拉压与弯曲的组合变形，直接剪力与扭转剪切的组合在线视频

各位同学大家好

今天我们来继续学习

有关组合变形的相关内容

首先我们来看拉压与弯曲的组合变形的情况

我们已偏心拉伸为例来说明

大家来看我们这儿有一个柱子

这个时候的拉力并不是作用在这个柱子的轴线上

而是有了一定的偏心距

这个方向的偏离的距离

我们记成Z0

这个方向的偏的距离

我们记成Y0

按照力线平移定理

当我们把这个偏心的这个拉力给它移到

轴线X上去的时候

那么我们讲它就要附加力偶了

我们可以这样来看

第一步先水平的向左给它移过去

那么要附加了一个力偶

就是关于Y轴的一个力偶

是P力乘以什么这个力臂

我们可以看到应该是Z0

而后从这儿我们再给它向前

这样的平行的移动过来

移动了多少移动了Y0

这个时候我们又要附加一个力偶

这个力偶是多少

就是应该是P乘以Y0

这个就是关于横截面Z轴

弯矩

所以我们可以看到偏心拉伸的话

它就相当于拉与斜弯曲的一个叠加

我们可以把受拉的时候

它的应力与斜弯曲的时候

它的应力进行叠加就可以了

因此我们可以得到下面的这个应力的计算公式

X方向的正应力就应该等于拉压

轴力P除以横截面积平均值

而斜弯曲的时候我们可以看到

它等于

-Mzy/Iz的σx

那还有呢还有My

MY引起来的我们上次已经讨论过了

MY是正的话我们可以看到

在Z是大于零的时候它是受拉的

Z小于零的时候它受压的

所以这里不是负号而是正号

加上Myz /Iy

我们把刚才所说的力线平移之后产生的

这个弯矩再带进去的话

所以我们可以看到这里的Mz是PY0

这里的MY是PZ0

这样来进行计算就可以了

接下来我们来看一个实际的例子

现在我们这里有一个小型的压力机

所作用的压力是P

它的框架是铸铁制造的

从力的施加点到框架立柱这一部分

内侧的距离是350mm

让我们来确定压力机的

最大许可压力P

整个这个框架横截面尺寸

如图所示形状是T字型的

铸铁

我们讲这个铸铁它的许用的拉应力30MPa

许用的压应力是120MPa

我们来确定这个压力机的这里

最多能够施加多大的压力

首先我们得确定哪里的内力最大

我们来看看

如果我们从这来用截面法截一下的话

我们来看一下这个截面上的内力应该是怎样的

根据平衡条件

我们研究左半段的话

那这个截面上就会有什么向下的力跟它平衡

如果光是有一个剪力的话

显然这时候向下的剪力和这的压力

就构成了一个什么力偶

所以在这个面上还会有什么

还会有弯矩

这个弯矩的大小显然是什么

这个P力到这个截面的距离

这是力臂

所以两个乘积起来P乘上这个距离

就那个截面上的弯矩

那你想想到底哪个面上的弯矩最大

显然应该是什么

已经到了立柱这个地方

它的弯矩最大

所以危险截面就应该是立柱

这儿的横截面是危险截面

现在面临的问题是什么

我们说弯矩是对截面中性轴的矩

而我们现在知道的是什么

是从这到立柱的内侧的距离是知道的

知道是横截面的尺寸

所以我们还得知道什么

它这个形心在哪里

这个时候它才是什么中性轴

所以取矩的时候应该是这个350的距离

再加上这个内侧的这个面到什么

到形心的距离

这才是整个取矩的这个力臂的长度

所以我们首先要确定这个C的位置

接下来我们就需要确定这个C点在什么地方

也就是中性轴到底应该在哪里

根据形心的计算公式

整个这个T字型的截面

我们按照分割法

从这分开就变成这个矩形

和这个矩形的一个组合的图形

按照形心的计算公式

我们可以算出来它的面积

到这乘以它的形心的坐标

加上它的面积

乘以这一块它的形心的坐标

再除以整个梯形截面的面积

我们就可以得到了

这个C点距离这儿的这个距离

代进去这块面积

我们可以看到150乘以50

这一块面积

我们也可以看到50

150

那么从这儿到这儿的距离是多少

50的一半那就是25mm

我们也可以用cm为单位来进行计算

从这儿到这儿

这一块矩形的形心这个距离

我们可以看到从这到这150mm

从这到这一半75mm

也就7.5cm再加上这个5cm

所以我们可以看到这是mm表示的这个情况

带进去以后计算出来-75mm

也就是说从这儿到这儿是75mm

或者讲7.5cm

那么这个时候我们就来求出

危险截面上的它的关于中性轴的惯性矩

利用平行轴定理

这个矩形截面

关于自己形心轴的惯性矩

我们可以求出来

bh³/12这个轴宽度

我们可以看到150或者讲15cm

这个高是5cm

所以1/12×15×5³

从这到这的距离

我们可以看到从这儿到这儿是7.5cm

这一半减去它减去2.5cm

剩下的是多少

我看到(7.5-2.5)²乘以这一块的面积

15cm乘以5cm就是它

而后我们再加上这一块面积

关于中性轴的惯性矩

关于自己形心轴的惯性矩是b/12

我们可以看到是5

h我们可以看到是15cm 三次方

再加上这一块面积与它的形心

到现在中性轴的这个距离的平方的乘积

所以我们可以看到这个距离是这到这7.5加上5

还要减去从这儿到这儿

7.5的平方乘以面积15乘以5

算出来是5310cm的四次方

它的横截面积两倍的15乘5

150²cm

那么我们就来看危险截面上的内力了

我们就以这个立柱这一部分

我们随便从这儿用假想的截面把它截开

一分为二

我们研究上半段的话

我们可以看到它要平衡的话

这里作用的外力P

所以这个截面就会有一个向下的轴力

过它的形心的

还有是关于这个面上还有一个弯矩

这个弯矩应该是

我们看到应该是逆时针的

而这个呢对它取矩顺时针的两者平衡

那么我们可以求出来它的轴力

应该是P

而弯矩就是P到中性轴取矩

P乘以

从这儿到这儿是350

还要从这儿再加上到中性轴的距离

是75mm

因此我们可以求出来

这里边是变成了cm一样的cm

cm变成m还要乘10的-2次方

就是42.5×10的-2次方

P的kN·m

是这样

有了这样的内力

我们来看看这个横截面上的最大的拉应力

和最大的压应力出现在哪里

大家来看

这个力向上的话

它应该是怎么样是不是向上这样掰开

所以我们可以看到弯矩使得内侧

这一边也就横截面上所有的这些点是处于什么

是处于拉的状态

而这里的轴力我们可以看到

也是正得也让它处于拉的状态

因此在这个立柱的内侧的表面

产生了最大的拉应力

有弯曲的拉应力

有轴力引起的拉应力

还有在立柱的最外侧这边

这个表面上

各个点我们可以看到

由于弯矩引起来的

那么这一侧产生了压应力最大

那是不是它实际的最大压应力

别忘了这里还有一个轴力产生了拉应力

所以两者还应该抵消掉一部分

才是实际的这里产生的最大的压应力

现在我们就按照具体的公式来对它进行计算

轴力引起来的

在整个横截面上有一个均匀分布的正应力

就是按照平均值来算就行了

P我们单位是取的kN

所以变成牛顿10的3次方

横截面积150cm²换成m10的-4次方

算出来是15分之P的MPa

我们把它记成σ'

然后我们来算一下由于弯矩

引起来的最大的拉应力

显然它在立柱的内侧

它到中性轴的距离

我们刚才算出来是7.5个cm变成m10的-2次方

弯矩刚才我们已经算出来了

是这么多的这么多P的

kN·m换成N·m10³

底下整个关于中性轴的惯性矩

5310cm的四次方换成m的四次方

所以乘以10的-8次方

这个时候我们再乘上10的-6次方

就变成了MPa

得出来的结果

425×7.5÷5310的那么多P的MPa

同样的引起来立柱外侧的压应力

除了这个地方发生变化

其他都一样

所以那个地方应该是20减去7.5

外侧到中性轴的距离算出来

应该等于425乘以12.5P/5310

这么多的PMPa

是负的是受压

两者要进行叠加

在内侧都是拉

所以直接相加

在外侧这边是压这边是拉一正一负

所以我们进行叠加以后应该分别满足强度的要求

内侧最大的拉应力两者直接相加

应该是这样

外侧两者相减

可以看到这是最大的压应力

它们应该分别小于许用值

最大拉应力小于许用拉应力的话

那么也就是它要小于等于30MPa

由这个式子我们求得了P

应该是小于等于45.1kN

同样的

对于最大的压应力也应该在许可使用的范围之内

它的绝对值小于等于120

由此我们可以算出来这个P

应该在112.06KN的范围之内

综合两者考虑

所以这个小型压力机最大可使用的压力

应该就在45.1KN范围之内

这个对于小型压力机许可的这个压力取值

我们就分析完了

这是我们讲的一个拉压与弯曲组合变形的情况

再来看一个例子

这个是受压的时候

和弯曲组合变形的情况的一个例子

这是一个我们看到一个基础的

可能一个大的一个水泥块

那么它的底面我们可以看到是矩形的

这个时候作用的载荷没有沿着轴线作用

而是偏心了

那这个时候我们要求是什么要求b

这一侧它的应力应该为零

我们来看看这个时候偏心距的要求应该是怎样的

那么我们来对它进行分析

根据平衡条件

那基础对于这个底面的这个作用

应该和作用的偏心的这个载荷P

相互平衡

所以这个底面就会有一个沿着轴线作用的轴力

以及关于中性轴的一个力偶

这就是这个截面的弯矩

根据平衡条件我们可以看到

所有的力这个方向投影代数和等于0

所以轴力就应该等于P

显然这个P和这个P构成了一个力偶

这个力偶是什么方向我们可以看到

是逆时针方向的

那么这个时候底面所受到的这个

其它基础对它的这个作用我们可以看到

就应该是顺时针的值应该跟它相反

所以M=PE

底面这个截面上的内力我们就分析完了

那么我们来看看由轴力

以及弯矩引起来的这一侧的应力应该是多大

轴力引起的是压应力

我们可以看到按照平均值来进行计算

它弯矩引起来的我们可以看到这一侧就受拉

所以弯曲正应力是正的

和受压的时候这里的压应力就应该相互抵消

让这个地方等于0

所以我们可以看到平均的压应力

P除以bh压的它是负的

而后这个时候我们要来算弯曲的正应力了

弯曲的正应力我们可以看到

它的最大值应该等于什么

弯距

比上抗弯截面模量

这个横截面是一个矩形的截面

那么我们可以看到中性轴是这个轴

所以它的关于中性轴的惯性矩

我们可以看到应该是bh³/12

我们可以看到b是这个

然后这个方向h³

最远端这个地方到中性轴的距离

我们可以看到应该是什么

是h/2

所以我们可以看到这个Wz就应该等于

I除以Ymax

Ymax是多少 h/2

所以代进来我们可以看到Wz等于什么

就应该等于bh²/6

所以这个分母的分母就翻到分子上去了

得到这个式子

按照要求应该等于0

很快我们就可以得出来

这个时候e应该等于多少

在这个里面我们可以看到E就应该等于h/6

也就是说这个时候你最多让这是等于0的话

那这个偏心距是多少

你就应该在这个范围之内

这个就是我们讲的一个

压缩和弯曲的一个组合变形的情况

接下来我们来讨论一下直接剪力

引起它剪应力以及扭转引起的这个剪切

这样的一种组合变形的情况

力是矢量

那么应力只不过就是指的单位面积上的受力

所以它还是一个矢量

那么它们的组合当然也就遵循了矢量的合成法则

我们来看一个实际的例子

现在我们这儿有一个轴

右端给它固定

左端是自由的

在左端有一个集中向上的P力作用

而后再这个截面有一个这个方向的一个扭矩

20kN·m的作用

我们来要分析一下现在这个AB这个截面

要求求这个截面上的最大的剪应力是多少

已经知道这个圆截面轴的它的直径是10mm

从这里到这里

距离也知道了从这儿到这儿的距离也知道了

我们来分析一下

显然我们来分析一下AB截面上的内力

用截面法我们从这儿给截开研究左半段的话

显然这个面上会有剪力

这个向上在这个面上的剪力就应该是怎么样

我们可以看到这个面上剪力就应该是向下的

所以这个剪力左上右下它就是正的

会引起这个面向下分布的这样的剪应力

当然大小是不一样了

那么我们再来看这是什么

我们讲这叫什么

这叫扭矩让这个轴产生了扭转

它是这样向后这样转过去

因此截出来以后

这个AB面上的扭距就应该是怎样的

跟它方向相反

这应该是什么

应该是这个方向的

那么没有其它的这样的扭矩再作用

所以这个面上的扭矩也就是这个20N·m

按照我们之前的分析

这个可以算出来

还有什么

还有当然还有弯矩

因为弯矩只在横截面上引起正应力

所以这部分我们暂时放一放不考虑

我们只考虑的是剪应力

按照之前我们曾经介绍的情况

扭矩引起来的剪应力

它应该方向和扭矩应该一致

扭矩刚才我们看到是这样正的

所以这个面上的剪应力

应该和各个半径线都是垂直的

这样转圈的是这样子的

哪里最大

我们在扭转那一章都已经知道了什么

距离圆心最远的地方这一圈

剪应力都是最大的

一样的

方向我们可以看到这个地方

是向上这个地方向左这个地方向下

这个地方向右

都是沿着圆的切线方向指向

要跟扭矩要一致

我们再来看由剪力直接引起来剪应力

看到这个面上剪力是向下作用的

所以剪应力也都是分布的向下

我们在梁的横截面上的剪应力的分析的时候已经说了

在中性轴上由直接剪力引起来的剪应力是最大的

方向要跟剪力方向一致

所以两者结合起来考虑

考虑矢量叠加的问题

显然在这个位置

这个位置剪应力

两种情况都是最大

而且方向它们两者是一致

所以在横截面这个地方出现了最大的剪应力

就这所以我们要把这两者算出来

直接相加就OK了

那么我们就来进行一下计算

因为涉及到直接剪力要有静矩的计算

还有扭转的话

还有极惯性矩的这样的计算

所以我们来做一下分析

静矩由于是求得中性轴上的点的剪应力

所以从这开始算出

以外的面积不就是半个圆的面积吗

那么它的面积好分析应该是什么

πd²/4是面积它的一半吗再除以二

而半个圆的形心位置到这儿的距离是多少

我们也知道应该是2d/3π

两个乘起来就是这一半面积

对于中性轴的静矩我们可以算出来了

那么这个时候我们就可以算出最大的

由于直接的剪力引起来的

剪应力是多少

剪力乘以静矩

然后

截面的关于中性轴的惯性矩

这个是在这里的宽度也是直径

把相关的数据带进去

这些静矩惯性矩64分之πd的四次方

出来的结果我们可以看到等于4/3

FS除以A

我们算这个扭转引起的剪应力

还要用到极惯性矩

它是32分之πd的四次方

带上具体数值我们算出来具体的结果

惯性矩就应该等于极惯性矩的一半

就是491mm的四次方

横截面积πd²/4也可以算出来

这个时候我们来看一下扭转引起来的

横截面上的最大剪应力

T乘以R

R是这个半径

这是极惯性矩

我们把相关的数据带进去以后

得出来是多少102MPa

我们再来看直接剪力引起来的这个剪应力

可以看到这个时候这个I是这个IP的一半

带进去以后

或者是我们整理出来

4/3FS除以A也可以

4/3乘以FS

250这个面积刚才已经算出来带进去

结果出来4MPa

看到了

直接剪力引起来的剪应力通常都是比较小的

这是扭矩引起来的剪应力

两者直接叠加方向一样吗

直接相加这个时候我们可以看到

这个圆轴横截面上的最大的剪应力就是106MPa

我们这个地方直接运用了矢量的合成的法则

这个就是我们今天给大家介绍的有关直接剪力

与扭转剪切的组合变形的情况

以及拉压和弯曲组合变形的情况

谢谢大家