的递增递减性

如果剪力是正的话

那么弯矩图就是递增的

反之就是递减的

再加之刚才剪力与分布载荷的

微分关系代进去

因此我们可以得到了

下面的这个式子

d方m(x)/dx方就应该等于q(x)

按照曲线的性质也就是说

q(x)的正负决定了

弯矩图这个曲线

M曲线它的开口问题凹凸向问题

如果q(x)大于零

也就是说分布载荷q(x)是向上的话

那么我们画出来的这个弯矩图

它的开口就应该是朝上的

反之就应该朝下

那么这样的关系

我们说能够帮助我们很快地

又正确地来画出剪力图和弯矩图

由于这样的一个微分关系

所以我们就可以通过积分来求出剪力

积分一次我们求出剪力

再积分一次我们可以求出弯矩来了

刚才有关它的递增递减性

我们也已经说了在这儿

我又列出来这个关系了

好所以我们又可以得到

剪力与弯矩图的下面的一些规律

如果梁段上没有分布的载荷的时候

那么在这一段上

我们说剪力图就应该是一条水平线

弯矩图就应该是一条斜线

如果剪力是大于零的话

那么我们说弯矩图它就应该是递增的

如果剪力是小于零的话

那弯矩图就应该是递减的

这是第一条第二条我们可以看到

某段有向下的分布载荷的话

也就意味着q(x)是小于零的

该段的剪力图就应该是递减的

弯矩图q(x)向下是负的

决定了弯矩图的什么

它的开口朝向的问题

那这个时候弯矩图就是凹向下的

也就开口向下的曲线

反之q(x)大于零的话

那这个弯矩图就应该是开口朝上的

第三点在剪力等于零的地方

由于我们说dm(x)/dx= Fs(x)

所以就意味着弯矩在这里有极值

要么是最大

要么是最小

此外弯矩极值也可能发生在

集中力或者集中力偶作用的地方

这种情况下

相应的曲线会有突变

突变的值等于集中力或集中力偶

这个我们在前面两次课的时候

我们也已经看到了

利用上面的这些规律

我们可以说比较方便地

做出剪力图

而且我们对于这些图是否正确

能够进行校核

接下来我们就来看例子

我们就用刚才的这种积分法

来画梁的剪力图和弯矩图

大家来看

现在我们这里有一个简支梁

距离左端1/4的位置作用集中向下的一个力

右端1/4的L地方也有一个这样的力

显然这个时候的这个载荷

我们可以看到是关于中间截面是对称的

我们第一步

就要求出所有的外力

也就是约束反力

由于对称性我们可以看到

这里边这个地方

约束反力和这个地方的约束反力都是P

都是向上的

接下来我们就要

根据刚才我们得到的那个规律

我们来画剪力图和弯矩图

求出了约束反力

我们就根据它的这些

载荷分布的情况

我们就可以画出剪力图和弯矩图了

首先我们来看剪力图

我们在这来看最左端

这里的力是向上的

按照剪力的正负的规定

左上右下为正

所以在这个截面上的剪力

它就应该是正的

这里没有分布的载荷

所以剪力图它就应该是一条水平线

好我们来画剪力图

纵坐标表示的是剪力

横坐标表示截面的位置x轴

这里我们刚才已经说了

剪力最左端向上它是正的

而且没有分布的载荷

这里边就应该是一个水平线

它的值是多少

我们可以看到是正的是P

在这里我们看到了有一个集中力的作用

所以它会有一个突变

突变的值多少

就是集中力的大小

那么集中力是P所以突变了P

到这儿P减P就是0

而后这一段也没有分布载荷

所以它的剪力就应该是一条水平线

从0过来

到了这里

我们可以看到又一个集中力作用

所以剪力图又有突变

突变的值是多少

集中力的值所以向下又是P

而后这一段又没有分布的载荷

所以这个时候的

剪力图还是一条水平线

到这儿以后又突变回来就变成了0

所以这个时候

我们可以看到这个剪力图

我们就画完了就是这样

接下来我们还要画什么

还要画弯矩图

那么也是根据剪力的情况

根据分部载荷的情况

我们来画弯矩图

我们可以看到

没有分布的载荷的话

我们说d方M(x)/dx方= q(x)=0

是吧那么我们看到

这个时候剪力图它是水平线的话

也就是说Fs(x)是一个常量

dM(x)/dx= Fs(x)

这是一个常量

弯矩图它就是一条斜线

这条斜线也就是说是一条直线

那么在这个地方

我们看到它是一个铰支端

这里没有集中力偶的作用

所以这里的弯矩是多少

就是0所以这一点应该是0

而后我们来看看这个截面

它的弯矩是多少

我们可以看到

如果我们就是在这个1/4L-截面

这个地方把它截下来的话

我们研究左半段的话

显然这个截面上的弯矩是多少

那么我们可以看到弯矩弧箭头向上

跟这边这个外力平衡

所以就应该是等于P乘以1/4L

也就1/4PL

它是大于零的

那么是线性的话

那这又是1/4L大于零

我们可以把这条直线画出来

而后这个地方我们可以看到

Fs（x）是0

也就是dM(x)/dx=0

也就是M它应该是一个常量

那么这边我们已经知道是多少了

我们画水平线过来

而后我们再来看这个地方

这个地方也没有一个集中力偶的作用

这个也可以任意地转动不受限

所以这一点的弯矩是多少

也是0两点连线是0连起来

所以弯矩图也画出来了

我们来看一下这个弯矩图的情况

当然了

我们也可以利用积分的几何意义

来画这个弯矩图

为什么因为我们知道dM/dx=Fs

也就是说M=∫Fsdx

那么按照积分的几何意义

M就应该是Fs曲线所包围的面积

所以从这儿到这儿

我们可以看到

到了这个位置1/4L的时候

那Fs曲线所包围的面积是多少

我们看了这是P这个边长是1/4L

所以依然可以得到这是pl/4

那么这个就是我们讲的

用积分法来求得剪力和弯矩

然后按照我们所归纳的那些规律

迅速地画出了剪力图和弯矩图

这是我们讲的第一个例子

接下来我们来看第二个例子

这第二个例子是一个可以看到还是简支梁

上面作用的是线性分布的这样的载荷

由于是从0开始的

所以这是一个三角形分布的载荷

我们知道的是

整个这个分布载荷的合是W

让我们来导出剪力与弯矩的表达式

这是第二问第一问是什么

还是要画出它的剪力图和弯矩图

那么我们来看一下

首先我们要求出所有的外力

也就求约束力在求之前

我们得需要知道

这个分布载荷它的变化的规律

我们假设

这个分布载荷这条线的斜率是k的话

我们就可以求出来根据这个W

根据这个底是多少

我们就可以求出这个斜率是多少

W就应该等于

我们可以看到斜率是k的话

那这个高度就应该是kL

所以它的面积就是和

就应该等于1/2底L乘以这高kL等于W

因此我们可以得到了这个斜率K=2w/L的平方

好我们可以来看一下

在x截面上这个载荷集度应该是多少

这个底就对应了是x

那它这高是多少

我们就可以看到kL比上L

就应该等于这个kx比上x

或者讲直接通过斜率

我们也可以得到这个高度是多少

那么它就应该是等于kx

所以我们可以看到应该是它

那么我们可以求出

两端的约束力应该是多少

整体的合是W

三角形分布所以它的合力这个W

应该作用的位置

距离这边就应该是2/3的底

距离这边就是1/3的底

也就是从这儿到这儿2L/3

从这儿到这儿L/3

对它取矩我们可以求得这一点的约束力

W乘以2L/3

就应该等于这个约束力乘以力臂是L

所以这边的约束力是2w/3

那这边就应该是w/3了

那么现在我们要做判断了

要做什么判断呢

首先我们得判断一下

剪力图它是直线的还是曲线的

如是曲线的它的这个开口朝向是怎样的

第二个我们要看弯矩图这个曲线

它的开口朝向是如何的

那么我们就要来看首先来看剪力图

由于q它就不是一个常量

不是常量的话

就意味着它的斜率不是一个常量

不是常量的话

斜率在变化的话

所以Fs它就是一个曲线

那这个曲线

它的这个开口就由谁来决定

就要由它的二次导数的

正负来决定

它的二次导数就相当于

q分布载荷的一次导数

它的一次导数是什么

我们就要来看这个q

是到底是递增的还是递减的

我们看到这q都是向上的

本身是正的而它的值

又是逐渐随着x是在增长的

所以我们可以看到

q本身是一个递增的它递增

它递增它的一次导数就大于零

也就说Fs的二次导数是大于零的

所以Fs这个曲线它的开口

就应该是这样的开口朝上的

应该是这样的一个曲线

而弯矩图这个曲线

它的开口我们直接看

q是大于零小于零就ok了

那么q是大于零

所以它也是开口朝上

应该是这样的一条曲线

那么弯矩的最大值出现在哪里呢

就出现在剪力等于0的地方

那么我们现在就要画

这个剪力图和弯矩图了

首先我们来看剪力图

剪力图我们来看这是什么

梁的最左端的这个截面

它的这上面的剪力

我们可以看到值是w/3方向

我们看到最左端这个面是向下的

而剪力的正负的规定叫左上为正

所以在这个地方的剪力就应该是-w/3

而右端我们可以看到是向下的

右端我们说右下为正

所以这边这个剪力就是正的

如果我们画这个剪力图的话

那就应该是怎么样

在左端的这个面是负的

那就应该是从这个地方开始画起

是w/3

而这曲线开口又是这样的

所以它就应该是怎样

我们可以看到应该是这样子过来的是吧

到这边又变成正的了

所以这边是W/3

到这边是多少是2W/3应该是这样的

因为我们要确定

它等于零的地方在哪里

这个是在什么位置上

目的呢是要确定M的它的最大值

所以我们要做一些计算

我们可以看到

它的这个剪力图画完了

我们要确定这个有多长

我们根据平衡方程就可以求出来

我们假设

剪力为零的位置

是这个x位置的话

那么我们讲在这儿

剪力就应该为零

所以我们可以通过这个式子来决定

向下的w/3和向上的分布载荷的合

到这个位置的时候应该是相互平衡了

所以这个截面上的它的剪力就应该等于零

那这个距离我们假设为x1

w/3就应该等于这个时候它的和

底是x1高kx1

1/2x1乘以kx1

K=2w除以L的平方

所以通过这式子我们可以确定x1等于3分之根号3L

也就是说这个位置是很关键的一个点

我们必须要给它确定出来

因为它是最大弯矩出现的地方

确定出来这是3分之根号3L

那么下面我们就要来画弯矩图了

弯矩图我们可以看到也是这样的一条曲线

我们注意到这个地方

和这个地方都是铰支的

那里也没有一个集中力偶的作用

所以这个地方的弯矩就是多少0

这边也是0

而它这个曲线

又是这样的一条曲线

所以我们可以看到它应该是什么样呢

这是x轴的方向

这边是0这边也是0

它又是这样的曲线

所以我们可以看到应该是

弯矩图应该是呈现这样的一个形式

那这个最低的位置

也就是说绝对值最大的

应该对应的什么地方

对了就对应了这个剪力

为零的这个地方

因此我们可以画出它的弯矩图了

画出来了

那这里是最大

我们下面就来求一下

3分之根号3L这个截面上的

弯矩是多少

也就是说最大的弯矩值是多少

好我们就以这个地方

用一个假想的截面

把这个梁给它截断截断了以后

我们研究左半段

那这个面上就有这个弯矩了

根据平衡条件所有力

对这一点取矩代数和等于0

所以我们可以看到M

而后加上w/3对它取矩

方向一样力臂是多少乘以l/根号3

而后再来看这个分布载荷

对它也是有矩的方向它向上

它的大小等于

1/2 3分之根号3L乘以k乘以3分之根号3L

取矩应该是底从这儿到这儿的1/3乘以3分之根号3L

所以这就是我们下边的这个式子

加起来等于0

所以我们可以求得

这个M是多少

等于-w/3乘以3分之根号3L

然后它们的这个和

1/2 3分之根号3L乘以k

根号3分之L作用的位置看到啦

又是1/3的根号3分之L

算出来的结果是这个

因此我们可以看到它的最大值

是在这个地方

我们是指的它的值

正负是指的到底是这么弯

还是这么弯

好

那么这个就是我们按照

这个微积分的关系

很快地画出来的它的剪力图和弯矩图

利用曲线的凹凸向

以及斜率等这样的一个关系

我们画出来的剪力图和弯矩图

那么它的第二问是什么

是要用解析的方法

来求它的剪力和弯矩的表达式

我们就利用它的这个微分关系

d方M/dx方等于分布载荷q

分布载荷

我们看到就是kx

那么这个就是一个数学的过程了

我们在这个基础上给它积分一次

这是什么

这实际上就是剪力的表达式

但是积分一次以后我们讲

需要出现一个积分常数

这个是要待定的

然后我们再积分一次

就得到了弯矩的表达式

又出现了一个积分常数

这两个常数

需要我们通过

这里和这里的边界条件来决定

我们已经说了

说这里的弯矩是多少是0

这里的弯矩是多少也是0

那就把x等于0

弯矩等于0代进去

我们可以看到C2就是多少就是0

而后我们来确定C1

利用右端的这个边界条件

我们可以看到M(L)=0

所以我们可以得到这个式子

因此C1就求出来了

那么C1C2都求出来了

弯矩表达式就有了

剪力表达式也就有了

那这个是我们利用的这个积分法

通过解析的形式

来计算出来的

这个梁的剪力和弯矩的表达式

如果我们求表达式

按照数学的方法再去求

求画它的剪力图和弯矩图的话

跟我们刚才的那种情况应该是一样的

那么有的同学可能就问了

我们为什么要那样子的大概的形状

那样画出来

为什么不很精细的x等于多少

对应的它的这个剪力和弯矩是多少

一点一点一点描画出来

我们说我们画内力图的目的

是要为了确定危险截面在哪里

所以我们要把那些突变的地方

那些取极值的地方

是我们最关心的地方

我们把这些关键值标出来是最重要的

它的变化趋势描出来就ok了

好这就是我们今天给大家介绍的

如何用积分法来求剪力和弯矩

并且利用微积分

对于曲线的那些个凹凸向斜率等等

这些的一个影响

来快速地画出剪力图和弯矩图

今天这个知识点就介绍到这里

谢谢大家