当前课程知识点:材料力学 > 第九章 压杆稳定 > 9-1 屈曲 细长压杆的临界压力 > 屈曲 细长压杆的临界压力
各位同学大家好
我们开始学习有关压杆的稳定性的问题
今天我们要首先学习的是
临界载荷如何进行计算
首先
我们来看一下涉及压杆稳定性的一些基本概念
我们说
结构构件或者机器的零件
在受到压缩载荷或者其它特定载荷作用的时候
在某一个特殊的位置保持平衡的话
那么我们就称
这个平衡位置为它的平衡构形
载荷比较小的时候
好比说小于某一个数值的时候
这个时候
微小的外界的扰动会使它偏离平衡的构形
比如说我们这儿有一个细长的压杆
两端给它施加了压力
如果我们横向再有一个干扰的话
那么可能它会产生什么
它会往这边儿弯
如果我们这个压力在某一个临界值范围以内
也就比较小的时候
当我们这个横向干扰去除了以后
它又会从微弯的一种状态
又回复到它这个直的这种平衡构形
我们说
它的这个初始的平衡的构形就是稳定的
但是当我们这个压力加到
一定数值的时候
外界的扰动加上去
即使去掉的话
那么
它偏离平衡构形以后
它还回来吗
不回来
你即使去掉这个扰动
它还是变成另外一种平衡构形了
那么这个时候
我们就说
它初始的那个平衡构形就是不稳定的
这个就是判别
弹性稳定性的静力学的准则
不稳定的这个平衡构形
在任意微小的外界扰动下
都要转变为其它的平衡构形
我们说这个转变的过程
我们就称之为屈曲
或者讲丧失了稳定性
就叫失稳
通常情况下
屈曲将导致构件失效
由于这种失效具有突发的性质
因此经常给工程带来灾难性的后果
我们必须要认真对待
你比如说曾经跟大家介绍的
这个加拿大的魁北克大桥
就是由于某一个构件它屈曲失效了
引起了连锁反应
使得它整个桥全部垮塌了
是吧
这个就是灾难性的后果
我们来看几个图片
这个图片呢
我们可以看到它是一个薄壁的圆筒的
这样的一个容器
那么
这个是我们轴向给它作用力以后它失稳的情况
你看这些皱褶
这个是它受扭转的时候失稳的情况
其实有关这个情况
大家可能见过很多了
比如说我们喝完了饮料的那个易拉罐
那么这个收废品的人
它要收购易拉罐
他觉得
你就这么放着的话很占空间
所以它拿过来怎么样
我们看到它用脚
咔嚓一脚就给它踩什么
踩扁了
我们说它就丧失了稳定性
从它那圆壁直直的那种情况压扁了
是吧
那么就类似这种情况
它叫丧失了稳定性
再比如
这个是在美国拍摄的
大家可以看清楚
这个时候这些管道可以看到
都成那样了是吧
所以这是管道屈曲的一个实例
再比如说
还是我们讲的
长说的这个管道
可以看到它像个彩虹一样的在这儿拱起来了
它也屈曲了
这种情况是什么
可以跟大家多说两句
这是这个管道穿越
冻胀融沉地区的时候慢慢形成的
所谓的冻胀融沉是什么意思
就是说这个地方冬天比较寒冷
地会结冰
我们说
这个水一结冰的话
它的体积怎么样
我们看到
是膨胀了
所以说叫冻胀
融沉就是指的春暖花开以后
天气变暖了
那么冰消融了以后
它从一种固体向液体转化
所以它的体积就会怎么样
就减小了
那么它就有沉降
所以引起它这样的一个屈曲变形
对管道的这种不利的影响
稳定的这个平衡构形
和不稳定的平衡构形之间的分界点
我们称为临界点
临界点所对应的载荷就称为临界载荷
我们把它记成Pcr
我们可以以现在的这个小球为例
来说明问稳定不稳定以及临界状态
大家来看
小球是在一个凹的一个轨道上
那么它在最低的位置我们可以看到
受力是什么
有重力还有轨道对它的支持力
它处于平衡
那如果我们在旁边给它
稍微的有一个小小的扰动的话
它就偏离了它的原来的平衡位置
原来的平衡构形
对吧
它动来动去
但最后它会怎样
我们看到它最后还是滚来滚去
还是到这儿停下来了
所以我们说
这个位置
这是它的稳定的平衡位置
这个平衡构形就是稳定的平衡构型
我们再来看小球在一个
凸的这样一个轨道上
在最高点的话
它的受力也是重力
还有轨道对它的一个支持力
从理论上来讲
在最高点的话
它也是可以平衡的
那大家想一下
如果有个风吹草动的话
你觉得这个小球会怎样
对
它呼噜呼噜就下去了是吧
那它自己还会再翻上来吗
肯定不会
那就说明什么
微小的干扰去除之后它也不回来是吧
它下去了
所以这就叫什么
这个位置
这个平衡位置是它的不稳定的平衡位置
而在这个平的位置是什么呢
就介于这两者之间
这就是它的什么
临界的平衡的位置
那么从能量的观点来形容它的话
就说明什么
它要是处于稳定的平衡状态的话
那它是怎么样呢
我们可以看到
势能具有极小值
是吧
在这个位置呢
它的势能是极小的
那么这个位置它就是一个稳定的平衡位置
那么接下来我们来看看
细长压杆儿
它的临界压力怎么样来进行计算
由于是欧拉先生总结出来的
所以我们又管它叫做什么
叫做欧拉载荷
在介绍之前
我们说为了简化分析
在确定压杆临界载荷的时候
我们会做如下的一些简化
首先第一个
剪切变形
忽略不计
第二个
不考虑杆儿的轴向变形
你不是细长压杆儿吗
那么这个受压了以后
我们说那不就有一个压缩的量
这个我们忽略不计
好
注意这两个假设
这两个
显然这个临界载荷就是什么
本来压杆是直的是吧
它保持微弯平衡构形的一个最小的轴向压力
你再往下压的时候它就更加怎么样了
屈曲了
所以我们就找这个力应该是多少
那么
它从直的
我们讲了它是变成了一个微弯
所以这个微弯
我们讲的是小的变形
所以我们就可以利用平衡条件
以及微弯
也就是说小挠度时候的
它的挠曲微分方程再结合它端部的约束条件
我们就能够
确定出来这个临界载荷应该是多少
我们首先来看
两端是铰支这样的边界条件时候的
这个临界压力是多少
大家来看
我们在这儿有一个细长的一个杆儿
它的长度是L
两端可以看到
铰支了
沿着直线方向作用这样的压力
看到了
我们现在为了分析方便起见
我们就沿着轴线方向是x坐标
然后和它垂直的方向取为w坐标
那么
也就是说这个横向的坐标表征了它
挠曲变形以后它的挠度的情况
我们来看
它在微弯的时候是这样子的
我们看距离
这个地方x位置的时候
这个横截面上它的内力应该是多少
那么我们可以求出来
这个面上会有什么
我们可以看到会有弯矩
这弯矩是多少
用截面法跟平衡条件
我们可以看到应该是什么
这儿一个向下的力
这儿内力
当然有轴力是吧
那平衡吗
由于有挠度错开了
那它构成一个力偶
所以这个时候
那反过来也应该有力偶平衡
那么我们可以求出来
这个面儿上会有弯矩的
根据挠曲微分方程
d方w
dx方就应该等于弯矩与
梁的抗弯刚度之比
好
我们把这个时候弯矩的表达式代进去
所以就应该是P乘以
这个时候我们可以看到这儿挠度是w
所以P乘以w比上EI
注意这个正负号的问题
这个弯矩的正负号的问题
好
那这个时候我们把它处理一下
注意这个表示的压力就是向下的
是吧
这是力的大小
那这是梁的弯曲刚度
它也是大于零的
所以这个方程我们给它移一下项
处理一下
那么移过去以后就变成d方w
dx方
而后这一项是大于零的
移过去是正的
所以我们把它记成某一个数的平方
记成λ的平方
方程就变成这样了
等于0
所以我们可以看到这是什么
关于挠度w的一个常微方程
而且这个常微方程是什么
二阶的
还是什么
齐次的
大家来看它的特征根等于什么
没错
它的特征根是什么
是虚的还是实的
是虚的
是虚根的话
那么我们说这个微分方程
它的解就可以写成这样的三角函数的形式
现在我们就要来确定
这个时候看到了这儿有一个常数
这儿有一个常数
需要确定它们是多少
我们要根据这里的边界条件
我们能给它写出来
那这个边界条件
会写吧
看到这边
这边铰支了
它在这个方向能动吗
它在这能动吗
所以我们可以写出它的边界条件
在x等于0以及x等于L的时候
挠度应该等于0
那么我们把这个代进来可以看到
x等于0
这一项看到等于0
这一项cos0
它是1
所以就是B等于0
好了
这个B这个常数我们已经求出来了
那么在x等于L的时候
注意B等于0
这项不存在了
那这个时候我们可以看到
AsinλL就应该等于0
那么
这里边我们看的是A
和sin这一项
乘积等于0
A能得零吗
我们说不能得零
它要得0的话
那就意味着这个挠度
你看那常数A和B都等于0
就没有这种微弯的情况
所以A不能等于0
A不等于0
那就意味着什么呢
sinλL等于0
也就是λL等于nπ
因此我们就可以得到了这个时候的
P_n就应该等于nπ的平方
再乘上EIL的平方
注意我们把刚才那个λ已经用EIL又带回来
又带回来了
好了
那么这个时候我们可以看到
这个P_n显然跟这个n是有关系的
这个n我们讲的这是什么
好比说应该是什么0123
这样一直下去的这些自然数
那么我们注意到的是什么
肯定是什么让它产生微弯的时候
注意这已经是有压力的是不是
所以这个临界的压力应该是它们的什么
非零的最小值
那非零的最小值是多少
我们可以看到n就应该等于1
因此可以求出来
两端铰支的时候这个压杆儿的它的临界的压力
π方EI比上L的平方
好
在这里面
我们就特别写了一个I_min
为什么
我们大家来看
我这手上有一张纸
我如果要是这样压它的话
大家看它的变形是怎么样
是吧
看到了
它是怎么样的
它是关于哪个轴在弯呢
关于这个轴在弯
对吧
它是这样弯的
那它怎么没有关于这个轴弯呢
也就说我没有看到这样弯的
是吧
为什么
我们来看它的这个纸的侧面
这就相当于一个非常窄的
宽度比较小的
而它的高度比较大的一个什么
矩形截面
那关于这个轴的
惯性矩和关于这个轴的惯性矩谁大谁小
那我们可以看到
显然是关于这个轴的惯性矩
要小于关于这个轴的惯性矩
所以短板效应是吧
所以它挑软柿子捏
所以我们可以看到
关于这个轴惯性矩是小的
所以它就是什么样了
关于这个轴这样的屈曲
看到了
这样的一个情况
所以在这里又写了一个最小
这是我们讲的两端铰支的时候的情况
这个欧拉临界载荷
那这个时候我们就看到了它的这个
微弯的时候挠曲线的表达式就应该是这样
n等于1的话
那么我们可以看到这个挠曲线
刚好就是正弦曲线的半个波
你看这不就是正弦曲线的半个波
是吧
半个波
这就是这个微弯的这个状况
要屈曲了
好
那么不同的约束条件
这个时候细长压杆的临界压力怎么算
我们说用这样相同的方法
只不过什么不一样
我们看到
边界条件不一样
我们可以推导出
不同边界条件
它所对应的细长压杆的临界压力的表达式
我们说它可以写成统一的形式
P_cr等于π方EI
然后括号μL的平方
我们把这μL记成Le
Le我们就管它叫做
这个压杆儿的它的等效长度
而这个μ
就是与边界条件有关的长度系数
这个公式我们就叫做欧拉公式
大家来看
这里面对应了各种不同的边界条件
那这个就是两端铰支的
所以μL就等于L
也就意味着两端铰支的时候μ是等于1的
我们刚才已经推导出来了
这个是相当什么
一端固定一端自由
所以它相当于什么
我们看微弯的时候它是这样
所以它等效长度
可以看到是这种情况
那是什么
是它长度的什么
两倍的这样的一个变形的情况
所以对于一端固定一端自由的话
这个μ就等于多少
就等于2
然后我们再来看这是什么样的情况
我们看到这是一端固定
一端铰支
那这个时候它的这个μ
应该等于√2/2
也就0.707
所以这就是它的等效长度
而这个是两端固定住了
那这时候μ等于多少
0.5
所以它的等效长度就是它原长的什么
这个时候我们可以看到是一半
这个μ我们看到就是体现了
这个约束对它的影响
我们在这个欧拉公式里面我们来看一下
这个π平方是一个常数
大家都有
我们不用管它
我来看分子这里是什么
EI
也就是说它的弯曲刚度
它的材料越好
弹性模量就大
弯曲刚度较大
那么临界压力就大
它需要屈曲所施加的力就应该越大
也就说它越不容易失稳
I表示了它截面的性质
那么这个时候越粗大的话
那当然这个时候它就越大
越不容易屈曲
跟我们的感受是一样的
这个压杆儿越长
那么这个临界压力就会越小
也就说压杆儿越细长的话
那么它这个越容易屈曲
这个μ是表征了约束的情况
我们来看两端固定的话
这个μ是什么
0.5
μ是0.5的话
那还平方
那么我们可以看到它怎么样
它会变大
比两端铰支的时候要大好几倍
这就说明什么
约束越强的话
这个构件它的刚度实际上是越强的
你比如说我们现在
就是这个压杆儿的话
我就这么放在这儿的话
你看它很容易
对吧
就这样倒过去了
那如果我要这样捏着它的话
那可以看到它是相当于固定端
那就稳定多了
是吧
所以这也说明了约束对它的影响
约束越强刚度就越好
它越不容易失稳
我们在这个公式里面全部就看出来
所以看到公式
我们要变成一些话
去看它的物理意义
去看它的这种影响
我们就对实际的工程的这些问题的解释
就比较方便了
这个就是我们今天给大家介绍的
压杆的稳定性的问题
那它要失稳的话
不同边界条件下
它的这个临界的压力如何来进行计算
就是通过这个欧拉公式来决定
这就是我们今天这个知识点的内容
谢谢大家
-1-1 材料力学的任务
--材料力学的任务
--第1-1节作业
-1-2 基本假设、内力、杆的基本变形
--第1-2节作业
-1-3 弹性杆受力的普遍情况与课程内容简介
-2-1 应力,轴力与轴力图,杆横截面上的正应力
--第2-1节作业
- 2-2 应变,杆斜截面上的应力
--第2-2节作业
- 2-3-1 材料的力学性能(一)
--第 2-3-1作业
- 2-3-2 材料的力学性能(二)
--第 2-3-2作业
-2-4-1 胡克定律、轴向变形和泊桑比
--第 2-4-1作业
-2-4-2 安全系数,许用应力,许用载荷
--第 2-4-2作业
-2-5-1 静不定(超静定)系统
--第 2-5-1作业
-2-5-2 静不定(超静定)系统(续)
--第 2-5-2节作业
-2-6 热应力和变形
--热应力和变形
--第 2-6节作业
-2-7 剪切和挤压
--剪切和挤压
--第 2-7节作业
-3-1 扭转,扭矩
--扭转,扭矩
--第 3-1节作业
- 3-2 剪应变,剪应力互等,剪切胡克定律
--第 3-2节作业
-3-3 受扭转构件横截面上的剪应力
--第 3-3节作业
- 3-4 扭转变形
--扭转变形
--第 3-4节作业
-3-5 扭转构件的设计 扭转静不定
--第 3-5节作业
-4-1 梁,平面弯曲,直接求解梁的内力
-4-2 剪力图和弯矩图及一些规律
--第 4-2节作业
-4-3 积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--积分法求剪力和弯矩,利用q(x)、FS、M微分关系画剪力图和弯矩图
--第 4-3 节作业
-5-1 弯曲正应力
--弯曲正应力
--第 5-1节作业
-5-2 横截面关于中性轴的惯性矩
--第 5-2节作业
-5-3 梁的设计
--梁的设计
--第 5-3节作业
-5-4 弯曲剪应力
--弯曲剪应力
--第 5-4节作业
- 6-1 挠曲微分方程,边界条件
--第 6-1节作业
-6-2 积分法
--积分法
--第 6-2节作业
-6-3 静不定
--静不定
--第 6-3 节作业
-6-4 叠加法
--叠加法
--第 6-4节作业
-6-5 简单静不定梁
--简单静不定梁
--第 6-5节作业
- 7-1 二向应力状态(薄壁压力容器)、三向应力状态
--第 7-1节作业
-7-2 平面应力变换
--平面应力变换
--7-2 节作业
- 7-3 图解法-莫尔圆 广义胡克定律
--第 7-3节作业
-7-4 强度理论概述 断裂准则
--第 7-4节作业
-7-5 屈服准则
--屈服准则
--第 7-5节作业
-7-6 莫尔强度理论
--莫尔强度理论
--第 7-6节作业
- 8-1 关于两个主轴的弯曲
--第 8-1节作业
-8-2 拉压与弯曲的组合变形,直接剪力与扭转剪切的组合
--第 8-2节作业
-8-3 弹性设计
--弹性设计
--第 8-3节作业
-8-4 梁的弹性设计
--梁的弹性设计
--第 8-4节作业
-8-5 轴的强度设计(弯扭组合)
--轴的强度设计
--第 8-5节作业
-8-6 提高梁抗弯能力的措施
--第 8-6节作业
-9-1 屈曲 细长压杆的临界压力
--第 9-1节作业
-9-2 欧拉公式的适用范围,临界应力与长细比,经验公式
--第 9-2节作业
-9-3 提高压杆稳定性的措施
--第 9-3节作业
-10-1. 冲击,动荷系数
--冲击,动荷系数
--第 10-1节作业
-10-2. 用动静法求应力和变形 冲击韧性
--第 10-2节作业
- 11-1 交变应力、持久极限
--第 11-1节作业
-11-2 影响持久极限的因素
--第 11-2节作业
-11-3 疲劳强度
--疲劳强度
--第 11-3节作业
-12-1 应变能
--应变能
--第 12-1节作业
-12-2 互换定理
--互换定理
--第 12-2节作业
-12-3 卡氏定理,应用
--卡氏定理,应用
--第 12-3节作业
- 12-4 卡氏定理应用:虚构载荷法
--第 12-4节作业
- 12-5 虚功原理,单位载荷法,莫尔积分
--第 12-5节作业
-12-6 图乘法
--图乘法
--第12-6节作业
- 13-1 静不定结构、正则方程(一次静不定)
--第 13-1节作业
- 13-2 正则方程(高次静不定系统)
--第 13-3 节作业
-13-3 利用对称性与反对称性分析静不定结构
--第 13-4节作业